初中数学论文：用发现式的数学实验来开启学生的数学之眼.doc

初中数学论文用发现式的数学实验来开启学生的数学之眼摘 要 “做数学”是目前数学教育的一个重要理念，它强调学生的数学学习是一个现实的体验、理解和反思的过程，强调以学生为主体的学习活动对理解的重要性，认为学生的实践、探索与数学思考是学生理解数学的主要条件。学生要想牢固地掌握有用的数学，就必须用发自内心的喜好来创造并体验数学。那么，在数学教学中如何开启学生“数学的眼睛”，激发学生用数学的眼光“自我发现”数学新知识（对学生来说是新的）的兴趣，体验创造成功的乐趣进而调动学生热爱数学，学好数学，用好数学呢？根据笔者长期的教学实践及参与教学调研的结果分析，发现让学生“动手做发现式数学实验”式一种十分有效的再创造式数学教学方法。关键词 数学实验 动手 发现 体验成功根据初中学生的心理特征：他们喜欢把新的抽象的数学知识跟具体现实及自己的经验联系起来，通过图表，模型和其它的具体手段进行学习。从“让学生学现实的，有用的数学”出发，结合初中数学的具体教学内容，挑选富有情境性，开放性和挑战性的问题，设计符合初中学生心理特点的发现式数学实验（其中有些实验要求学生个体完成，有的则可以在课内让学生小组集体完成），从课内外结合着手。根据学生充分的课前准备，课内动手做实验，边做便让学生利用正式的表达，合作实验，讨论交谈，记录下来的图表，模型，数学表达式进行交流，寓学于乐，特别有利于学生创新的培养。笔者不避粗陋，就此方面谈一下个人认识。一、从尝试整体化的思想设计再发现式数学实验一道数学题构成一个系统,对系统的处理（解题）要借用系统科学的思想方法.事实上，题目中的所有信息都是一个有机的整体，各部分之间的精彩配合是解题成功的必要前提，有人称之为“整体方法”或“整体策略”，而实质上是整体思想,它是系统科学中的整体性原理在解题中的应用。【案例】（幻方填数实验）把“1、2、3、4、5、6、7、8、9”九个数分别填入图1的九个空格中，使每行、每列、每条对角线上的3个数相加的和都相等。1、师生解题策略分析：abcdefghi图2图1(1) 学生解题策略分析：为了容易表述，现将九个方格子上的数字分别记为a、b、i（图2）。首先，从图形及数字的对称性，容易产生直觉，e处的数字填5。然后可以发现a+i=b+h=c+g=d+f，这样就把这八个数分成四组(a,i)、(b,h)、(c,g)、(d,f)，很显然，它们与(1,9)、(2,8)、(3,7)、(4,6)一一对应，从而说明每行每列各数之和是15。接着尝试实验，取a=1，则i=9，由于b+c=d+g=14，而它们四个数的和的最大值=5+6+7+8=3628，所以a=1尝试失败。继续尝试实验，取b=1，h=9，此时易想到a、c对应着6、8，然后就不难得到九宫格中的各数了。(2) 教师的解题策略分析：首先，不管怎么填，这九个数的和是不变的，等于45（不变量1），根据每行的和相等，可得每行的和等于15（不变量2）。然后，根据(a+e+i)+(c+e+g)+(b+e+h)+(d+e+f)=415=60，得45+3e=60，解得e=5（不变量3）。接着再进行上述的尝试。2、实验步骤设计(1)给出问题，学生尝试填数。题意简明易懂，学生完全能够自主实验，探索结论。(2)学生相互交流、讨论。学生之间的差异是客观存在的，让学生进行相互交流讨论，可以发挥出学生的教育资源。(3)收集学生的答案，逐一比较。各小组之间的答案如下图所示：图5672159834 294753618图3图4276951438收集学生的答案之后，引导学生对比图3与图4的两种填法，可以发现将图3沿对角线折叠，可得图4的结果；再引导学生对比图3与图5的两种填法，可以发现将图3沿顺时针方向旋转就可得到图5的结果； (4)提出问题，引导探索对比了各种答案之后，容易想到，如果把经过旋转、对称变换后完全一致的两种填法视为一种，那么到目前为止，我们只有一种填法。