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CHAPTER3 THEDERIVATIVE 微积分学的创始人 德国数学家Leibniz 微分学 导数 导数思想最早由法国 数学家Ferma在研究 极值问题中提出 英国数学家Newton 2 1 TwoProblemswithOneTheme TangentLines SecantLines Theslopeofasecantlinebetween2pointsonacurveisthechangeiny valuesdividedbythechangeinx values Sinceatangentlinetouchesonlyonepointonthecurve howdowefindtheslopeoftheline Weconsidertheslopeof2pointsthatareINFINITELYclosetogetheratthepointoftangency thusalimit AverageVelocity InstantaneousVelocity Similartoslopeofasecantline tofindaveragevelocity wefindthechangeindistancedividedbythechangeintimebetween2pointsonatimeinterval Tofindinstantaneousvelocity wefindthedifferenceindistanceandtimebetweentwopointsintimethatareINIFINITELYclosetogether again alimit TangentLineSlopeatx c InstantaneousVelocityatt caredefinedtheSAME 一 引例 1 变速直线运动的速度 设描述质点运动位置的函数为 则到的平均速度为 而在时刻的瞬时速度为 自由落体运动 机动目录上页下页返回结束 Afallingbody svelocityisdefined Findtheinstantaneousvelocityatt 1seconds 2 曲线的切线斜率 曲线 在M点处的切线 割线MN的极限位置MT 当时 割线MN的斜率 切线MT的斜率 机动目录上页下页返回结束 两个问题的共性 瞬时速度 切线斜率 所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 类似问题还有 加速度 角速度 线密度 电流强度 是速度增量与时间增量之比的极限 是转角增量与时间增量之比的极限 是质量增量与长度增量之比的极限 是电量增量与时间增量之比的极限 变化率问题 机动目录上页下页返回结束 RestofChange 3 2TheDerivative Thederivativeoff x isdesignatedasf x orf ory 3 2TheDerivative 思考与练习 1 函数在某点处的导数 区别 是函数 是数值 联系 注意 有什么区别与联系 与导函数 机动目录上页下页返回结束 二 导数的定义 定义1 设函数 在点 存在 并称此极限为 记作 即 则称函数 若 的某邻域内有定义 机动目录上页下页返回结束 运动质点的位置函数 在时刻的瞬时速度 曲线 在M点处的切线斜率 机动目录上页下页返回结束 若上述极限不存在 在点不可导 若 也称 在 若函数在开区间I内每点都可导 此时导数值构成的新函数称为导函数 记作 就说函数 就称函数在I内可导 的导数为无穷大 机动目录上页下页返回结束 3 6LeibnizNotation Differentiabilityimpliescontinuity Ifthegraphofafunctionhasatangentatpointc thenthereisno jump onthegraphatthatpoint thusiscontinuousthere 函数的可导性与连续性的关系 定理 证 设 在点x处可导 存在 因此必有 其中 故 所以函数 在点x连续 注意 函数在点x连续未必可导 反例 在x 0处连续 但不可导 即 机动目录上页下页返回结束 2 设 存在 则 3 已知 则 4 若 时 恒有 问 是否在 可导 解 由题设 由夹逼准则 故 在 可导 且 机动目录上页下页返回结束 2 3 RulesforFindingDerivatives 常数和基本初等函数的导数 机动目录上页下页返回结束 例 求椭圆 在点 处的切线方程 解 椭圆方程两边对x求导 故切线方程为 即 机动目录上页下页返回结束 四则运算求导法则 定理 的和 差 积 商 除分母 为0的点外 都在点x可导 且 下面分三部分加以证明 并同时给出相应的推论和 例题 机动目录上页下页返回结束 此法则可推广到任意有限项的情形 证 设 则 故结论成立 机动目录上页下页返回结束 例如 2 证 设 则有 故结论成立 推论 机动目录上页下页返回结束 C为常数 3 证 设 则有 故结论成立 推论 机动目录上页下页返回结束 C为常数 例 解 机动目录上页下页返回结束 有限次四则运算的求导法则 C为常数 机动目录上页下页返回结束 2 4 DerivativesofTrigonometricFunctions Formula 解 f sinx cosxf cosx sinx Findderivativesofothertrig functionsusingthesederivativesandapplyingproductruleand orquotientrule 例 求证 证 类似可证 机动目录上页下页返回结束 Derivativesofsec x csc x andcot x Allarefoundbyapplyingtheproductand orquotientrulesandusingknownderivativesofsin x andcos x 2 5 TheChainRule 复合函数求导法则 Foracompositefunction itsderivativeisfoundbytakingthederivativeoftheouterfunction