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线性代数教案 (熊维玲.第一版） 第三章 向量空间 第三章 向量空间3.1 n维向量及其运算一、N维向量的概念 1定义1定义1 个有次序的数所组成的数组称为维向量，这个数称为该向量的个分量，第个数称为第个分量.记为 ，出可以写成一列的形式，前者称为行向量，而后者称为列向量.行向量可看作是一个矩阵，故又称行矩阵；而列向量可看作一个矩阵，故又称作列矩阵.因此它们之间的运算就是矩阵之间的运算，从而符合矩阵运算的一切性质.向量之间的运算只涉及到线性运算和转置运算.为叙述方便，我们约定：用小写黑体字母 等表示列向量，用表示行向量.也可用来表示一个列向量。即是一种很觉的表述。在不特别声明时我们说到的向量均为列向量，行向量视为列向量的转置. 例如：二维向量可以表示平面上一个点的坐标。三维向量可以表示空间里的一个点的坐标。四维以上的向量，四维以上的向量，没有具体的几何意义。但在研究中是常见的向量。2几个特殊的向量及与向量相关的概念（1）分量全为实数的向量称为实向量.分量不全为实数的向量称为复向量.（2）分量全为零的向量，称为零向量。记为O。（3）相等向量：二个向量与当且仅当的时候，（4）方程组的矩阵表示式中的向量：，方程组的解通常也直接表示成：等。（5）向量的加法： （6）向量的数乘：（7）负向量。（8）向量的减法。二、n维向量的线性运算 1、定义2设有向量,则向量与向量的线性运算定义如下: 2、运算律 (1) (5) (2) (6) (3) (7) (4) (8) 例1 设，求及.解 三、n维向量空间：数域P上的n维向量的全体以及定义在它们上面的线性运算，构成数域P上的一个n维向量空间。记为：3.2 n维向量组及其线性组合1、向量组的定义 定义1 由若干个同维数的列(行)向量构成的集合是一个向量组.例1 矩阵的个维行向量可构成一个行向量组矩阵的行向量组，反过来，任给一组维行向量，可以构成一得矩阵，因此它们构成一一对应.称为A的行向量组。类似地，矩阵的个维列向量构成的列向量组也与构成一一对应，故我们也用大写字母表示向量组为：.称为A的列向量组。例2 维向量组成的一个向量组，称之为维基本单位坐标向量组.（默认是列向量组，也可以根据需要用行向量组） 2、向量组的线性组合定义2 给定向量组：，对于任何一组实数，称向量 为向量组A的一个线性组合，称为这个线性组合的系数.定义3 给定向量组：和向量，若存在一组实数，使得 则称向量是向量组的一个线性组合，或称向量可由向量组A线性表示.注任一个维向量都可由维单位向量组线性表示: .向量可由向量组:线性表示方程组有解有解（二个矩阵中阶梯形中非零行的行数一样,概念以后再说明）零向量都可以由任何一个向量组线性表示。例3 设问向量是否能由向量组线性表示？解：因为：可见，所以向量不能由向量组线性表示例4设问向量是否能由向量组线性表示，并试求出其表达式。解：因为（行阶梯形）可见，=3，所以向量可以由向量组线性表示。 求表达式的方法： （行阶梯形） 可求出：，该表达式唯一。例5 设证明向量能由向量组线性表示，并求出表示式.解 向量能由向量组线性表示，表达式是：* 方程的通解为() (其中，可任意取值) *待讲完线性方程组才可以理解此解。*小结：对于判断一个向量是否可以由另一个向量组表示，只需要判断由矩阵与矩阵的行阶梯形中的非零行数是否一样。若一样，则可表示。若不一样，则无法表示。