函数相关问题的归纳与总结.doc

二次函数相关问题的归纳与总结一、函数的意义生活中经常遇到以下诸如此类的问题：庆云二中为表彰“九年级三好学生”，欲拿出专项资金1000元购买精装记录本作为奖品，试分析记录本的单价y（元/本）与购买本数x（本）之间的关系。 汽车油箱内加满油后共有汽油50升，试分析每千米耗油量q（升/千米）与行驶路程m（千米）之间的关系。 一农户欲用60米长的篱笆围成一矩形养鸡场地，试分析场地的长y（米）和宽x（米）之间的关系 。等等以上问题的共同特征是与我们以往所研究的实际问题类似（都是涉及到三个相关量），但又有所不同，那就是三个相关量中有一个是常量，其中两个是变量，而且我们发现，两个变量之间存在特定的制约关系（一个变量因另一个的变化而变化，因另一个的确定而确定），这就是我们在数学中所研究的“函数”。即：在一个变化过程中有两个变量x、y，并且在一定范围内，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，我们称y是（x的）函数，x叫自变量。再者，对于自变量x，因数学意义及实际意义的影响，它有特定的取值范围，这个取值范围叫自变量取值范围。【注意】：函数定义中，y是x函数，但x不一定是y的函数。Y是因为x的变化而变化，因x的确定而确定，所以x叫自变量，y叫函数或因变量。比如在y=x2中，y是x的二次函数，逆过来，x=，此时对于y的每一个取值（非负数），x都有两个值与之对应，所以x不是y的函数。二、函数的表示方法最常用的是解析式法，即y=f(x)f(x)是关于x的代数式的表达符号，所谓解析式法就是用自变量的代数式表示它的函数的方法。但与解析法并用的往往是图像法，图像法是最直观反映函数与它的自变量关系的表示方法，它能够直观的显现函数值随自变量变化的规律，对将来在高中研究函数的奇偶性和单调性都有直接影响。二者结合是数学中数形结合思想的典型应用。而商场中售货员统计的某类皮鞋的尺码与价格之间的函数关系往往用列表法。三、二次函数的概念及特殊形式与一次函数及反比例函数类似（形如y=kx+b,k0,我们称y是x的一次函数；形如y=，k0，我们称y是x的反比例函数。）形如y=ax2+bx+c(a0),我们称y是x的二次函数。例如：周长为20厘米的矩形，其面积S（平方厘米）与长x（厘米）之间的函数关系表示为 ，其中我们用x的 次 项式表示了它的函数S，所以我们将其定义为 次函数。由于在y= ax2+bx+c中，我们仅强调“只要a0，y就是x的二次函数”，所以b、c都有等于0的可能。因此，二次函数有以下几类特殊形式：b=0,c=0时，y=ax2b=o时，y=ax2+cc=0时，y=ax2+bx.下面我们就对几类特殊形式的二次函数的图像性质进行分析。（一）、y=ax2 .(1)若a0，因为不论x取何实数，x2 0,所以ax2 0（并且当x=0时ax2 0，而x0时，ax2 0）,即y 0.根据坐标平面内的点与有序数对的对应性自变量取值即横坐标，函数值即为纵坐标。不画图像我们也能知道，此时y=ax2的图像上的点不会在x轴的 方，其最低点在 ，其余点均在坐标平面的 半平面，即x轴 方。另外当自变量x取互为相反数的两个数时，对应的函数值 ，根据横坐标互为相反数而纵坐标相等的点关于纵轴（y轴）对称可知，二次函数y=ax2的图像一定关于 对称，且对称轴方程为直线 。请画出草图示意并体会。（2）若a0，因为不论x取何实数，x2 0,所以ax2 0（并且当x=0时ax2 0，而x0时，ax2 0）,即y 0. 此时y=ax2的图像上的点不会在x轴的 方，其最低点在 ，其余点均在坐标平面的 上半平面，即x轴 方。在了解到二次函数的图像均为抛物线后，根据以上分析容易得到当a为正数时，图像开口向 ，而a为负数时，抛物线开口向 。