“三个二次”问题探究文科.doc

“三个二次”问题探究一、二次方程实根分布问题的研究有关一元二次方程实根范围问题，是一类常见问题，在各类数学竞赛及高考中常常出现。本文给出这类问题的三种处理方法。（一） 韦达定理法这种方法适用于以下三种类型：设一元二次方程的两实根是和，则（1）（2）（3）特别是时，得到 例1. 分别求m的取值范围，使方程的两根。（1）异号； （2）都大于。解：（1）可知。从而得m的取值范围是（）（2）知 所以m的取值范围是：（二） 函数图象法考查与二次方程相应的二次函数的图象，根据根的范围，从开口方向，判别式，对称轴，分界点的函数值等四个方面，列出式子加以限定。有时还应注意挖掘二次函数图象过某个定点等隐含条件。例2. 分别求m的取值范围，若方程的两根（1）一根小于0，另一根大于2；（2）一根在0与1之间，另一根在1与2之间；（3）两根都在与0之间。解：设（1）结合图象位置（图1），知应有 图1 所以m的取值范围是 图2（2）结合图象（如图2所示），知有 从而求出m的取值范围是 （2）结合图象（如图3所示），知有 图3 从而得m的取值范围是 （三） 分离参数法 这种方法适用于可把系数中的参数字母，表示为关于x的函数形式。此时，问题转化为值域问题。再用求值域的各种方法，使问题获解。例3. 分别求实数m的取值范围，若关于x的方程（1）在区间内有实根； （2）在区间内有实根。解：（1）由，可从方程中分离出。因为（当且仅当时取等号），所以m的取值范围是。（2）分离出。该函数是增函数，故 即。所以m的取值范围是.说明：（1）小题采用重要不等式方法求最小值，应注意检验能否取到等号。再由时，可得结论。（2）小题利用函数的单调性求得值域，该小题不能用重要不等式，因取不到等号。有些方程尽管不是二次方程，但经过变形处理后，仍能化为二次方程实根分布问题。小结：通过以上各例可见，韦达定理法使用方便，但适用题型较少。函数图象法应用范围广泛，但所列限制条件较多，有些条件又很隐蔽，应多加小心。分离参数法，思路简单，运算量较小，但其使用前提是能够从原方程中分离出参数。二、二次函数在闭区间上的最值问题二次函数在闭区间上的最值问题，可以归纳为以下几类:（一）抛物线开口方向定、对称轴定、区间定例1 函数的最小值为 （答案：0）（二）抛物线开口方向定、对称轴定、区间定例2 已知，当时，求的最小值与最大值解：由已知可求对称轴为（1）当时，在上单调递增，（2）当，即时，根据对称性当时，当时，（3）当即时，在上单调递减，（三）抛物线开口方向定、对称轴变、区间定例3 在上有最大值2，求的值解：（1）当时，得（2）当时，解得，故该方程在上无解（3）当时，得综上：或（四）抛物线开口方向变、对称轴定、区间定例4 在上有最大值4，求的值（分和两种情况，解略）三、二次函数1二次函数的解析式的三种形式(1)一般式：f(x)=ax2+bx+c(a0)，其中a是开口方向与大小，c是Y轴上的截距，而是对称轴。(2)顶点式（配方式）：f(x)=a(x-h)2+k其中(h,k)是抛物线的顶点坐标。(3)两根式（因式分解）：f(x)=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2是抛物线与x轴两交点的坐标。求一个二次函数的解析式需三个独立条件，如：已知抛物线过三点，已知对称轴和两点，已知顶点和对称轴。又如，已知f(x)=ax2+bx+c(a0)，方程f(x)-x=0的两根为，则可设f(x)-x=或。2二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)的图象是一条抛物线，对称轴，顶点坐标（1）a0时，抛物线开口向上，函数在上单