第四章 大数定律与中心极限定理答案.doc

第四章 大数定律与中心极限定理答案一、单项选择1. 设为标准正态分布函数，且，相互独立。令，则由中心极限定理知的分布函数近似于（ ）（A） （B） （C） （D）答案：D二、填空1. 设的期望和方差分别为和，则由切比雪夫不等式可估计 。答案：2设随机变量和的数学期望分别为2和2，方差分别为1和4，而相关系数为0.5，则根据切比雪夫不等式，有_答案：3 已知随机变量的均值=12，标准差=3，试用切比雪夫不等式估计落在6到18之间的概率为_与3到21之间解 由题意得，由切比雪夫不等式得4 已知随机变量的均值=12，标准差=3，试用切比雪夫不等式估计落在3到21之间的概率为_解 由题意得，由切比雪夫不等式得 5假定生男孩、生女孩的概率均为0.5，用切比雪夫不等式估计200个新生婴儿中男孩在80个到120个之间的概率为_解 设表示在200个新生婴儿中男孩的个数, 则其中, 则由切比雪夫不等式得6用切比雪夫不等式估计下题的概率: 废品率为0.03, 求1000个产品中废品多于20个且少于40个的概率为_.答案：0.709 7用切比雪夫不等式估计下题的概率: 求200个新生婴儿中, 男孩多于80个且少于120个的概率为_.(假定生女孩和生男孩的概率均为0.5.)答案： 0.8758 设随机变量，由切比雪夫不等式可得 .答案：三、计算题1现有一批种子, 其中良种占, 今任取6000粒种子,试以0.99的概率推断在这6000粒种子中良种占的比例与的差是多少? 相应的良种数在哪个范围内?解 用随机变量表示第粒种子, 用表示第粒种子为良种,用表示第粒种子不是良种, 则是相互独立同分布的随机变量序列, 表示这6000粒种子中良种的粒数,记, 则 则由独立同分布的中心极限定理得根据题意,令.即有,查正态分布表得 ,并由 得 因此, 以0.99的概率推断在这6000粒种子中良种占的比例与的差是0.0124.这时, 相应的良种粒数在925粒到1015粒之间.2某单位有120个电话分机，每个分机有5%的时间使用外线，假设各分机使用外线与否是相互独立的，试用中心极限定理计算，使用外线的分机个数在6个到12个之间的概率. (已知)（8分）解：B(n,p), 其中 n=120, p=5% E=6, D=5.7, 由中心极限定理，得P（612）=0.493963 3. （10分）一大批种子，良种占，从中任选5000粒。试计算其良种率与之差小于的概率。（用表示）解 设表示在任选5000粒种子中良种粒数，则，其中，则 ，由中心极限定理得，良种率与之差小于的概率为 4 已知生男孩的概率为 0.515, 求在10000个新生婴儿中女孩不少于男孩的概率.解 设为10000个新生婴儿中男孩的个数,则其中. 10000个新生婴儿中女孩不少于男孩, 即 由De Movire-Laplace 中心极限定理,得新生婴儿中女孩不少于男孩的概率5 试利用(1) 切比雪夫不等式; (2) 中心极限定理分别确定投掷一枚均匀硬币的次数, 使得出现”正面向上”的频率在0.4到0.6之间的概率不小于0.9.解 设表示投掷一枚均匀硬币n次出现”正面向上”的次数, 则则其中, 则 (1) 利用切比雪夫不等式求解由此得(2) 利用中心极限定理求解由De Movire-Laplace 中心极限定理得, 近似服从正态即所以,由此得 查正态分布表得因此取6 设某保险公司的老年人寿保险一年有10000人参加,每人每年交40元. 若老人死亡, 公司付给家属2000元. 设老人死亡率为0.017, 试求保险公司在这次保险中亏本的概率.解 设为老人死亡人数, 则其中 由题意,得保险公司在这次保险中亏本当且仅当即 由De Movire-Laplace 中心极限定理,得保险公司亏本的概率7 设某电话交换台的呼叫次数服从泊松分布且每秒钟平均被呼叫两次, 试求在100秒内被呼叫次数在180至220次之间的概率.解 设第秒钟内被呼叫的次数为由为服从参数为2的泊松分布, 且独立同分布, 有为100秒钟被呼叫的总次数, 记，则由独立同分布的中心极限定理,得所以在100秒内被呼叫次数在180至220次之间的概率为8 抛掷一枚硬币，以表示n次抛掷中出现正面的次数，问要抛掷多少次，才能以0.99的概率保证出现正面的频率与概率的偏差小于0.01？试分别用切比雪夫不等式及中心极限定理求出结果解 设表示在n次抛掷中出现正面的次数, 则其中, 则 (1) 由切比雪夫不等式得(2) 利用中心极限定理求解由De Movire-Laplace 中心极限定理得, 近似服从正态即所以,由此得 查正态分布表得9设某厂的金属加工车间有80台机床，它们的工作是相互独立的，设每台机床的电动机都是2KW的，由于资料检修等原因，每台机床平均只有70%的时间在工作，试求要供应这个车间多少KW电才能以0.99的概率保证此车间生产用电？解 设表示在80台机床中正在工作的机床台数, 则其中则 设应供应这个车间 KW电才能以0.99的概率保证此车间生产用电.由中心极限定理得, ，解得，因此至少应供应这个车间132 KW电才能以0.99的概率保证此车间生产用电.10抽样检查产品质量时，如果发现次品多于10个，则认为这批产品不能接受应该检查多少个产品，可使次品率为10%的一批产品不被接受的概率达到0.9？解 设应该检查个产品设表示在被检查的个产品中次品的个数, 则其中 则 . 由中心极限定理得,.解得，因此至少应检查147个产品，才可使次品率为10%的一批产品不被接受的概率达到0.9.四、证明题1设随机变量相互独立，且每一随机变量有有限的方差，设，试证，对，有或证 相互独立， 由切比雪夫不等式，对，有两边夹， 。2试描述同分布的中心极限定理。并应用同分布的中心极限定理证明 定理，即设是次贝努利试验中成功的次数，在每次试验中成功的概率为，试证，对，一致地有解：定理（同分布的中心极限定理） 设随机变量相互独立，服从同一分布，且有，则标准化的随机变量之和的分布函数，对，一致地有 定理的证明