《控制网平差》PPT课件.ppt

第4章控制网平差 对于一个实际平差问题 可建立不同形式的函数模型 相应地就有不同的平差方法 测量中常见的控制网平差方法有条件平差和间接平差两种 本章介绍独立三角网条件平差和水准网间接平差的原理和方法 第一节独立三角网条件平差 根据三角网中起算数据的多少 三角网有独立三角网 网中仅有必要的起算数据 和非独立三角网 网中具有多余的起算数据 之分 三角网平差有按角度平差和按方向平差两种方法 本节讨论独立三角网按角度进行条件平差时 条件方程式列立 法方程式组成和解算的详细步骤和方法 一 典型三角网 1 三角锁 共有n 2个点 其中2个为起算点 n个未知点 起算数据 x1 y1 x2 y2 观测值 ai bi ci B2 2 大地四边形 共有4个点 其中2个为起算点 2个未知点 起算数据 xA yA xB yB 观测值 a1 a4 b1 b4 A B C D 3 中点多边形 共有n 1个点 其中2个为起算点 n 1个未知点 起算数据 xA yA xO yO 观测值 ai bi ci 二 典型三角网的条件方程 1 三角锁 图形条件 基线条件 代入条件方程得到改正数表达的条件方程 n个图形条件 vai vbi vci wi 0 wi ai bi ci 180 将 其中 ai ctgai bi ctgbi 206265 1个基线条件 aivai bivbi wB 0 2 大地四边形 可以列出7个图形条件 但是只有3个是相互独立的 其余几个可以由这3个方程推导出来 用改正数表达 va1 vb1 va2 vb2 w1 0 w1 a1 b1 a2 b2 180 va2 vb2 va3 vb3 w2 0 w2 a2 b2 a3 b3 180 va3 vb3 va4 vb4 w3 0 w3 a3 b3 a4 b4 180 极条件1个 用改正数表达 aivai bivbi ws 0 其中 ai ctgai bi ctgbi 3 中点多边形 在中点多边形中 平差时除了要满足三角形闭合条件外 还必须使中心点处的角度满足下列条件 用改正数表达 图形条件n个 vai vbi vci wi 0 wi ai bi ci 180 i 1 2 n 圆周角条件1个 vci wo 0 wo ci 360 极条件1个 aivai bivbi ws 0 第二节条件平差原理 条件方程可以写成矩阵形式 AV W 0其中 A 为r n阶矩阵 称为系数矩阵 V 为n 1列阵 称为改正数向量 W 为r 1列阵 称为闭合差向量 条件方程AV W 0中 有r个方程 n个未知数 且r n 这样的方程组有无穷多组解 然而 根据最小二乘准则 观测量的最或然值应该满足VTPV min 在AV W 0的条件下确定VTPV的最小值 这在数学中是求函数 VTPV的条件极值问题 条件平差 实际上就是确定条件方程满足VTPV min的唯一解 根据计算函数的条件极值的拉格朗日乘数法则组成新函数 VTPV 2KT AV W 其中 K k1 k2 kr T是拉格朗日乘数 测量平差中称之为联系数向量 显然 只要令 对V的一阶导数等于零就可以求出VTPV的极值 矩阵求导的两个公式 1 设C为常数阵 X为列阵 则 2 设Y Z均为列阵 则 一 改正数方程 令其等于零 注意到 PV T VTP 从而有 VTP KTA转置后左乘P 1得 V P 1ATK 1 该公式表达了改正数V与联系数K的关系 函数 VTPV 2KT AV W 对V求导 二 法方程式 将 1 式代入条件方程AV W 0中得 AP 1ATK W 0 2 这就是条件平差的法方程式 式中 P为观测值的权矩阵 设第i个观测值的权为pi 则 显然P是一个对角阵 其逆存在 且 三 法方程的解 令N AP 1AT 3 则法方程式的形式为NK W 0其中N称为法方程式系数矩阵 是一个满秩二次型方阵 其逆存在 从而可解出联系数向量 K N 1W 4 四 精度评定公式 在条件平差中 精度评定包括计算单位权方差和平差值函数的中误差 其中 r为条件方程的个数 pvv VTPV可以根据改正数向量V直接计算 1 单位权方差 2 平差值的权倒数 我们知道 未知量x的中误差的平方mx2与单位权中误差的平方 2成正比 与该量的权Px成反比 即 条件平差中 平差值权倒数的计算公式为 因此 对于某个平差值 只要能够确定它的权 根据单位权中误差 就可以计算出该函数的中误差 3 平差值函数的权倒数 同样 对于平差值的函数 只要能够确定它的权P 根据单位权中误差 就可以计算出该函数的中误差m 设有平差值函数为 P 1 fTP 1f AP 1f TN 1AP 1f 其中 P为观测值的权矩阵 A为条件方程系数矩阵 N为法方程系数矩阵 f为列矩阵 可见 列出平差函数式后 只要求出f列阵的各元素 即可由上式计算函数的权倒数 则平差值函数的权倒数公式为 五 条件平差的一般过程 1 列出条件方程 AV W 0 2 组成法方程系数矩阵 N AP 1AT 3 解法方程得到联系数 K N 1W 4 计算改正数 V P 1ATK 5 计算平差值 6 精度评定 计算单位权方差 观测值中误差 平差值函数的中误差等 例3 1 某一级小三角网如图 