《时域分析》PPT课件.ppt

1绪论控制系统发展史 控制方式 基本组成 术语 分类控制系统基本要求 稳定性 动态性能 稳态误差2控制系统的数学模型控制系统的数学模型建立 传递函数 方框图等效变换3时域分析法4根轨迹法5频率响应法6控制系统的补偿与综合 设计 校正 回顾与展望 2 第三章时域分析法 3 1引言 3 2线性系统的时域性能指标 3 3一阶系统时域分析 3 4 1二阶系统时域分析 3 5线性系统的稳定性 3 6稳态误差及其计算 3 4 2二阶系统时域性能指标 实际物理系统的性质可用系统数学模型描述 一旦得系统的数学模型 就可对系统进行分析 求解 从而定系统的性能指标 稳定性 动态性能 稳态性能 时域分析法是一种直接的方法 它可以给出系统精确的时间响应曲线和性能指标 具有明确物理意义 时间 空间 但是 人工求解困难 用计算机求解简单 不利于分析系统结构和参数变化对系统影响 分析和设计控制系统 必须对各种控制系统性能进行评判 通过对这些系统施加各种典型 试验 测试 信号 比较它们的响应 能否满足工程要求 3 1引言 系统的微分方程 输入信号r t 输出信号c t 典型信号选取条件 1 信号 实验室 容易产生 2 尽可能接近实际工作时的外加信号 3 反映系统最不利的工作 环境 条件 许多设计准则就建立在这些典型信号的基础上系统对典型信号的响应特性与实际输入信号的响应特性之间 存在着一定的关系 采用典型信号来评价系统性能是合理的 工程上典型测试信号 输入函数 时域函数 r t 单位脉冲 t 单位阶跃单位速度单位加速度单位正弦 复域 F s 图形 r t o o o o o 动态过程 系统在典型信号作用下 输出量从初始状态到接近最终状态的响应过程 实际控制系统的瞬态响应 在达到稳态以前 常常表现为阻尼振荡过程稳态过程 系统在典型信号作用下 时间t趋于无穷 较大 时 系统的输出状态 研究系统的稳态特性 以确定输出信号对输入信号跟踪 复现 能力 3 2线性系统的时域性能指标 系统的微分方程 r t 1 c t 控制系统的时间响应 可以分为动态 瞬态 过程和稳态过程 和电路系统 电机系统概念一致 假设特征根 pi 两两互异 时域性能指标 振荡型 延迟时间 响应曲线第一次达到稳态值的一半所需的时间 上升时间响应曲线从稳态值的10 上升到90 所需的时间 振荡型系统定义 0 上升到100 峰值时间 响应曲线达到超调量的第一个峰值所需要的时间 调节时间 响应曲线达到并永远保持在一个允许误差范围内 所需的最短时间 用稳态值的百分数 5 或2 超调量指响应的最大偏离量h tp 于终值之差的百分比 即 或 评价系统的响应速度 同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标 评价系统的阻尼程度 时域性能指标 振荡型 3 3一阶系统的时域分析3 3 1一阶系统的数学模型 用一阶微分方程描述的控制系统称为一阶系统 图 a 所示的RC电路 其微分方程为 其中C t 为电路输出电压 r t 为电路输入电压 T RC为时间常数 当初始条件为零时 其传递函数为 这种系统是一个惯性环节 下面分别就不同的典型输入信号 分析该系统的时域响应 3 3 2单位阶跃响应 因为单位阶跃函数的拉氏变换为 则系统的输出由下式可知为 对上式取拉氏反变换 得 图 3 4 指 数 响 应 曲 线 1 0 6 3 2 8 6 5 9 5 9 8 2 9 9 3 T 2 T 3 T 4 T 5 T 0 6 3 2 t c t 注解 传递函数的极点是产生系统响应的瞬态分量 这一个结论不仅适用于一阶线性定常系统 而且也适用于高阶线性定常系统 响应曲线在 时的斜率为 阶跃输入时的稳态误差为零 动态性能指标 3 3 3一阶系统的单位脉冲响应 当输入信号为理想单位脉冲函数时 R S 1 输出量的拉氏变换与系统的传递函数相同 即 这时相同的输出称为脉冲响应记作g t 因为 其表达式为 3 3 4一阶系统的单位斜坡响应 当 对上式求拉氏反变换 得 因为 所以跟踪单位斜坡信号的稳态误差为 一阶系统能跟踪斜坡输入信号 由于系统存在惯性 对应的输出信号在数值上要滞后于输入信号一个常量T 这就是稳态误差产生的原因 减少时间常数T不仅可以加快瞬态响应的速度 还可减少系统跟踪斜坡信号的稳态误差 3 3 5一阶系统的单位加速度响应 上式表明 跟踪误差随时间推移而增大 直至无限大 因此 一阶系统不能实现对加速度输入函数的跟踪 表3 1一阶系统对典型输入信号的响应 3 4二阶 典型 系统的时域分析 二阶系统 二阶系统微分方程作为运动方程的控制系统 3 4 1二阶系统的数学模型设一伺服系统 其框图如图所示 