上坡-下坡行程问题.doc

问题 从甲地到乙地，先是上坡路，然后就是下坡路，一辆汽车上坡速度为每小时20千米，下坡速度为每小时35千米。车从甲地到乙地共用9小时，从乙地返回到甲地共用7.5小时。求去时上坡路和下坡路分别为多少千米？先画出如右图形：图中A表示甲地，C表示乙地。从A到B是上坡路，从B到C是下坡路；反过来，从C到B就是上坡路，从B到A是下坡路。由于从甲地到乙地用9小时，反过来从乙地到甲地用7.5小时，这说明从A到B的距离大于从B到C的距离。本题的难点在于上下坡不仅速度不同，而且距离不同，因此自然的思路是设法把上下坡的距离变不同为相同。在从A到B的路程中取一个点D，使得从D到B的距离等于从B到C的距离，这样A到D的距离就是AB距离比BC距离多出来的部分。下面我们分析为什么去时比回来时间会多用了：9-7.51.5（时）从图中容易看出就是因为去时从A到D是上坡，而回来时从D到A变成了下坡，其它路途所用的总时间是一样的。现在的问题是AD这段路程中速度由每小时20千米改为35千米，则时间少用1.5小时，由此可以求出什么？如果设速度为每小时20千米所用时间为单位“1”，那么速度为每小时35千米所用时间为：由此就可以求出AD之间的距离为：203.570（千米）或 35270（千米）还可以求出从D到C和从C到D所用时间均为：93.55.5（时）或 7.525.5（时）至此我们已经完成了将上下坡的距离变为相同的目的了。如果设从D到上坡所用时间为：所以去时上坡的总路程就是：70+203.5=140（千米）下坡总路程是：352=70（千米）上面所用方法实质上是通过“截长变短”把上下坡的距离“变不同为相同”，而实现这一目的还可以通过“补”的方法。将返回的路程补在去时路程的后面，画出右图：这时全程去与回所用的时间都是：97.516.5（时）而且全程的上坡路程和下坡路程相等，都等于原来上下坡距离之和。设为：所以原来上下坡距离之和就是：2010.5=210（千米）或 356210（千米）下面采用解决“鸡兔同笼”问题的方法，假设原来从A到C速度不变，都是每小时35千米，这样9小时所行路程应该为：359180（千米）比实际距离少行了：21018030（千米）就是因为从B到C的下坡速度每小时20千米变成了35千米，因此从B到C的时间为：30（3520）2（时）从A到B上坡的时间为：92=7（时）由此上下坡的距离就不难求出了。这个解法的思路是通过“补”，不仅使得上下坡距离相等，而且使得往返所用的时间相等。解决本题的两个方法说明，在“变不同为相同”这个基本思想的指导下，手段可以是多种多样的。下面再看一道类似的问题。问题 如右图，从A到B是下坡路，从B到C是平路，从C到D是上坡路。小张和小王步行速度分别都是：上坡每小时4千米，平路每小时5千米，下坡每小时6千米。二人分别从A、D两点同时王到达A后9分钟，小张到达D。求从A到D的全程距离。首先发现二人平路上行走的距离相同，小张比小王多用9分钟的原因就是CD距离大于AB距离。我们仿照上题思路，在CD上取一点F，使得CF距离等于