另外，我们研究函数图像画法时学过，画函数图像共分为 步，其中第一步为 ，即“取点”，第二步为 ，第三步为连线，这一步强调要用 的曲线将所描点从 到 连接起来。这样做的目的是让我们在画图像时就自然了解到函数值随自变量的增大而变化的规则手势上升则函数值变 ，手势下降则函数值变 。结合这些知识我们可以知道对于y=ax2（a0），当x 时，y随x的增大而减小，当x 时，y随x的增大而增大；对于a0，则有当x 时，y随x的增大而减小，当x 时，y随x的增大而增大。（二）y=ax2+c。为了了解它的图像及性质，我们先把它和y=ax2来做一个对比。我们从y=ax2和y=ax2+c的图像上（实际我们并没有画出两者的图像）分别任取一个横坐标为q的点A、B，那么点A的坐标为（q, ）点B的坐标为（q， ），比较两个点的位置可以发现点B是由点A向 （c0）或向 （c0）平移了 个单位长度得到的，因此函数y=ax2+c 的图像可以由y=ax2的图像 得到，且规则可以归纳为 。通过以上对比分析可以发现，二次函数y=ax2+c的图像与y=ax2的图像形状、大小完全一致，区别仅在于位置不同，而确定位置的关键点是顶点，或者说是函数的最值，y=ax2的顶点是（0,0），即当a0时y有最小值0，且此时x=0，当 a0时，y有最大值0，此时x=0。而y=ax2+c的顶点是（0,c），即当a0时y有最小值c，且此时x=0，当 a0时，y有最大值c，此时x=0。借助图像示意图可进一步体会一下，同时还可以体会到函数值随自变量变化的规律，此规律表达为 。（三）y=ax2+bx。这种类型的二次函数突出性质是图像总经过坐标原点（0,0），原因非常简单不论a、b是什么非零实数，只要x=0，y=a0+b0=0。反之，只要知道二次函数图像经过坐标原点，这个函数的解析式就可以设为y=ax2+bx的形式。（四）y=a(x-h)2+k。（1）当a0时，不论x取何实数，(x-h)20 a(x-h)20，a(x-h)2+kk,因此，当 x=h时，y=a(x-h)2+k 有最小值k，即当a0时，抛物线y=a(x-h)2+k 有最低点（也就是顶点）（h,k）。（2）当a0时，不论x取何实数，(x-h)20 a(x-h)20，a(x-h)2+k k,因此，当 x=h时，y=a(x-h)2+k 有最大值k，即当a0时，抛物线y=a(x-h)2+k 有最高点（也就是顶点）（h,k）。所以我们也称y=a(x-h)2+k为二次函数的顶点式。这种表示形式直接给出了二次函数的对称轴（直线x=h）、顶点坐标（h,k）、最值k。反之，当已知二次函数的顶点坐标时，我们可直接设它的解析式为y=a(x-h)2+k的形式。例如：已知二次函数的顶点坐标为（-2,3）且经过点（-1，-5），求这个二次函数的解析式。【解：二次函数的顶点坐标为（-2,3）可设此二次函数的解析式为 y=a(x+2)2+3,又抛物线经过点（-1，-5），a(-1+2)2+3=-5,解得a=-8。y=-8(x+2)2+3,即y=-8x2-32x-29.】（五）y=a(x-x1)(x-x2)二次函数的“交点式”。我们知道，欲求二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图像与x轴（横轴）的交点坐标，根据横轴上的点的坐标特点（横轴上的所有点纵坐标均为零），我们只需令y为零，通过解出一元二次方程ax2+bx+c=0的根来确定。所以y=a(x-x1)(x-x2)可直接得出抛物线与横轴的交点坐标为（x1,0）（x2,0）,反之，当已知抛物线与x轴的交点坐标来求解解析式时，可利用交点式进行求解。