从而自然地引出，这个问题只有一种填法，还是不止这一种填法？显然，学生会对e的各种不同情况进行分类讨论，再进行实验，反思。(5)抓住不变量，整体把握再次引导学生思考：运用分类讨论的思想我们解决了这个问题，但过程很繁琐，本题有无简单易行的解法呢？在实验的时候我们着眼于各个具体的方格，感觉各个位置上的数字都会有许多种可能性，这样的一一判别很繁琐，现在我们换一种方式去思考，能否从整体上进行把握，哪些量是不会改变的？通过老师的逐步引导，学生可以发现其中的不变量，从而解决这个问题。(6)对比反思，提炼思想最后引导学生对两种解法进行对比，提炼出其中的数学思想。通过学生实验，学生在实验中利用直觉提出猜想，进而检验，得到问题的解，经历了数学探索的第一个历程。正当学生沾沾自喜之际，就地取材，汇总学生答案，对答案进行比较，引起思考，学生就不会满足于仅仅填出答案，激起探索热情。通过问题引导他们进行深入地思考，从而使学生感受到抓不变量的整体化思想。由于前一方法繁琐只关心特解，而后一方法可从总体上认识问题，使学生产生强烈的对比，就能深刻体会到整体化思想。二、从抽象概念的直观化设计再发现式数学实验在初中数学教学中，教师通过具体的直观实验引入课题，有利于数学原理和概念的教学。列夫托尔斯泰曾说：“知识，只有当它靠积极的思维得来，而不是凭记忆得来的时候，才是真正的知识。”新理念就要求教师在概念教学中注重知识的生成，引导学生从已有的知识背景和活动经验出发，提供大量操作、思考与交流的机会，让学生经历观察、实验、猜测、推理、交流与反思等过程，进而在增加感性认识的基础上，帮助学生形成数学概念。【案例】无理数的概念教学1、实验准备：课前准备一把剪刀、两张同样大小的正方形纸片（边长视为1）、计算器。实验要求：让学生利用这些工具剪拼出面积为2的正方形；2、利用计算器探求 的小数部分。实验说明：考虑到本节课的特点和随着学生年龄的增长，他们的思维水平也在不断提高，为此直接提出富有挑战性的数学问题“拼得的正方形的面积是多少？”“它的边长是多少？”“估计 的值在哪两个整数之间？”“能用分数表示吗？”引导学生进行数学实验与探索，发展抽象思维能力在探索了以上几个问题的基础上，学生真实体会到了面积为2的正方形的边长不能用有理数来表示，但它确实存在，切身感受到除有理数外还有一类数点出概念“无理数”。实验结果：拼图对学生来说易如反掌，通过动手操作，班级交流，全班一致认为最容易、最美观的拼图是： 因为已经学习了算术平方根的概念，学生马上就说出了大正方形的边长是 。但接下去的“用计算器探求 的小数部分”就有点困难了，教师提示：（1）输入大于1小于2的数，平方的结果比2大了，怎样调整？结果比2小呢？（2） 我们能否找到一个有限的小数,使得它的平方刚好等于2？（3）大家有没有发现1.4142出现循环,那你认为在省略号的背后, 有没有可能出现循环?从而引导学生体验到：事实上, =1.4142是一个无限不循环的小数。在动手操作实验和展示结果的过程中，增强学生的感性认识、培养合作精神，并从中体验成功的喜悦，当然加深了学生对概念的理解。三、从加深理解的角度设计再发现式数学实验传统数学课堂教学压缩了学习知识的思维过程，往往造成感知与概括之间的思维断层，既无法保证教学质量，更不可能发展学生的学习策略。新理念提倡重视过程教学，在揭示知识生成规律上，让学生自己动手实验，自己去发现数学规律，从而理解更深刻。【案例】三角形全等判定条件的探索课前要求准备好刻度尺、量角器、纸板、剪刀等课堂上教师先告诉学生今天要研究三角形全等的判定方法，然后请学生按以下程序操作并思考实验的道具：一张边长分别为13cm，10cm，8cm三角形纸片，五根边长分别为13cm，10cm，8cm，12cm，7cm的木棒，一张实验报告单。