withrespecttotheinnerfunction timesthederivativeoftheinnerfunctionwithrespecttox Ifthecompositionconsistsof3ormorefunctions continuetotakethederivativeofthenextinnerfunction withrespecttothefunctionwithinit until finally thederivativeistakenwithrespecttox 在点x可导 复合函数求导法则 定理3 在点 可导 复合函数 且 在点x可导 证 在点u可导 故 当时 故有 机动目录上页下页返回结束 求下列函数的导数 例如 关键 搞清复合函数结构 由外向内逐层求导 推广 此法则可推广到多个中间变量的情形 机动目录上页下页返回结束 例 求 解 例 设 解 求 机动目录上页下页返回结束 例 求 解 关键 搞清复合函数结构由外向内逐层求导 机动目录上页下页返回结束 例 设 求 解 机动目录上页下页返回结束 Findthederivative notethisisthecompositionof3functions thereforetherewillbe3 pieces tothechain 3 7 Higher OrderDerivatives f 2ndderivativef 3rdderivativef 4thderivative etc The2ndderivativeisthederivativeofthe1stderivative The3rdderivativeisthederivativeofthe2ndderivative etc 定义 若函数 的导数 可导 或 即 或 类似地 二阶导数的导数称为三阶导数 阶导数的导数称为n阶导数 或 的二阶导数 记作 的导数为 依次类推 分别记作 则称 机动目录上页下页返回结束 Velocityisthederivativeofdistancewithrespecttotime 1stderivative andAccelerationisthederivativeofvelocitywithrespecttotime 2ndderivativeofdistancewithrespecttotime Up orright isapositivevelocity Down orleft isanegativevelocity Whenanobjectreachesitspeak itsvelocityequalszero 速度 即 加速度 即 引例 变速直线运动 机动目录上页下页返回结束 3 8 ImplicitDifferentiation Anapplicationofthechainrule yisnowconsideredasafunctionofx thereforeweapplythechainruletoyApplyallappropriaterulesandsolvefordy dx Findthederivative 例 求椭圆 在点 处的切线方程 解 椭圆方程两边对x求导 故切线方程为 即 机动目录上页下页返回结束 例 求 的导数 解 两边取对数 化为隐式 两边对x求导 机动目录上页下页返回结束 1 对幂指函数 可用对数求导法求导 说明 注意 机动目录上页下页返回结束 2 有些显函数用对数求导法求导很方便 例如 两边取对数 两边对x求导 机动目录上页下页返回结束 又如 对x求导 两边取对数 机动目录上页下页返回结束 设 由方程 确定 解 方程两边对x求导 得 再求导 得 当 时 故由 得 再代入 得 求 机动目录上页下页返回结束 设 求 分别用对数微分法求 答案 机动目录上页下页返回结束 2 8 RelatedRatesAvery veryimportantapplicationofthederivative Appliestosituationswheremorethanonevariableischangingwithrespecttotime Theothervariablesaredefinedwithrespecttotime andwedifferentiateimplicitlywithrespecttotime 相关变化率 为两可导函数 之间有联系 之间也有联系 称为相关变化率 相关变化率问题解法 找出相关变量的关系式 对t求导 得相关变化率之间的关系式 求出未知的相关变化率 机动目录上页下页返回结束 相关变化率 为两可导函数 之间有联系 之间也有联系 称为相关变化率 相关变化率问题解法 找出相关变量的关系式 对t求导 得相关变化率之间的关系式 求出未知的相关变化率 机动目录上页下页返回结束 例 一气球从离开观察员500m处离地面铅直上升 其速率为 当气球高度为500m时 观察员 视线的仰角增加率是多少 解 设气球上升t分后其高度为h 仰角为 则 两边对t求导 已知 h 500m时 机动目录上页下页返回结束 由参数方程确定的函数的导数 若参数方程 可确定一个y与x之间的函数 可导 且 则 时 有 时 有 此时看成x是y的函数 关系 机动目录上页下页返回结束 例 抛射体运动轨迹的参数方程为 求抛射体在时刻t的运动速度的大小和方向 解 先求速度大小 速度的水平分量为 垂直分量为 故抛射体速度大小 再求速度方向 即轨迹的切线方向 设 为切线倾角 则 机动目录上页下页返回结束 抛射体轨迹的参数方程 速度的水平分量 垂直分量 在刚射出 即t 0 时 倾角为 达到最高点的时刻 高度 落地时刻 抛射最远距离 速度的方向 机动目录上页下页返回结束 2 9 Differentials Approximationsdxisthedifferentialofx graphicallyitisthechangeinthexofthetangenttothecurve dy dx dyisthedifferentialofy graphicallyiscorrespondstothechangeintheyofthetangenttothecurve dy dx 微分在近似计算中的应用 当 很小时 使用原则 得近似等式 机动目录上页下页返回结束 微分在估计误差中的应用 某量的精确值为A 其近似值为a