具体该怎么表示，待讲线性方程组的解的表示时就知道该如何表示了。【本节小结】1、向量的概念2、向量组及其线性组合向量可由向量组:线性表示方程组有解有解3.4 矩阵的秩（要求做笔记，先讲矩阵的秩的概念和性质，再讲向量组的线性相关性。）一、阶子式定义1 在矩阵中，任取行与列()，位于这些行列交叉处的这个元素，按原位置次序构成的阶行列式，称为矩阵的一个阶子式.例如 矩阵，取行及列得其一个3阶子式.注 矩阵共有个阶子式.二、秩的定义定义2 设在矩阵中有不为0的阶子式，而所有的阶子式(若存在的话)均为0，则称为矩阵的最高阶非零子式，数称为矩阵的秩，记作. 并规定.注 矩阵的秩就是所有非零子式的最高阶数， 只要不是零阵，就有；若为矩阵，则；若有一个阶子式不为0，则；若所有的阶子式都等于0，则；若阶方阵的行列式，则的最高阶非零子式就是，所以，故称为满秩矩阵；若，则称为降秩矩阵. 例1 求矩阵与的秩，其中， .解 有2阶子式，且只有一个3阶子式，即 .有3阶子式，由于的第4行元素均为0，故的4阶子式均为0.注当矩阵的行、列数都较高时，用定义求秩是困难的，定义主要具有理论价值；的秩较好求是因为它是一个行阶梯形阵，显然行阶梯形阵的最高阶非零子式就是其非零行的第一个非零数所在的行与列所构成的子式，即阶梯形阵的秩就等于其非零的行数！自然的想法是：能否将矩阵化为行阶梯形阵来求其秩？即问题是等价矩阵的秩是否相等？ 三、矩阵的秩的求法定理1 若，则.证明 设，且的某个阶子式. 因为，故可经初等变换变为，又，所以可仅就行变换的情形给出证明：(1) 先证经一次初等行变换后，当或时，则中与相对应的子式必满足或，或，从而有，因此；当时，分两种情形讨论: 若不含第行，或同时含第行和第行，则0，所以； 若中含第行但不含第行，则有 若0，则0；若0，则就是的不含第行的阶子式，由知，综合以上知，经一次初等行变换后.(2)再证经一次初等行变换后：因为初等行变换均可逆，即经一次初等行变换后亦可变为，由(1)的证明知；综合以上知经有限次初等行变化后，. 注 由定理1知，初等变换不改变矩阵的秩.故可先用初等行变换将化为行梯形阵，阶梯形阵的非零行的行数就是矩阵的秩.例2 设，求，并试找出的一个最高阶非零子式.解 由于的行阶梯形有3个非零行，所以.由上知，的最高阶非零子式是3阶的，故只需找的一个不为零的三阶子式.又的行阶梯形有一个最高阶非零子式：，与它相对应的是的1、2和4三列，只需在这三列构成的矩阵中找个三阶的非零子式.因为3阶子式：，所以它就是的最高阶非零子式.例3 设，求矩阵及的秩.解 .注 上面只作了初等行变换，故它们对应的方程组是同解方程组，而的行阶梯形所对应的方程组含有矛盾方程 (矩阵第3行所对应的方程)，所以对应的非齐次线性方程组无解，问题个关键是造成的.事实上在的行最简形阵中的最后一个非零行对应出现矛盾方程0 =1方程组无解.这个具体问题不禁让我们猜想：一个线性方程组有没有解应与它系数矩阵与增广矩阵的秩的关系有关？这个问题将在下一节讨论.四、秩的性质性质1 若为矩阵，则；性质2 ；性质3 若，则；性质4 若可逆，则；性质5 ；性质6 ；性质7 ；性质8 若，则.*余下的内容留讲第三节的时候再讲。3.3 向量组的线性相关性一、向量组线性相关的概念定义1 给定向量组，若存在不全为零的数，使 则称向量组是线性相关的.否则称它为线性无关.注向量组线性无关当且仅当时，才有； 任意一个包含有零向量在内的向量组必线性相关. 如果一个向量组仅含有一个向量，则当，则该向量组线性相关；当，则该向量组线性无关.