四、系数a、b、c与y=ax2+bx+c(a0)图像1、a的符号与图像。a在二次函数图像中的作用表现在两点一是抛物线的开口方向，二是图像的开口大小，具体来讲就是a的符号定开口方向，绝对值定开口大小，规则是a0时开口向上，a0时开口向下；a的绝对值越大开口越小，绝对值越小，开口越大。2、a、b的符号与图像。ab0，即a、b同号时，-0，此时直线x=-在y轴左侧，即抛物线y=ax2+bx+c的对称轴在y轴左侧；ab0，即a、b异号时，-0，此时直线x=-在y轴右侧，即抛物线y=ax2+bx+c的对称轴在y轴右侧。反过来，由抛物线的基本形状确定a、b的符号时，则先由抛物线的开口方向确定a的符号，再根据对称轴的位置确定b的符号。3、c的符号与图像。对于y=ax2+bx+c（a0），若x=0,则y=c,而横坐标为零的点在纵轴上，所以抛物线与y轴的交点坐标是（0,c）,因此当c0时抛物线与y轴交于正半轴，c=0时交y轴于原点，c0时交y轴于负半轴.反之也成立。另外,ac0，即两者同号时，若抛物线与x轴有两个交点，则两交点必然位于y轴的同侧,也就是两交点或同在x轴负半轴，或同在x轴正半轴；ac0，即两者异号时，抛物线与x轴一定有两个交点，而且两交点分别位于x轴的正负半轴上。这一点的理解需要和一元二次方程的“根与系数的关系”相结合。4、“=b2-4ac”的作用。单就本章知识而言，b2-4ac0时，抛物线与x轴必有两个交点（相交）， b2-4ac=0时，抛物线与x轴必有唯一交点（相切）， b2-4ac0时，抛物线与x轴无公共点（相离）。反过来也成立。那么反过来应描述为 。【拓展】实际上，“=b2-4ac”的作用在初中阶段还有两大作用 一个是常见的一元二次方程的根的判别式，其内容是 。第二点是一个二次三项式ax2+bx+c（a0）在实数范围内能否进行因式分解的判别式，其规律是：b2-4ac0时ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2),b2-4ac=0时ax2+bx+c是完全平方式，即ax2+bx+c=a(x+h)2其中h是方程ax2+bx+c=0的根的相反数，b2-4ac0，二次三项式ax2+bx+c在实数范围内无法分解。这一规律反过来也成立。【拓展】配方的作用。首先我们看一下最熟悉的一元二次方程中配方的应用，ax2+bx+c=0，第一步，方程两边同除以非零数a得 x2+x+=0,第二步移项得x2+x=-，第三步，方程两边同时加上一次项系数一半的平方()2得x2+x+()2=()2-,于是有(x+)2=,至此，根据任意实数的平方不可能是负数得到了一元二次方程的判别式，并且当b2-4ac0时，可利用直接开平方法解这个方程。接下来我们来看一下二次三项式的因式分解。对于任意一个关于x的二次三项式，我们都可以将其写成ax2+bx+c（a0）的形式，我们也可以将ax2+bx+c（a0）叫做二次三项式的一般形式。那么第一步恒等变形为“提取a”ax2+bx+c=a(x2+x+),第二步进行配方（在右边括号内加上再减去一次项系数一半的平方）得 上式= ax2+x+()2-()2+=a(x+)2-.至此我们可以看出，若中括号内的b2-4ac=0时，显然原式是完全平方式，若b2-4ac0，则中括号内符合平方差公式，因而可进一步实现因式分解，而b2-4ac0时，中括号内式子的值总是正数，无法再分解。 对二次函数y=ax2+bx+c（a0），我们当然可以进行与二次三项式同样的处理（因为实质上ax2+bx+c（a0）就是x的二次函数）Y= ax2+bx+c=a(x2+x+)= ax2+x+()2-()2+=a(x+)2+=a(x+)2+。因为不论x取何实数，(x+)20下面我们利用不等式的基本性质仔细从两方面分析一