初中数学论文：例谈数学若干思想方法的教学策略.doc

初中数学论文例谈数学若干思想方法的教学策略摘要 数学思想方法是数学学科的精髓，是数学素质的核心。只有掌握了数学思想方法，才能真正掌握数学的通性、通法，才能从本质上把握数学教学。本文通过对数学若干思想方法的例谈，旨在增强教师重视数学思想方法的教学意识，形成有效的数学思想方法教学策略，提高教学水平。关键词：数学思想 教学策略“数学的内容、思想、方法和语言广泛渗入自然学科和社会学科，成为现代文化的重要组成部分”。数学思想方法是数学学科的精髓，是数学素养和重要内容之一。学生只有领会了数学思想方法，才能有效地应用知识，形成能力，而数学思想方法在教学实践方面的应用，更能加强教师的数学思想方法教学意识，更新教学观念，形成有效的数学思想方法教学策略，提高教学水平。初中数学基础知识包含概念、法则、公式、定理和数学思想方法两大类。现时数学思想方法是隐藏在数学概念、法则公式、定理等知识的背后，它比一般的数学概念具有更高的概括性和抽象性，因而更深刻，重视数学思想方法的教学是数学知识运用的核心，是数学的精髓和灵魂。课程标准要求，在课堂教学中，应当引导学生在学好数学的基础上，掌握数学规律（包括法则、性质、公式、定理、数学思想方法）。只有掌握了数学思想方法，才能真正掌握数学的通性、通法，才能从整体上、本质上掌握数学。数学素质的核心即为数学思想方法，它要求教师在向学生传授知识、技能的同时，让学生接触了解一些重要的数学思想方法，形成良好的思维品质。就初中数学而言，常用的数学思想方法有归纳猜想、演绎、类比、化归、转换、分类讨论、数形结合等等。一、数学若干思想方法例谈1、归纳猜想的思想先从个别特殊情况出发，然后通过归纳得出一般结论的一种数学思想。例：已知ABC的面积为S。 (a) (b) (c)（1）如图（a），将AB三等分，D1、D2是三等分点，且D1E1D2E2BC，求梯形D1E1 E2D2的面积。 （2）如图（b），将AB五等分，D1、D2、D3、D4是五等分点，且D1E1D2E2D3E3D4E4BC，那么梯形D2E2E3D3的面积是多少（用S表示，不必写出求解过程）？（3）如图（c），将AB(2n1)等分（n为大于3的一个自然数），类似（2）得到梯形Dn1En1 EnDn（阴影部分），那么这个梯形的面积是多少（用S表示）？（1）解：因为D1E1D2E2BC，所以AD1E1AD2E2ABC；因为AD1=D1D2=D2B，所以AD1：AD2：AB=1：2：3，：=1：4：9，则=S，=S，所以=SS=S。（2）=S （3）S梯形Dn1En1EnDn =S这里先从个别特殊情况出发，然后通过归纳得出一般情况下的结论，有时，其中往往伴随着尝试探索，得出猜想。英国数学家休厄尔有句名言“若无某种大胆的猜测，一般是作不出知识的进展。”很明显，关于问题提出的必备思想是：归纳、猜想。2、演绎的思想把一般情况下成立的命题（或公式）应用于特殊情况，完成推理（或求解）的一种数学思想。例（1）求证n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n2+3n+1) 2 （2）并计算证明；（1）左边=（n2+3n）(n2+3n+2)+1=(n2+3n) 2+2(n2+3n)+1=(n2+3n+1) 2=右边等式成立 = n2+3n+1（2）=512+351+1=2755这里第（2）小题，不需要再重新细致求解，因为在一般情况下成立的命题第（1）小题的结论，在特殊情况下显然适用，这就是演绎推理在发挥作用。3、类比的思想发现与利用解题思路或方法上类似之处来帮助解题的一种数学思想。例：已知x+=a+的两根分别是a，。求x+=a+的解解：原方程变形为x1+=a1+ x1=a1=x1=ax1=x2=这里就是借助类比，获得启迪，从而得解且避免赘述。4、化归的思想把陌生的新问题转化为熟悉的老问题来解决的一种数学思想。例：ABC中M为BC的中点，P为AM上一点，BP、CP分别交AC、AB于E、D，试问DE与BC的位置关系，并证明你的结论。解：DE与BC的位置关系是相互平行，证明如下：延长AM到N，使MN=PM，连接BN、CNPM=MN BM=MC 四边形PBNC是平行四边形DCBN BECN = = EDBC这里，解决问题的方法没有什么新花样，无非仅使用旋转而已。将CP、BP旋转到BN、CN上，于是陌生的新问题立即（转）化归（结）为熟悉的老问题。图示如下由此可见，利用几何动态旋转、翻折、平移是实现化归的绝妙手段。又如在证明线段之间的和、差、倍分关系时，常通过作和法、作差法、加倍法、折半法进行图形的变换把上述问题化归为证明线段相等的问题；代数中因式分解、解方程（组）中常用的换元法就是化归思想在式的变形中的表现。5、转换的思想把一类问题转换为另一类问题来解决的一种数学思想。例：有若干张如图所示的正方形和长方形卡片：表中所列四种方案能拼成边长为（a+b）的正方形是（ ）卡片方案（1）（2）（3）A112B111C121D211解：可等价转化为边长为（a+b）的正方形的分割的问题，由下图可得答案选A。某些问题直接入手较困难，往往考虑问题是否等价转化为较易入手的简单命题，使得问题迎刃而解。6、分类讨论的思想当一个问题可解出现几种情况时，常用分类的方法来得出各种情况的不同结果的一种数学思想。