第13讲 重叠问题.doc

小学奥数（五年级）第13讲 重叠问题在很多计数问题中，常常要把所要计数的对象分为若干个不重复又不遗漏的类型，使得每类便于计数。但是实际的问题却往往较为复杂，而且容易混为一团，难以区分，而要准确无误的计算事物的个数就得运用容斥原理，这类问题往往被称为重叠问题，也叫包含于排除问题。集合是指具有某种属性的事物的全体，它是数字中的最基本的概念之一。如某班全体学生可以看做一个集合，0、1、2、3、4、5、6、7、8、9便组成一个数字集合。组成集合的每个事物称为这个集合的元素。如某班全体学生组成一个集合，每一个学生都是这个集合的元素，数字集合中有10个元素。两个集合中可以做加法运算，把两个集合A、B合并在一起，就组成了一个新的集合C。计算集合C的元素的个数的思考方法主要是包含与排除：先把A、B的一切元素都“包含”进来加在一起，再“排除”A、B两集合的公共元素的个数，减去加了两次的元素，即：C=A+B-AB。在解包含与排除问题时，要善于使用形象的图示帮助理解题意，搞清楚数量关系和逻辑关系。有些语言不易表达清楚的关系，用了适当的图形就显得很直观、很清楚，因而容易进行计算。【典型例题】【例1】五年级96名学生都订了刊物，有64人订了少年报，有48人订了小学生报，问两种刊物都订的有多少人？【练习】1、一个班的52人都在做语文和数学作业，有32人做完了语文作业，有35人做完了数学作业，这个班语文、数学作业都做完的有多少人？2、五年级有112人参加语文、数学考试，每人至少有一门功课得优，其中，语文得优的有65人，数学得优的有87人，问语文、数学都得优的有多少人？3、一个班有学生42人，参加体育代表队的有30人，参加文艺代表队的有25人，并且每个人至少参加了一个队，这个班两队都参加的有几个人？4、三年级有200名学生全部都参加了小组活动。报名参加体育小组的有180人，参加文娱小组的有160人。问体育和文娱两个小组都参加的有多少人？【例2】某地区的外语教师中，每人至少懂得英语和日语中的一种语言。已知有35人懂英语，34人懂日语，两种语言都懂的有21人，这个地区有多少个外语教师？【练习】1、某校的每个学生至少爱好体育和文娱中的一种活动，已知有900人爱好体育活动，有850人爱好文娱活动，其中260人两种活动都爱好。这个学校共有学生多少人？2、某班在一次测验中有26人语文获优，有30人数学获优，其中语、数双优的有12人，另外还有8人语、数均未获优，这个班共有多少个学生？3、四年级某个班的同学都参加兴趣小组的活动，已知有28人参加歌唱小组，26人参加美术小组，两个小组都参加的有9人。该班共有多少人？4、某班56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没参加的有25人，那么同时参加语文、数学竞赛的有多少人？【例3】在100个外语教师中，懂英语的75人，懂日语的45人，其中必然有既懂英语又懂日语的老师，问：只懂英语的老师有多少人？【练习】1、40人都在做加试的两道题，并且至少做对了其中的一题，已知做对第一题的有30人，做对第二题的有21人，问：只做对第一题的有多少人？2、五年级122名同学参加语文、数学考试，每人至少有一门得优，已知语文65人得优，数学78人得优，求只有语文一门得优的人数。3、有100位旅客，其中10人既不懂英语，又不懂俄语，有75人懂英语，有83人懂俄语。那么这100位旅客中既懂英语又懂俄语的有多少人？4、有40名运动员，其中有25人会摔跤，有20人会击剑，有10人摔跤、击剑都不会。问既会摔跤又会击剑的运动员有多少名？【例4】学校开展课外活动，共有250人参加。其中参加象棋组和乒乓球组的同学不同时活动，参加象棋组的有83人，参加乒乓球组的有86人，这两个小组都参加的有25人。问这250名同学中，象棋组、乒乓球组都不参加的有多少人？【练习】1、在100位旅客中，有70人懂英语，65人懂日语，既懂英语又懂日语的有45人，那么，既不懂英语又不懂日语的有多少人？2、五（1）班有学生50人，在一次测试中，语文90分以上的有30人，数学90分以上的35人，语文和数学都在90分以上的有20人，90分以下的有多少人？3、某公司除6人没有参加业余培训学习外，其余员工都参加了学习。参加计算机学习的有27人，参加外语学习的有32人，两种科目都参加的有11人。该公司共有多少名员工？