随机过程第三章 泊松过程.ppt

第一节泊松过程的基本概念 第三章泊松过程 由定义 计数过程具有以下两个特点 1 取值为非负的整数 2 时 且表示时段内事件A发生的次数 1 2 有独立增量 3 对任意的 有 由条件 3 可知泊松过程有平稳增量并且在任一长度为t的区间中事件的个数服从参数 均值 为的泊松分布 在实际过程中 条件 3 的验证存在着一定的困难 为此我们给出泊松过程另一个等价定义 若在任一时间区间中发生的事件个数的分布只依赖于时间区间的长度 则称计数过程有平稳增量 这就意味着此时与有相同的分布 1 2 过程有平稳与独立增量 3 4 若是参数为的泊松过程 则有 于是可以认为是单位时间内事件发生的平均次数 称为泊松过程的强度 风险率或速率 例1 例2事件A的发生形成强度为的泊松过程 如果每次事件发生时以概率能够记录下来 并以表示到t时刻被记录下来的事件总数 证明是一个强度为 的泊松过程 证满足定义3 2中的前两个条件是显然的 下证它也满足第三个条件 显然 的可能取值为并且由全概率公式 有 而 若 若 由题意 于是 所以 是一个强度为的泊松过程 第二节与泊松过程相联系的若干分布 预备知识 1 函数定义为 2 有关函数的几个重要公式 当时 就是参数为的指数分布 引理设相互独立且均服从参数为的指数分布 则有 5 泊松过程的样本轨迹是跳跃度为1的阶梯函数 记为第次事件发生的时刻 是第次与第次事件发生的时间间隔 一 和的分布 定理3 2服从参数为的指数分布 且相互独立 证当时 有 所以 又 即相互独立且均服从参数为的指数分布 重复以上的推导可证定理之结论 定理3 3 证由于 故由定理3 2以及引理的结论马上可得本定理之结论 注 1的概率密度为 2 由定理3 2 我们给出泊松过程的另一个等价定义 定义3 3设是计数过程 如果它的相继到达时间间隔序列相互独立且服从相同的指数分布 则称为泊松过程 定理3 2的直接推论设泊松过程的强度为 记为过程的到达间隔 则 引理 无后效性或无记忆性 设随机变量服从参数为的指数分布 则 证 第三节泊松过程的推广 一 非齐次泊松过程 定义3 4计数过程称为强度为的非齐次泊松过程 如果 1 2 过程有独立增量 3 4 令 则有如下的等价定义 定理定义3 4与定义3 5是等价的 证只需证 证明过程将要用到母函数的概念 从略 例3 7设某设备的使用期限是10年 在使用期限内 如果出现故障则需要维修 设出现故障的计数过程是一个非齐次的泊松过程 并且已知前5年它平均2 5年需要维修一次 后5年平均2年需要维修一次 求它在使用期内只维修过一次的概率 解由题意 强度函数为 则在使用的期限 10年 内 故障发生的次数服从参数为 的泊松分布 故 二 复合泊松过程 定义3 6称随机过程为复合泊松过程 如果对于 它可以表示为如下形式 其中是一个泊松过程 是一族独立同分布的随机变量 并且与独立 例3 3设进入商店的顾客数可以用一个泊松过程来近似 第个顾客在商店购物支付的款数记作 并设相互独立同分布 则在时段中商店的营业额 是一个复合泊松过程 例3 4设保险公司接到的索赔次数服从一个泊松过程 每次要求赔付的金额独立同分布 则在任一时段内保险公司需要赔付的总金额就是一个复合泊松过程 定理3 6设是一复合泊松过程 其中泊松 过程的强度为 则 1 具有独立增量 2 若均存在 则 证 1 令由于具有独立增量性 故 相互独立 即具有独立增量性 2 2 的证明需要用到矩母函数 略 例3 10在保险中的索赔模型中 设索赔要求以平均2次 月的速率的泊松过程到达保险公司 每次赔付为均值为10000元的正态分布 则一年中保险公司平均赔付额是多少 解由题意 有 故所求的值为 元 三 条件泊松分布 在实际问题中 常常会出现这样的情形 此时某些意外事件出现的频率是不能预先确定的 往往是一个随机变量 而当频率确定时 意外事件出现的规律就是一个泊松过程 这就是本节所要研究的条件泊松过程 定义3 7设是具有分布的正值随机变量 如果在给定的条件下 计数过程服从参数为的泊松过程 则称是条件泊松过程 由定义可知 如果是条件泊松过程 则有 定理3 7设是条件泊松过程 且 则 1 2 证 1 2 例3 11设意外事故的发生频率受某种未知因素影响有两种可能 且 为已知 并且已知到时刻已发生了次事故 1 求下次事故在之前不会到来的概率 2 发生的频率是的概率 解 1 所求的概率为 以及 课堂练习 习题1 通过某十字路口的车流是一泊松过程 设每分钟内没有车辆通过的概率为0 2 求两分钟内有多于一辆车通过的概率 习题2 在时间t内向电话台呼叫k次的概率为如果任意两相邻的时间间隔内的呼叫次数是相互独立的 求在时间2t被呼叫n次的概率 习题3 设顾客到达商场的速率为2个 分钟 求 1 5分钟内到达顾客数的平均值 2 5分钟内到达顾客数的方差 3 5分钟内至少有一个顾客到达的概率 习题4 设顾客到某商场的过程是泊松过程 已知平均每小时有30人到达 求下列事件的概率 两个顾客相继到达的时间间隔 1 超过2min 2 少于4min 3 在1 3min之间习题5 某商店从上午8时开始营业下午5时关门 平均顾客到达率满足 从8时到11时线性增加 8时开始为5人 h 11时为高峰 达到20人 h 从11时到下午1时到达率不变 从下午1时到5时线性递减 5时为12人 h 设在不相重叠的时机间隔内到达的顾客数是相互独立的 求 1 上午8时半到9时半内顾客到达数的期望 2