由图可得该系统的传递函数 式中 K为开环增益 Tm为机电常数 标准型 为了使研究的结果具有普遍意义 可将表示为如下标准形式 自然频率 或无阻尼振荡频率 阻尼比 相对阻尼系数 二阶系统的闭环特征方程为 特征方程的两个根 闭环极点 图 3 7 二 阶 系 统 极 点 分 布 左 半 平 面 0 0 1 1 两 个 相 等 根 0 d n j n 0 j 右 半 平 面 0 1 两 个 不 等 根 0 闭环极点为共扼复根 位于右半S平面 欠阻尼系统 为两个相等的根 虚轴上 瞬态响应变为等幅振荡 两个不相等的根 n 3 4 2二阶系统的单位阶跃响应 1 过阻尼情况 二阶系统的闭环特征方程有两个不相等的负实根 传递函数 式中 设 输入为阶跃函数时 则系统的输出量为 2 临界阻尼 临界阻尼情况下的二阶系统的单位阶跃响应称为临界阻尼响应 当 时 二阶系统的单位阶跃响应是稳态值为1的无超调单调上升过程 3 欠阻尼情况 此时 二阶系统的闭环特征根为 式中 衰减系数 阻尼振荡频率 输入为阶跃函数时 则系统的输出量为 对上式进行拉式反变换 得 式中 令 阻尼角 稳态分量为1 表明系统在单位阶跃函数作用下 不存在稳态位置误差 瞬态分量为阻尼正弦振荡项 其振荡频率为 时 这是一条平均值为1的正 余弦形式等幅振荡 其振荡频率为 故称为无阻尼振荡频率 由系统本身的结构参数确定 阻尼振荡频率 4零阻尼 图3 12表示了二阶系统在不同 值瞬态响应曲线 二阶欠阻尼系统阶跃响应的性能指标 在控制工程上 除了那些不允许产生振荡响应的系统外 通常都希望控制系统具有适度的阻尼 快速的响应速度和较短的调节时间 二阶系统一般取 二阶系统动态性能指标 可用 精确表示 注 高阶系统有的很难用 准确表示 最佳阻尼系数 采用降阶 近似算法 求得 一定 即 一定 响应速度越快 1 对上式求导 并令其为零 得 2 上升时间 根据峰值时间定义 应取 由定义知 为输出响应达到的第一个峰值所对应的时间 所以应取n 1 于是 超调量在峰值时间发生 故 即为最大输出 时 当 时 3 时 时 则 满足 一定 调节时间越短 4 调节时间 例题3 1如图所示 系统输入r t 1 试计算K 200时 系统的响应从c t 和性能指标 例题3 2设单位负反馈二阶系统的阶跃响应曲线如图所示试确定此系统的开环传递函数和闭环传递函数 解 由图可知 tp 0 4秒 开环传递函数 闭环传递函数 注意 系统为单位反馈系统 是阶跃输入 而不是单位阶跃输入 3 4 3二阶系统的性能改善 1 串联补偿PPIPIDPD 比例 微分二阶系统 仿标准型 2 反馈补偿二阶系统 标准型 异曲同工 34 3 5控制系统的稳定性 1 稳定性 设系统处于某平衡状态 由于扰动的作用 系统偏离了原来的平衡状态 但当扰动消失后 经过足够长的时间 系统恢复到原来的起始平衡状态 2 系统稳定的条件 所有闭环极点都分布在S平面的左半部 35 3 问题 高阶系统的特征根的求取 二 劳斯 Routh 判据 1 根与系数的关系 2 可知 所有特征根位于S左半平面的必要条件为 A 特征方程多项式的所有系数具有相同符号 B S多项式的系数都不能为0 36 3 劳斯判据方法 证明过程略 1 劳斯行列表 37 38 系统稳定的充分必要条件 1 劳斯行列表左边的第一列所有元素均为正值 2 反之 如果第一列元素出现负号则系统不稳定 且元素符号改变的次数等于方程右根的个数 例题 黑板演示 39 3 6控制系统的稳定误差 一 稳态误差的基本概念 典型闭环控制系统 稳态误差用来说明稳态响应的性能优劣 仅对稳定的系统才有意义 与系统类型和输入信号有关 40 1 稳态误差的定义 1 方法一 系统输入端定义的方法 系统的输入信号与系统主反馈信号之差 2 方法二 系统输出量希望值与输出实际值之差 方法一在实际中可以测量 有物理意义方法二在实际中难以测量 只有数学意义 41 1 42 2 给定输入的稳态误差 任何系统的开环传递函数可以描述如下 根据 的不同值可以分为 系统是 型系统 二阶无差系统 系统是 型系统 一阶无差系统 的大小反映了系统跟踪阶跃 斜坡 抛物线信号的能力 无差度越高 稳态误差越小 但稳定性变差 43 三 静态误差系数 1 位置误差系数 称为位置误差系数 当 44 1 对于0型系统 2 对于 型系统 一阶无差系统 3 对于 型系统 二阶无差系统 45 2 速度误差系数 速度误差系数 46 1 对于0型系统 2 对于 型系统 一阶无差系统 3 对于 型系统 二阶无差系统 47 加速度误差系数 3 加速度误差系数 48 1 对于0型系统 2 对于 型系统 一阶无差系统 3 对于 型系统 二阶无差系统 49 50