例：请在同一平面直角坐标系中，画出函数y=ax+b与y=(其中ab0)的大致图象。分析：决定一次函数图象的关键是一次项系数和常数项，而决定反比例函数图象位置的是反比例系数，在本例中就是a、b。在本例的反比例函数y=中，我们应该把ab看作一个整体，先讨论ab的符号对反比例函数的影响，再分别对a、b进行研究，以确定一次函数y=ax+b的大致图象。这也是常用的分类讨论的方法。解：（1）当abO时，函数y=的图象在第一、三象限，所以，若aO且bO，则所求大致图象如图(a)所示；若aO且bO，则所求大致图象如图(b)所示。（2）当abO时，函数y=些的图象在第二、四象限，所以，若aO且bO，则所求大致图象如图(c)所示；若aO且bO，则所求大致图象如图(d)所示。(a) (b) (c) (d)本例的探索运用了数学的分类思想。正确的分类，不重、不漏至关重要。对实数的分类一般为大于零、小于零和等于零，本例中有限制条件abO，因此只需分为两类情况进行讨论。7、数形结合的思想把数和形互相结合的一种数学思想。它是代数、几何知识相互转化、互为所用的解题方法，利用代数变形的可操作性，借助代数计算，可以解某些不易发现直观思路的几何题。利用几何图形的直观性可以解某些比较抽象的代数问题。例：二次函数y=x2+bx+c的图象如图所示，则函数值yO时，对应x的取值范围是 。解：由题可得顶点为（，），又由图得顶点为（1，4），则=1，=4解得b=2，c=3，则y=x2+2x3又y=0时，即x2+2x3=0，得两根x=3或1。当x1或x3时y0。当3x1时y0。故答案为3x1。数形结合是一个极富数学特别的信息转换，是极为重要的数学策略。上述的这些数学思想方法，往往都含在要解决的数学问题中折射出其中的几种。因此，做好数学思想方法的梳理与吸纳工作，特别对数学教学有十分重要的意义。二、数学思想方法教学策略抓住机会，适时渗透。数学知识的发生过程，实际上也是思想方法的发生过程、思考过程。因此，概念的形成过程、结论的推导过程、方法的思考过程、问题的发现过程、规律的被揭示过程都蕴藏着向学生渗透数学思想方法，训练思维的极好机会。策略一：展开概念不要简单地给出定义。概念是思维的细胞，是浓缩的知识点，是感性飞跃到理性认识的结果，而飞跃的实现要经过分析、综合、比较、抽象、概括等思维的逻辑加工，依据数学思想方法指导。因此概念教学应完整地体现这一生动过程，引导学生揭示概念本质特征，让学生对理解概念有一定的思想准备，同时也培养学生从具体到抽象的思维方法。案例1 单项式的概念建立，展现知识的形成过程1、让学生列代数式：（1）x表示正方形的边长，则正方形周长是 。（2）a、b表示长方形的长和宽，则长方形的面积是 。（3）某行政单位原有工作人员m人，现精简机构，减少25%的工作人员，则精简 人（4）某商场国庆七折优惠销售，则定价y元的物品售价 元。2、让学生观察所列代数式包含哪些运算，有何运算特征，揭示各例的共同特征是含有“乘法”运算，表示“积”。3、引导学生概括单项式概念，讲解“单独一个数或一个字母也是单项式”的补充规定。策略二：着重过程不要过早下结论。教学中引导学生积极参与数学定理、性质、法则、公式等结论的探索、发现、推导过程，弄清每个结论的因果关系。案例2 “有理数的减法法则”的教学方法1、提出课题：某地一天的气温是34，求这天的温差，可是小明不会算，同学们能帮助他解决这个问题吗？2、问题解决：问题（1）：你能从温度计上看出4比3高多少摄氏度吗？请同桌同学进讨论交流。问题（2）：如何计算4(3)呢？先引导学生回忆：被减数、减数、差之间的关系，被减数减数=差，再利用减法是加法的逆运算，引导学生得出：差+减数=被减数。要计算4(3)就是求一个数x，使x与3相加等于4，即x+(3)=4，因为7+(3)=4，所以4(3)=7。问题（3）：请同学们想一想：4+？=7，学生回答，教师板书：4+(+3)=7，引导学生观察4+(+3)=7与4(3)=7，得：4(3)=4+(+3)问题（4）：你发现这个等式有什么特点？学生回答后，示意换几个数再试一试，并请同学们分组计算、交流、总结。教师在此基础上归纳有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。策略三：小结、复习要会联系。对于小结、复习。不仅要罗列知识，而且要提示知识之间的内在联系。有效的方法是利用对比、类比、化归、转换等，讲清来龙去脉，从整体上对内容有清晰的认识，形成知识结构图。在复习小结中还可以总结这章所涉及的数学思想方法，从知识发展的过程来观察思想方法所起的作用。策略四：例题、习题要会反思。对于例、习题，不要就题论题，而要教会学生解完题后进行反思。解法是怎样想出来的？关键是哪一步？自己为什么没想出来？能找到更好的解题途径吗？这个方法能推广吗？通过解决这个题，我们应该学什么？这种反思能较好地概括思维本质，从而上升到数学思想方法上来。著名数学教育家弗赖母登塔尔指出：“反思是数学活动的核心和动力。”我们要让学生养成反思的习惯。策略五：学生提炼不要包办代替。苏格拉底说：他从不把自己看作一个教师而是看作一个帮助别人产生他们自己思想的“助产士”。学习有一条很重要的原则，就是不可代替的原则。对于数学思想方法的学习也不仅仅靠灌输。应将概念、结论性知识的教学设计成再发现、再创造的教学。通过探索研究活动，使