几何初步系统知识点和习题.docx

几何图形初步(授课人：赵俊)第一节 几何图形1）认识立体图形（1）几何图形：从实物中抽象出的各种图形叫几何图形几何图形分为立体图形和平面图形（2）立体图形：有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形（3）重点和难点突破：结合实物，认识常见的立体图形，如：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等能区分立体图形与平面图形，立体图形占有一定空间，各部分不都在同一平面内2）认识平面图形（1）平面图形： 一个图形的各部分都在同一个平面内，如：线段、角、三角形、正方形、圆等（2）重点难点突破：通过以前学过的平面图形：三角形、长方形、正方形、梯形、圆，了解它们的共性是在同一平面内3）点、线、面、体（1）体与体相交成面，面与面相交成线，线与线相交成点（2）从运动的观点来看 点动成线，线动成面，面动成体点、线、面、体组成几何图形，点、线、面、体的运动组成了多姿多彩的图形世界（3）从几何的观点来看 点是组成图形的基本元素，线、面、体都是点的集合（4）长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体，几何体简称体（5）面有平面和曲面之分，如长方体由6个平面组成，球由一个曲面组成4）欧拉公式简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间的关系为：V+F-E=2这个公式叫欧拉公式公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律5）几何体的表面积（1） 几何体的表面积=侧面积+底面积（上、下底的面积和）（2） 常见的几种几何体的表面积的计算公式 圆柱体表面积：2R2+2Rh （R为圆柱体上下底圆半径，h为圆柱体高）圆锥体表面积：底面积+侧面积 S=r+rl（r为圆锥体底圆半径，l为母线的长。）长方体表面积：2（ab+ah+bh） （a为长方体的长，b为长方体的宽，h为长方体的高）正方体表面积：6a2 （a为正方体棱长）6）几何体的展开图（1）多数立体图形是由平面图形围成的沿着棱剪开就得到平面图形，这样的平面图形就是相应立体图形的展开图同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平面展开图是不一样的，同时也可看出，立体图形的展开图是平面图形（2）常见几何体的侧面展开图：圆柱的侧面展开图是长方形圆锥的侧面展开图是扇形正方体的侧面展开图是长方形三棱柱的侧面展开图是长方形（3）立体图形的侧面展开图，体现了平面图形与立体图形的联系立体图形问题可以转化为平面图形问题解决从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键7）展开图折叠成几何体通过结合立体图形与平面图形的相互转化，去理解和掌握几何体的展开图，要注意多从实物出发，然后再从给定的图形中辨认它们能否折叠成给定的立体图形8）正方体相对两个面上的文字（1）对于此类问题一般方法是用纸按图的样子折叠后可以解决，或是在对展开图理解的基础上直接想象（2）从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键（3）正方体的展开图有11种情况，分析平面展开图的各种情况后再认真确定哪两个面的对面9）截一个几何体（1） 截面：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面（2） 截面的形状随截法的不同而改变，一般为多边形或圆，也可能是不规则图形，一般的截面与几何体的几个面相交就得到几条交线，截面就是几边形，因此，若一个几何体有几个面，则截面最多为几边形。考点：认识立体图形。例题：写出下列各立体图形的名称； （1） （2） （3） （4） （5）（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） 练习：1、将下列几何体分类，柱体有： ，锥体有 （填序号） 考点：三视图相关知识，从不同方向看。例题：将两个大小完全相同的杯子（如图1-甲）叠放在一起（如图1-乙），则从上往下看图乙，得到的平面图形是（ ）例题：如图是一个几何体的实物图，从正面看这个几何体，得到的平面图形是（ ）DCBA练习：1、下面左边是用八块完全相同的小正方体搭成的几何体，从上面看该几何体得到的图是.（ ） 2、指出右面的三个图形分别是左面这个物体从哪个方向看到的图形3、如图，从不同方向分别观察下面每个几何体。请说出下面三幅图分别是从哪个方向看到的？ABC4、如图，是由7块正方体木块堆成的物体，请说出图、图、图分别是从哪一个方向看得到的？