实验步骤：（1）取一条木棒使其长为三角形纸片一边的长（如：取10cm的木棒），再取两根木棒，长度与三角形纸片另两边都不相等，两个三角形能重合吗?ABCABC实验结果：只有一边对应相等的两个三角形不能重合。（学生回答）（2）取两根木棒使其长分别等于三角形纸片两条边的长度（如：取10cm，13cm的木棒），再取一根木棒，长度与三角形纸片另一边不相等，两个三角形能重合吗?ABCABC实验结果：只有两边对应相等的两个三角形也不能重合。（学生回答）（3）取三根木棒使其长分别等于三角形纸片三边的长度，两个三角形能重合吗?CABCAB实验结果：三边对应相等的两个三角形能够重合。完成实验报告单，以4人小组为一个单位，讨论实验的结论，选出代表发表结论。再次探索：问：三边长度发生变化结论是否还成立？请按照下面的方法,用刻度尺和圆规画 DEF,使其三边分别为8cm，6cm，5cm。画法：1、画线段EF=8cm，2、分别以E，F为圆心，6cm，5cm长为半径画两条圆弧，交于点D（与D），3、连接DE，DF。师生共同完成作图，以4人小组为单位，互相比较三角形是否重合，再次展开讨论，并发表结论。教师总结：一般地，有三边对应相等的两个三角形全等(简写成“边边边”或“SSS”)即若AB=AB,BC=BC,CA=CA,则ABCABCCABCAB 实验报告单（附）只一边对应相 等只两条边对应相等三条边对应相等两个三角形是否重合结 论这类设计的模式是：特殊一般特征特殊特征由于这一判定方法是以公理形式出现的，所以只要学生认可即可这时，教师提醒学生每个同学得到的结论都一样，这其实是实验证明了结论的正确性.再发现式数学实验教学不是把数学知识直接告诉学生，而是通过学生动手操作、合作探究获得的，这是一个主动建构的过程在这一过程中，通过动手操作，把学生推到思维的前沿，把课堂交给了学生，给学生参与实验、自主探索、合作交流的机会，让学生在自主的思维活动中去构建新的认知结构，这样既加强了数学交流，又培养了合作精神对于三角形内角和定理、SAS、ASA、AAS公理，圆的轴对称性、中心对称性、旋转不变性等内容的教学，都可以采用操作性实验教学法四、从极限的数学问题的矛盾出发设计再发现式数学实验学生的创新思维往往来自与学习过程中的思维“偏差”和好奇心。学生在传统的教学模式中，往往表现为随着时间的推移，好奇心越来越弱，越来越顺着老师讲课的思维想问题，思维中的“偏差”越来越少，思维的亮点也越来越少。而实验教学恰恰是提供学生探索发现、尝试错误和猜想检验的机会，只要教师善于发现学生的闪光点，善于捕捉学生思维“偏差”的契机，恰当引导，有时实验教学会收到意想不到的效果。【案例】“一张纸按同一方向对折，对折次数能否超过7次？”这是笔者在教乘方时留给学生的一个数学思考题典例。有一次，一个调皮的学生问了一句：“这个怎么折啊？”一个极限的数学问题立即就演变成为一件棘手的课堂突发事件，怎么办？于是笔者因势利导，请全班同学马上动手做折纸实验：用练习本大小的纸你最多能对折多少次？课内折纸实验结果显示：按同一方向对折，练习本的纸最多能折6次，超过6次的学生是按不同方向对折得到的。教师趁机提问：问题：一般情况下，按同一方向对折，为什么无法把一张纸对折超过7次？将其布置为学生需要长期思考的数学问题，通过实验观察等手段课后进行解决。实验结果：一些学生用纸反复对折，合作讨论后发现：每次对折后纸的厚度就增加一倍，而宽度则减少一半，在纸的宽度不及其厚度的2倍时，就无法再将它对折了。一张纸对折了7次后，厚度是原来的128倍，而宽度则是原来的 ，这样就接近了可以对折的极限。对于上述数学例子，教师应该因势利导，可以变成很好的教学资源进行开发，使学生通过学数学而变得聪明起来。数学实验的引入，尤其是计算机参与下的数学实验的引入，给我们的数学课注入了许多活力，更能给予学生一个“完整的数学”，培养学生研究性学习的习惯，培养