知A点坐标为 500 000 500 000 AB边坐标方位角 32 12 36 长度S 872 562m 三角网角度观测值如下表 计算各点坐标 第三节独立三角网条件平差算例 列条件方程本题应列出5个条件方程 其中3个图形条件 1个圆周角条件 1个极条件 解 2 闭合差检核 一级小三角网测角中误差应不大于5 图形条件闭合差检核 wi max 1 6 w限 圆周角条件闭合差检核 wO 3 2 wO限 极条件闭合差检核 3 列立条件方程 条件方程的矩阵形式为 AV W 0 本例中 W 1 0 1 6 0 6 3 2 33 1 T V va1vb1vc1va2vb2vc2va3vb3vc3 T 4 组成法方程 法方程的组成与解算可以利用Matlab软件 打开Matlab 进入命令编辑器后 先输入常数矩阵A和W 再进行矩阵运算 得到法方程式 解法方程式得到联系数向量K和改正数向量V 注意 本例中所有观测值都是等精度角度观测值 所以法方程中权矩阵为单位阵 先输入2个常数矩阵A W 再点击workspace按钮 对这两个矩阵进行修改 常数矩阵的输入 组成法方程系数矩阵 5 解算联系数和改正数 6 精度评定 直接在MATLAB中计算 PVV m 10 说明该三角网角度观测达到精度要求 PVV V V PVV 59 3972 据此计算测角中误差 7 计算观测量的平差值 8 平差值闭合差检核 图形条件 w1 1 180 0 01 w2 2 180 0 01 w3 3 180 0 00 圆周角条件 wo c 360 0 00 极条件 9 推算三角网各边长度 从已知边AB起 应用正弦定理依次计算 10 计算各点坐标 按闭合导线计算 第四节水准网间接平差 间接平差法 参数平差法 是通过选定t个独立参数 将每个观测量分别表达成这t个参数的函数 建立函数模型 按最小二乘原理 用求自由极值的方法解出参数的最或然值 从而求得各观测量的平差值 用间接平差法进行水准网的平差计算是一种常用的方法 一 间接平差的基本原理 设平差问题中有n个观测值L 必要观测数为t 选定t个独立量X为参数 观测量平差值为观测值L与改正数v之和 按具体平差问题 可列出n个平差值方程 1 误差方程 用矩阵形式表达 L V BX d或 V BX l此式称为间接平差误差方程 式中 L为观测值向量 n 1阶 V为改正数向量 n 1阶 B为系数矩阵 n t阶 X为未知数向量 t 1阶 l L d为常数矩阵 n 1阶 2 法方程式 按最小二乘原理 上式的X必须满足V PV min的要求 因为t个参数X为独立量 可按数学上求函数自由极值的方法 令V PV对X的一阶导数等于零 即 将误差方程V BX l代入上式 令 上式简写成 3 法方程式的解 式中系数阵Nbb为对称二次型的满秩方阵 其逆存在 故有 二 间接平差的计算步骤 1 选择t个独立参数X 2 列出误差方程 3 组成法方程 4 解法方程 求出参数5 由误差方程计算V 6 计算观测量平差值7 精度评定 V BX l V BX l 三 精度评定 1 单位权中误差 其中 pvv VTPV 2 平差值的权倒数 间接平差中 第i个平差值Li的权倒数等于平差值协因数阵对角线上的相应元素 而平差值协因数阵为 3 参数的权倒数 第i个参数的权倒数就等于参数的协因数阵对角线上的相应元素 而参数的协因数阵就等于法方程系数矩阵的逆矩阵 4 参数函数的权倒数 设参数的函数为 则参数函数的权倒数为 且有 三 水准网间接平差算例 P 80如图 N6 N9是已知水准点 A B C是结点 观测值及已知值均注于略图上 计算各节点高程 并评定精度 解 1 列误差方程 设A B C点的高程最或然值为x y z 则 h1 h2 h3 h4 h5 h6 h7 为了简化计算 设未知量的近似值为x0 y0 z0 并设相应的改正数为 x y z 则 本例中 x0 H7 h1 251 763my0 H6 h5 248 682mz0 H9 h7 253 922m 误差方程的最后形式为 用矩阵表达为 V BX l 其中 X x y z T 2 计算权矩阵 各观测值的权按pi 10 Li计算 则 N B P BN 1 9600 0 5300 0 4300 0 53001 5800 0 4300 0 4300 0 43001 4400 W B P LW 9 1500 12 280013 3300 3 组成法方程系数矩阵和常数矩阵 INVN inv N INVN 0 65230 29590 28310 29590 82310 33410 28310 33410 8788 X INVN WX 6 1098 2 946310 2016 4 系数矩阵求逆 计算参数 5 计算改正数和平差值 V B X LV 6 1098 1 9439 11 9082 13 8902 2 9463 1 852110 2016 V BX l 6 计算节点高程平差值 节点高程平差值分别就是误差方程的参数 因此 HA x x0 x 251 769mHB y y0 y 248 679mHC z z0 z 253 932m 7 计算单位权中误差 先计算 pvv PVV V P VPVV 246 88