如果一个向量组仅含有二个向量，则这两个向量线性相关的充要条件是其对应分量成比例. 即存在一个非零系数k,使得。对于一个向量组，不是线性相关，就是线性无关；两向量构成的向量组线性相关的几何意义是两个向量共线；三个向量线性相关的几何意义是三个向量共面.维单位坐标向量组是线性无关的。例1证明维单位坐标向量组是线性无关.证明：设，则由知，故维单位向量组是线性无关.三、向量组线性相关的有关性质及线性相关性的判断方法（一）有关性质性质1 若向量组线性无关，而向量组线性相关，则向量可由向量组线性表示，且表示方式是惟一的.证明 记.由于若向量组线性无关，故，故；又由向量组线性相关知.于是，所以，方程组有唯一解.这表明向量可由向量组线性表示，且表示方式是惟一的. 注：也可像书上用定义证明。说明向量前的系数不能为零就可以了。性质2若向量组线性相关，则向量组也线性相关；反之， 若向量组也线性无关，则向量组也线性无关.反言之，线性无关的向量组的任何非空的部分向量组都线性无关.注 性质2的结论可以简述为：部分相关则整体相关，整体无关则部分无关.证明 记，则.由于若向量组线性相关，故，于是，从而向量组线性相关.例2 设向量组线性相关，而向量组线性无关，证明 (1) 能由线性表示； (2) 不能由线性表示. 证明 (1) 向量组线性无关； 向量组线性无关 又 向量组线性相关； 能由线性表示 (2) 设能由线性表示，由（1）知，能由线性表示，故设能由线性表示，这与条件线性无关相矛盾.故不能由线性表示.性质3 若维向量组线性无关，则维向量组也线性无关.注 性质3可简述为：无关组添加分量后仍无关；反言之，相关组减少分量后仍相关.证明 记，则.由于向量组线性无关，故，于是，从而向量组线性无关.性质4 当时，个维向量线性相关.注 性质4可简述为：向量个数大于维数时必线性相关.证明 记个维向量构成矩阵，则，故向量组 线性相关.（二）判断有关向量组线性相关的方法定理1 向量组线性相关中至少有一个向量可由其余向量线性表示.证明 设向量组线性相关，则有不全为零的数使不妨设，则，即可由线性表示；反之，设向量组中有一个向量可由其余个向量线性表示，不妨设为，则存在实数使 ，故.因为 这个数不全为零，所以向量组线性相关.定理2 向量组线性相关 有不全为零的数使齐次线性方程组有非零解 ，其中推论1 向量组线性无关齐次线性方程组只有零解 ，其中推论2 个维向量组线性相关 ，其中；反之：个维向量组线性无关例3 已知讨论向量组的线性相关性.解：记 向量组向量组线性相关.例4 设向量组线性无关，讨论向量组的线性相关性.解法一 设存在使，即亦即 线性无关 (1) 方程组(1)只有零解， 向量组线性无关.*解法二 记，设的列向量线性无关又 向量组线性无关.*解法三 记 向量组线性无关 向量组线性无关.三、向量组的等价1、定义4 设有两个维向量组，若向量组中每个向量都可由向量组线性表示，则称向量组可由向量组线性表示；若向量组与向量组可以互相线性表示，则称这两个向量组等价.也记为：。注 向量组的等价是一种等价关系，即向量组的等价具有: 自反性、对称性、传递性. 2、向量组等价的条件定理3 的列向量组可由的列向量组线性表示存在矩阵，使.证明 由于一个向量可由向量组线性表示可等价地表示成方程，那么若向量组可由组线性表示，则对组的任意向量有.注 称矩阵为这个线性表示的系数矩阵或表示矩阵.推论1 的行向量组可由的行向量组线性表示存在矩阵，使.