考点：立体图形的展开与折叠例题：如图所示的平面图形中，不可能围成圆锥的是（ ）例题：如图4是正方体的展开图，原正方体相对两个面上的数字之和的最小值是 练习：1、如图，四个图形是由立体图形展开得到的，相应的立体图形顺次是（ ）A. 正方体、圆柱、三棱柱、圆锥 B. 正方体、圆锥、三棱柱、圆柱C. 正方体、圆柱、三棱锥、圆锥D. 正方体、圆柱、四棱柱、圆锥2、下面图形经过折叠可以围成一个棱柱的是（）3、如图，每个图片都是6个相同的正方形组成的，不能折成正方形的是（ ） 4、如左图所示的正方体沿某些棱展开后，能得到的图形是（ ） 5、如图是一个正方体的平面展开图，标注了A字母的是正方体的正面，如果正方体的左面与右面标注的式子相等. 求x的值. 求正方体的上面和底面的数字和.6、下面四个图形中，经过折叠能围成如图所示的几何图形的是（ ）A B C D第二节 直线 射线 线段1）直线 射线 线段 的表示（1） 直线、射线、线段的表示方法直线：用一个小写字母表示，如：直线l，或用两个大些字母（直线上的）表示，如直线AB射线：是直线的一部分，用一个小写字母表示，如：射线l；用两个大写字母表示，端点在前，如：射线OA注意：用两个字母表示时，端点的字母放在前边线段：线段是直线的一部分，用一个小写字母表示，如线段a；用两个表示端点字母表示（2） 点与直线的位置关系：点经过直线，说明点在直线上；点不经过直线，说明点在直线外2）直线的性质（1）直线公理：经过两点有且只有一条直线 简称：两点确定一条直线（2）经过一点的直线有无数条，过两点就唯一确定，过三点就不一定了3）线段的性质线段公理：两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短 简单说成： 两点之间，线段最短4）两点间的距离（1） 两点间的距离连接两点间的线段的长度叫两点间的距离（2） 平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度，学习此概念时，注意强调最后的两个字“长度”，也就是说，它是一个量，有大小，区别于线段，线段是图形线段的长度才是两点的距离可以说画线段，但不能说画距离5）比较线段的长短（1）比较两条线段长短的方法有两种：度量比较法、重合比较法就结果而言有三种结果：ABCD、AB=CD、ABCD （2）线段的中点：把一条线段分成两条相等的线段的点 （3）线段的和、差、倍、分及计算做一条线段等于已知线段，可以通过度量的方法，先量出已知线段的长度，再利用刻度尺画条等于这个长度的线段，也可以利用圆规在射线上截取一条线段等于已知线段如图，AC=BC，C为AB中点，AC=12AB，AB=2AC，D 为CB中点，则CD=DB=12CB=14AB，AB=4CD，这就是线段的和、差、倍、分考点：线段的性质与计算例题：在修建崇钦高速公路时，有时需要将弯曲的道路改直，依据是_例题： 如图，点C是线段AB上的点，点D是线段BC的中点，若AB=12，AC=8，则CD= . 练习：1、点E在线段CD上，下面四个等式CEDE；DECD；CD2CE；CDDE.其中能说明E是线段CD中点的有（ ）A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2、C是线段AB上一点，D是BC的中点，若AB12cm，AC2cm，则BD的长为（ ）A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 6cm 3、已知线段，延长AB到C，使，D为AB的中点，则线段 _cm。 4、如图,AD=DB, E是BC的中点,BE=AC=2cm,线段DE的长,求线段DE的长. 5、若CB=4，DB=7，且D是AC的中点，求线段DC和AB的长度. 6、如图所示，B，C是线段AD上两点，且CD=AB，AC =35，BD=44，求线段AD的长 7、如图所示，B、C两点把线段AD分成2:3:4三部分，M是AD中点，CD =8，求MC的长 8、如图，点C是线段AB上一点，且3AC=2ABD是AB的中点，E是CB的中点，DE=6，求：（1）AB的长 ；（2）求AD：CB第三节 角一、角（1）角的定义：有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边 （2）角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角角还可以用一个希腊字母（如，、）表示，或用阿拉伯数字（1，2）表示 （3）平角、周角：角也可以看作是由一条射线绕它的端点旋转而形成的图形，当始边与终边成一条直线时形成平角，当始 边与终边旋转重合时，形成周角 （4）角的度量：度、分、秒是常用的角的度量单位1度=60分，即1=60，1分=60秒，即1=601）钟面角（1）钟面一周平均分60格，相邻两格刻度之间的时间间隔是1分钟，时针1分钟走112格，分针1分钟走1格钟面上每一格的度数为36012=30（2）计算钟面上时针与分针所成角的度数，一般先从钟面上找出某一时刻分针与时针所处的位置，确定其夹角，再根据表面上每一格30的规律，计算出分针与时针的夹角的度数（3）钟面上的路程问题： 分针：60分钟转一圈，每分钟转动的角度为：36060=6 时针：12小时转一圈，每分钟转动的角度为：3601260=0.52）方向角（1）方位角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向（2）用方位角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方位角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西（注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北，西南）（3）画方位角 以正南或正北方向作方位角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线二、角的比较与运算1）度分秒的换 （1）度、分、秒是常用的角的度量单位1度=60分，即1=60，1分=60秒，即1=60 （2）具体换算可类比时钟上的时、分、秒来说明角的度量单位度、分、秒之间也是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60同时，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法2）角平分线的定义（1）角平分线的定义 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线 （2）性质：若OC是AOB的平分线 则AOC=BOC=12AOB或AOB=2AOC=2BOC （3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践3）角的计算 （1）角的和差倍分AOB是AOC和BOC的和，记作：AOB=AOC+BOCAOC是AOB和BOC的差，记作：AOC=AOB-BOC若射线OC是AOB的三等分线，则AOB=3BOC或BOC=1/3AOB（2）度、分、秒的加减运算在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60（3）度、分、秒的乘除运算乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位除法：度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除三：余角和补角（1）余角：如果两个角的和等于90（直角），就说这两个角互为余角即其中一个角是另一个角的余角 （2）补角：如果两个角的和等于180（平角），就说这两个角互为补角即其中一个角是另一个角的补角 （3）性质：等角的补角相等等角的余角相等 （4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系考察点：角度的计算例题：如图，直线AB与直线CD相交于点O，E是AOD内一点，已知OEAB，BOD=45，则COE的度数是（ ）A. 125 B. 135 C. 145 D. 155例题：直线AB，CD相交于点O，OE平分AOD，FOC=90，1=40，求2与3的度数。 练习：1、如图，将书页一角斜折过去，使角的顶点A落在F处，BC为折痕，BD平分FBE，求CBD的度数. 2、如图，AOB=，BOC=，OM平分AOC，ON平分BOC。（1）求MON的度数。（2）设AOB= ，BOC=（其中为锐角），其它条件不变，求MON的度数。（3）从（2）的解答过程中你发现怎样的规律？请用简短的语句描述这个规律。3、如图所示，已知COB=2AOC，OD平分AOB，且COD=20,求AOB的度数。 4、如图，点A，O，E在同一条直线上，AOB=40，COD=28，OD平分COE。求DOB的度数。考察点：角度的单位和换算关系练习：1、用度、分、秒表示91.34为.（ ）A. 9120/24/ B. 9134/ C. 9120/4/ D. 913/4/2、若A=20 o 18， B=20 o 1530， C=20.25 o，则（）A、ABCB、BACC、AC BD、C A B 3、(1)用度表示47024/ (2)用度、分、秒表示35. 50 考察点：余角、补角、方位角、钟面角等概念和运用例题：如图，O是直线AC上一点，OB是一条射线，OD平分AOB，OE在BOC内，BOE EOC ，DOE70（1）图中互补的角共有多少对；（2）求AOD和EOC的度数；例题：淘气有一张地图，有A、B、C三地，但地图被墨迹污染，C地具体位