高等数学复习提纲(下)PPT课件.ppt

复习要点 一 二重积分 直角坐标系下计算 p 8例3 p 9例4 极坐标系下计算 p 15例8 例9 积分区域的变换 对称性 p 11例6 二 三重积分 直角坐标系下的计算 p 25例1 例2柱坐标和球坐标下的计算 p 29例4 例5 p 32例7对称性问题 p 27 例3 p 33例8 三 曲线积分 第一型曲线积分 p 58例2 例3 例4第二型曲线积分 p65例1 p 68 例3 例4 格林公式 p 76例1 例2 例3 p 84例7 例8 1 四 曲面积分第一型曲面积分 p 92 例1 例2 第二型曲面积分 p 102 例1 p 104例2 例3 高斯公式和斯托克斯公式 p 112例1 例2 例3 p 118例4 五 微分方程的初等积分法 可变量分离方程 p 153例2 p 155 例4p 157例5 例6 例72 一阶线性方程 p 170 习题9 2 3 1 2 p 162 例9 3 全微分方程与积分因子 p 164 例11 p 167 例13 4 可降阶二阶方程 p 168例14 例15 六 二阶线性常系数微分方程齐次方程解的结构和性质 p 186例2非齐次方程解的结构和性质p 189例4 例5欧拉方程的解法 p 198例2 2 七 数项级数1 级数收敛的柯西收敛原理 级数收敛的概念 p 208例1 p 级数 正项级数收敛判别法 比较判别法 p 216例2 p 217例3 比值判别法和根值判别法 p219例4 p 220例5 积分判别法 p 223 例7 4 交错级数的莱布尼兹判别法 p 226例1 例2 5 绝对收敛和条件收敛 p 228例4 例56 狄利克雷判别法和阿贝尔判别法 p 236例6 例7 八 函数项级数1 函数项级数的一致收敛的概念和M 判别法 p248例5 2 一致收敛的狄利克雷判别法和阿贝尔判别法 p 250例7 例8 一致收敛级数的性质 定理6 7 8 p 255例10 例11 例12 4 幂级数 收敛半径 收敛区间 收敛域 例1 3 p 269例4 例6 5 泰勒级数 p 277 p 278五个展开式 p 280例1 例3 3 九 广义积分与含参变量积分 无穷积分的收敛与发散 p 积分的敛散条件 p286例1 例2 绝对收敛和条件收敛 p 288引理 非负函数无穷积分敛散的比较判别法 p 289例3 例4 狄利克雷判别法与阿贝尔判别法 p 292例5 瑕积分的收敛与发散 p 293 例6 非负函数瑕积分敛散的比较判别法 p 296例7 含参量广义积分和瑕积分 一致收敛概念及判别 M 判别法 p 308例1 例2 狄利克雷判别法和阿贝尔判别法 p 310例3 含参量广义积分的性质 p 311例4 例5 5 函数与 函数 两者关系公式 p 321例7 例9 十 傅立叶级 三角函数系及其正交性 周期为2 的函数的傅立叶展开 4 求一阶常微分方程 满足初始条件 解 的解 代入初始条件 C 2 于是 所求方程满足初始条件的解为 09级二期高等数学 一 期末A卷试题参考解答 5 二 计算二重积分 其中D为圆域 解 6 三 验证数项级数 收敛 并求其和 解 7 四 若函数 解 8 五 计算曲线积分 其中C是圆周 的上半部分 方向从点 解 于是 由于 故积分和路径无关 于是 O2 9 六 求解一阶常微分方程 解令 则 原方程化为 即 这是一个一阶线性方程 对应的齐次线性方程为 分离变量 得 即 10 下面用常数变易法 令 则 故原方程的解为 代入原方程 得 于是得方程 的解为 因此 11 七 求解二阶非齐次方程的初值问题 解原方程可化为两个二阶非齐次方程 和 特征方程为 通解为 对方程 设特解为 对方程 因1不是特征根 故设特解为 代入方程得 由此得 它们对应的齐次方程都是 代入后得C 1 12 由定解条件 故本初值问题的解为 于是得原方程的通解为 13 八 计算曲面积分 其中S为锥面 解如图 记 由高斯定理 因此 取外侧 又 故 14 九 若函数 求证 函数在区间 0 上有连续的导数 解 而级数 在区间 0 