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文档简介

8n维向量空间 8n维向量空间 一 向量的概念 称为列向量 线性方程组 如果是方程组 1 的解 称为方程组 1 的解向量 二 向量的运算 2 向量的减法 2 向量的线性运算的运算规律 是维向量 k l是常数 则 当P R时 当表示实数的全体 称为一维向量空间 当表示平面上所有的点 称为二维向量空间 当表示空间中所有的点 称为三维向量空间 8向量间的线性关系 一 线性组合 线性表示 例1零向量组是任何向量组的线性组合 线性方程组 称 2 为方程组 1 的向量形式 例4 注 向量间的等价是描述向量间的一种关系 它满足 1 自反性 2 对称性 3 传递性 二 线性相关 线性无关 注 定义3与定义3 是一个等价的定义 例5 例6两个向量 线性相关的充分必要条件是 因此有 单个非零向量线性无关 线性相关性在线性方程组中的应用 例如线性方程组 它的第三个方程是第一 二个方程的和 实际上它是一个多余的方程 因此 这四个方程是线性相关的 又如线性方程组 方程组没有多余的方程 由此可见这三个方程线性无关 齐次线性方程组 若线性相关 则 2 有非零解 若线性无关 则 2 只有零解 即 部分相关 整体必相关 三 向量间线性关系的性质 定理1 整体无关 部分必无关 推论 定理2 添加分量定理 推论2任意n 1个n维向量一定线性相关 四 极大线性无关向量组 推论2一个向量组的任意两个极大线性无关组所含向量的个数相等 由此可见向量组的极大线性无关组不惟一 但它们所含向量的个数相等 推论1向量组的任意两个极大线性无关组等价 五 向量组的秩 注 1 规定全为零向量的向量组
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