证明 的行向量组可由的行向量组线性表示矩阵的列向量组可由的列向量组线性表示存在矩阵，使(由定理1)存在矩阵，.推论2 (1)如果，则的列向量组与的列向量组等价；(2)如果，则的行向量组与的行向量组等价.推论3 向量组可由向量组线性表示存在矩阵，使矩阵方程有解推论4向量组与向量组等价. 例5 设，证明向量组与向量组等价. 解 向量组与向量组等价.注：其他例子待讲到线性方程组和解和矩阵的秩的时候再讲。目前只介绍向量组的线性表示及其相关概念。定理4 假设与是二个向量组。如果（1）向量组可以由向量组线性表示。（2）。则向量组必线性相关。推论1：如果向量组可以由向量组线性表示，且向量组线性无关，则必有：。推论2：任意一个向量个数大于n的n维向量组必线性相关。推论3：二个等价且线性无关的向量组，其所含的向量个数必相等。四、向量组的最大无关组以及向量组的秩（一）向量组的最大无关组1、定义设有向量组，若在中能选出个向量，满足向量组线性无关；中任意个向量(若有个向量的话)都线性相关.则称向量组是向量组的一个最大线性无关组，简称最大无关组，最大无关组所含向量个数称为向量组的秩，记为.注 只有一个零向量的向量组没有最大无关组，规定它有秩为0； 向量组的最大无关组一般不是惟一.例如向量组和都是它的最大无关组； 最大无关组的另一等价定义：设有向量组，若在中能选出个向量，满足向量组线性无关；中任何向量都可由线性表示.则称向量组是向量组的一个最大无关组 任何一个线性无关的向量组，其最大无关组就是它自身。 任何一个向量组的最大无关组都与向量组本身等价。向量组的任意二个最大无关组之间都是等价的，并且他们所含的向量个数相同，都等于向量组的秩。例6 全体维向量所构成的向量组记作，求的一个最大无关组及的秩.解 因为维单位向量组是线性无关，又中含个向量的任何向量组都线性相关，故维单位向量组就是的一个最大无关组，从而.例2 设齐次线性方程组的全体解向量所构成的向量组为，称这个向量组为该方程组的解空间。求的一个最大无关组及的秩. 解 原方程组的同解方程为，即 令自由未知数得方程的通解为 记，则方程组的全体解向量可记为.由于方程组的每个解向量可由线性表示，又容易验证线性无关.故为的最大无关组，且它的秩为2.（二）矩阵的秩与向量组的秩的关系定理5 矩阵的秩等于它的行向量组的秩，也等于它的列向量组的秩.*证明 ，并设的阶子式，则所在的个列向量线性无关；又由于中所有的阶子式均为零，所以的任意个列向量线性相关，从而所在的个列就是的列向量组的一个最大无关组，即的列向量组的秩等于. 同理可证，矩阵的行向量组的秩也等于. 注 由定理4知，如果，则). 由定理4的证明可看出：的最高阶非零子式所在的列就是列向量组的最大无关组，所在的行就是行向量组的一个最大无关组.因此可借鉴求最高阶非零子式的方法求最大无关组.（三）向量组的最大无关组的求、向量组的秩的求法以及用最大无关组来表示向量组的其余向量的方法。1、将向量组的每个向量为一列作出矩阵； 2、对施行初等行变换将之化为行阶梯形矩阵； 3、=R（B）=的非零行行数； 4、从中找出一个非零的阶子式，中与所对应的子式为，则为的一个最高阶非零子式，所在的列对应的向量构成向量组的一个极大无关组.例3 设有向量组，求（1） 向量组的秩。（2） 向量组的一个最大无关组（3） 把不属于最大无关组的向量用最大无关组线性表示出来.解：记A=，对A施行行初等变换，化为A的行初等矩阵：A所以易求出：（1）=3 （2）就是A的一个最大无关组。 （3）例4 设矩阵，求矩阵的列向量组的一个最大无关组，并把不属于最大