4、学校文艺组的成员每人至少会演奏一种乐器。已知会拉风琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其中两种乐器都会演奏的有8人，还有7人只会小提琴。这个文艺组一共有多少人？【例5】实验小学各年级都参加的一次书法比赛中，四年级与五年级共有20人获奖，在获奖者中有16人不是四年级的，有12人不是五年级的。该校书法比赛获奖的总人数是多少人？【练习】1、五一小学举行小学生田径运动会，其中24名运动员不是六年级的，28名运动员不是五年级的，已知五、六年级运动员共有32名，五、六年级和中低年级运动员各有几名？2、少年乐团学生中有170人不是五年级的，有135人不是六年级的，已知五、六年级的共有205人，少年乐团中五、六年级以外的学生共有多少人？【例6】燕燕要制作一架飞机模型，只差下图所示的a的边长，一时求不出来，被难住了。已知正方形与三角形一部分重叠着，乙三角形面积比甲三角形面积大5平方厘米。请你帮她算一下（单位：厘米）。【练习】桌面上放有一张长12厘米、宽8厘米的长方形纸片和一张边长为7厘米的正方形纸片（如图所示）。两张纸片覆盖住桌面的面积是多少平方厘米？ 【课堂练习】1、育苗学校四年级某班参加体育课外活动，第一小队同学排成一列横队，从左往右数，小明是第8个，从右往左数小明是第9个。第一小队有多少名同学参加体育课外活动？2、五年级有学生122人参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩，其中语文成绩优秀的有65人，数学成绩优秀的有87人。语文、数学成绩都优秀的有多少人？3、某班36个同学在一次测验中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。问多少个同学答的两题都不对？4、一个班有52人，班主任问：“谁做完了语文作业？请举手！”有32人举手。又问：“谁做完了数学作业？请举手！”有35人举手。最后说：“谁的语文、数学作业都没有做完？”有8人举手。这个班数学、语文都做完的有多少人？5、三年级（1）班参加合唱团的有40人，参加舞蹈队的有20人，既参加合唱队有参加舞蹈队的有14人。这两队都没参加的有10人。请你算一算这个班共有多少人？6、有38人参加体育测试。短跑成绩优秀的有25人，跳高成绩优秀的有23人，两项成绩都优秀的有15人。有几人两项成绩都没获优秀？7、六年级有62人参加田径和球类训练，其中参加田径训练的有29人，既参加田径训练又参加球类训练的有18人，那么参加球类训练的有多少人？8、某电子公司展出了每个生产车间的产品，其中有25件不是第一车间的，有20件不是第二车间的，第一、二车间参展的产品共15件。其他车间参展的产品共有多少件？9、有77名同学参加数学竞赛，分两张考卷测试。答对A卷者得60分，答对B卷者得40分。已知考完后有50人答对A卷，60人答对B卷，只有2人A、B卷都答错了。这次考试得40分的有多少人？得60分的有多少人？得100分的有多少人？10、某年级（1）班有46人，其中会弹钢琴的有30人，会拉小提琴的有28人。则这个班既会弹琴又会拉小提琴的至少有多少人？11、50名学生参加了数学和语文考试，其中语文得了100分的13人，数学得100分的18人，两门都没得100分得有29人。问两门都得100分的有多少人？12、有一批中国游客，其中会讲英语的有60人，会讲法语的有35人，英语和法语都会讲的有21人，只会讲汉语的有23人，这批游客共多少人？13、李老师出了两道题，全班40人中，第一题有30人对，第二题有12人未做对，两题都做对的有20人。（1）第2题对，第1题不对的有多少人？（2）两题都不对的有多少人？巩固练习1、同学们进行队列练习，向前走时，小芳前面有4人，老师喊“向后转”的口令后，小芳数了数，他前面还是有4人，这行同学有多少人？2、刘老师、夏老师和胡老师共有书90本，其中刘老师和夏老师一共有70本，夏老师和胡老师共有50本，三位老师各有书多少本？3、某班有50名学生，在一次测验中有26人满分，在第二次测验中有21人满分。如果两次测验都没得过满分的学生有17人，那么，两次测验都获满分的有多少人？4、第一小组的同学们都在做两道数学思考题，做对一题的有15人，做对第二题的有10人，两题都做对的有7人，两题都做错的有2人，第一小组一共有多少人？5、全班46名同学，仅会打乒乓球