功课表中的数学.doc

温州市第四届“摇篮杯”初中学生数学小论文县（市、区）： 温 州 市 学校（全称）： 温州市绣山中学 作 者： 徐亦豪 丁岱宗 金亦钊 指 导 师： 王 建 生 论 文 题 目： 功课表中的数学 2010 年02月功课表中的数学摘要：在温州市初中数学夏令营学习期间，我们几个同学对功课表上的数学排列问题产生了兴趣，把刚学的知识活学活用。通过不断思考，不断探讨，不断解决提出的问题，修改错误的结论。并努力尝试提出更困难的问题，利用各种数学方法进行解决。而最终得出的结论，也远远超过了这张小小的功课表，同时大家的思维也得到了很大的提升。关键词：功课表数学节数排列组合一、 问题的发现在温州市初中数学夏令营学习期间，我们学习了有关排列与组合的问题。在一次课后，我们正无聊的看着功课表。突然，大家开玩笑似地提出了一个问题，有这么多班级，而老师很有限。每个班的数学课不可能都排在同一节，那数学课的排法一共有几种呢？我们都认为这个问题很有意思。于是我们把每天的数学课节数统计做了以下一个表格。天数数学课节数/每天的总节数12/822/831/842/852/861/3 提出问题后就上自修课了，我们也只好放下讨论，各自去思考了。当时我最先得出的算法是这样的：第一天的排法：第一节数学课的排法有8种，第二节数学课有7种，所以总共：87=56种而第二天、第四天、第五天和第一天的排法相同，也为56种；第三天则为8种；第六天为3种；所以6天的总排法有：5656565683=236027904种 下课后，我们又开始交流这个问题，但大家马上对我的算法提出了异议：两节数学课（A、B）是一样的，按照上面的算法，把AB和BA算成两种，就重复了。于是我们修改了方案，将每个56改成28，则得出结论共有2828282883=14751744种排课方法。二、 问题的提升正当我们认为问题已解决时，我又提出了新问题：如果把每天的物理、化学、生物和自修都算入其中，那一共又会有多少种排列方法呢？大家都被难住了，但我们还是下定决心利用学到的知识解决它，于是我们又对全部课程统计列出了下面的表格。天数数学（节）物理（节）生物（节）化学（节）自修（节）1221122212123112224221125211226（特殊原因3节课改为4节）11110我们便又分头开始计算了，最后得出结果是这样的：1. 设第一天共有8个位置，则数学有28种排法；去掉2个位置，那物理就有：652=15种又去掉2个位置，所以生物就有4种排法；同理化学有3种排法；自修有1种排法。则共有：2815431=5040种2. 接着，我们又通过比较，发现前5天的课程总是有3种2节课科目，2种1节课的科目，所以前5天每天的安排都有5040种。3. 第六天的安排等于是4个元素的排列：A44=4321=24种4. 所以这六天课程排列共有：5040504050405040504024=78048385538457600000种当得出这个结论时，我们惊呆了，没想到一张小小的功课表就有这么多种排列方法，我们3人顿时感到前所未有的成就感。三. 问题的延伸但我们仍不知足，大家接着又提出新问题：假如课程可以随意排，保持每科总数不变和6天的课程总量不变，那又会有多少种排法呢？我们还是各自回去先思考。最后大家总结出了这样一种方法：这个问题就相当于将10个A（数学），8个B（物理），8个C（化学），8个D（生物）和10个E（自修）填入有顺序的44个方格中。我们还是用原来的办法，将44个方格当作44个位置，将10节不同的数学填入的方法有：A4410种。又因为10节数学实质上是一样的，所以要除去每种排列重复的次数，就相当于将10节课排顺序的方法为：A1010所以共有：（A4410 /A1010 ）种=C4410种我们发现结果太大了，于是就直接用符号表示。44个位置去掉了10个，接着物理课的排列共有：（A348 /A88 ）种=C348种接着，生物课的排列共有：（A268 /A88 ）种=C268种化学课的排列共有：（A188 /A88 ）种=C188种最后，自修课的排列共有：（A1010 /A1010 ）=1种所以，6天44节课的排列方法共有：【C4410C348C268C1881】种这个数字已经是天文数字了，我们更加想不到的是，一张小小功课表中竟能蕴含这么多知识，我们无不为之感到震惊。四进一步提出问题：为使我们的结论对以后老师排列功课表有所作用，更贴近实际，我们又探讨了新的问题：如果每天每种课至少一节课有几种组合？(最后1天数理化生各一节)15天的课每天每种课先排一节的课程组合为(这5节课两两不同，故不用除以A44)：（A58）种，5天共（A58）5种第6天的课程组合为 A44种还剩下15节课其中数学4节 物理2节 化学2节 生物2节 自习5节。这15节课可以随便排入剩余的15个空格则数学的排列方法有C415种物理的排列方法有C29种化学有的排列方法C27种生物有的排列方法C55种所以有【（A58）5A44C415C211C29 C27C55】种组合五再深入提出一问题：据了解，我们发现，学校功课表上每种课程总有几天排两节，而不仅仅是单单的一节，对此我们提出了新问题：如果每天每种课有且只有一或二节课有几种组合？(最后1天数理化生各一节)15天的课每天每种课至少一节的课程组合为: （A58）5种第6天的课程组合为A44还剩下15节课其中数学4节 物理2节 化学2节 生物2节 自习5节又每天每种课至多二节则自习的排列方法：（C13种）5种数学的排列方法有： （C12）4C45种1，1，1，1，2节（不记顺序）物理的排列为5天选2天一天一节共：（若物理没分到2节的那一天）：则有C24种则剩余课程的排列只能是：（1）0，0，1，1，2节则化学必须有一节排在2节的那天，否则生物一天将有3节课,共4种此时生物一种排法如若分到两节的那一天，则共有：C14C12种则剩余课程的排列只能是：（2）0，1，1，1，1节则化学共C24种，此时生物共1种故物理化学生物共有【（C244）+ （C14C12C24）】所以共有（A58）5A44（C13种）5（C12）4C45【（C242）+（C14C12C24）】种六应用的拓展前面所述的课程都只包含理科课程，我们继续讨论，调查了解到我校每星期上课5天每天8节课其中政治5节 语文6节 英语6节 数学7节 科学7节班会1节 体育2节 美术2节 音乐2节 信息2节，问功课表有几种组合？与（问3）类似政治的排列方法有C540种语文的排列方法有C635种英语C716种班会的排列方法有C19种体育的排列方法有C28种美术的排列方法有C26种音乐的排列方法有C24种信息的排列方法有C22种所以有种组合C540 C635 C629 C823 C815 C17 C26 C14 C14 C13 C22种七、我们了解到的道理从这一道简简单单的功课表排列问题，竟然可