上有连续的导数 且 广义积分发散 在区间 0 上一致收敛 于是 均收敛 由M判别法 函数项级数 15 即广义积分 发散 证毕 16 十 求幂级数 的收敛半径 收敛域及和函数 解令 原级数为 则 满足莱布尼兹判别法 条件 从而收敛 故原幂级数收敛区域为 1 1 下面求和函数 记 17 于是 即 18 其收敛域为 19 解x 1为瑕点 而 4 20 解令 当 即积分一致有界 下面讨论绝对收敛性 当 21 绝对收敛 当 但由于此时广义积分 收敛 而广义积分 发散 于是广义积分 即广义积分 绝对收敛条件收敛 发散 22 十四 设 在区间 0 上单调递增且 证 因 故 23 因 由于 收敛 由正项级数的比较判别法 级数 收敛 24 补充题 课本习题9 2第9题 求解积分方程 其中问可微函数 解令 则 积分方程左端为 于是原积分方程变为 两边同时对x求导 得微分方程 分离变量 得 积分方程的解为 其中C为任意常数 关键 把积分方程变为微分方程 25 一 完成以下各题 计算累次积分 解 08级二期高等数学 一 期末A卷试题参考解答 26 求解一阶线性微分方程 解先解 分离变量 得 代入原方程 得 即 从而方程通解为 27 L1 L2 二 10分 求曲线积分 解 故积分值和路径无关 从而 0 0 1 0 28 三 10分 计算曲面积分 其中S为上半球面 与锥面 所围区域的表面 取外侧 则有高斯公式及对称性 解记 29 四 10分 求解初值问题 解齐次方程对应的特征方程为 特征根为 因此齐次方程的通解为 由于0不是特征方程的根 故设非齐次方程的特解为 代入原方程 比较系数 得 即原方程的通解为 由定解条件 得 初值问题的解为 30 五 每小题5分 共10分 讨论下列广义积分的敛散性 解 因为 而无穷积分 发散 因为 故 而当 故 发散 由比较判别法 无穷积分 31 六 10分 求幂级数 的收敛半径 收敛区间和收敛域 并求其和函数 因此 从而 由于 解 32 收敛半径为R 2 收敛区间为 即 1 3 又由于级数当x 1收敛 当x 3时发散 故收敛区域为 1 3 七 10分 把函数 展开成 的幂级数 并求其收敛域 其收敛域为 解令 33 八 6分 研究级数 解因为 而级数 发散 故 也发散 即级数 不绝对收敛 但 又函数 单调下降 即 于是由莱布尼兹判别法 级数 收敛 因而级数 条件收敛 的敛散性 关于n单调下降 34 九 6分 设n是自然数 求证 方程 存在唯一正实根 且当 时 数项级数 证记 故由f x 的连续性必有 又 又 由 得 当 收敛 证毕 收敛 故根唯一 35 一 每小题7分 共28分 设函数 解 08级二期高等数学 一 期末B卷试题参考解答 36 计算二重积分 其中D是由 所围成的区域 解 37 求解一阶常微分方程 解方程改写为 把x看作y的函数 是一阶线性方程 先解方程 分离变量 得 用常数变易法 令 则 代入 得 因此 于是原方程的通解为 38 二 10分 设曲线积分 与路径无关 其中函数 连续可导且 求函数 又设L为曲线 上从点O 0 0 到A 1 1 的弧段 求如上曲线积分I 解 因为积分与路径无关 故必有 即得 由于 故 L2 L1 39 三 10分 计算曲面积分 其中S为上半球面 解取A x2 y2 4 z 0为辅助面 由高斯公式 故 取上侧 40 四 10分 求解初值问题 解先解齐次方程 特征方程为 重根 故通解为 对非齐次方程 可设特解为 对非齐次方程 因1是二重根 可设特解为 代入 得C 1 代入 得 于是 原方程的通解为 41 由 由 得 得 故初值问题的解为 42 五 每小题5分 共10分 讨论下列广义积分的敛散性 解 因 而无穷积分 收敛 由比较判别法的极限形式得 无穷积分 因 而瑕积分 发散 由比较判别法极限形式 瑕积分 发散 收敛 43 六 10分 求幂级数 的收敛半径和收敛域 并求其和函数 故收敛半径R 1 收敛区间为 1 1 收敛域为 1 1 记 则 于是 于是 故 解 44 七 10分 将函数 在点 展开成幂级数 并求其收敛域 则所求的展开式为