高一数学必修四第二章导学案.doc

高一数学必修四第二章导学案2.1平面向量的实际背景及基本概念 一、教学目标1、 通过阅读教材初步了解向量的实际背景；2、 理解平面向量的概念和向量的几何表示；3、 掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.教学重点：了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示。 教学难点：掌握向量的有关概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.二、问题导学（一）、情景设置：ABCD如图，老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，设问：猫能否追到老鼠？（画图）结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.分析：老鼠逃窜的路线AC、猫追逐的路线BD实际上都是有方向、有长短的量.引言：请同学指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？（二）、阅读课文： 1、向量的概念： _2、 问题：1) 数量与向量区别：_ 2) 向量表示:_ 3)有向线段和线段有何区别和联系:_ 4)零向量:_ 相等向量:_； 单位向量:_ 相等向量:_；平行向量:_ 三、问题探究： 1、数量与向量的区别 ：_A(起点) B（终点）a 2.向量的表示方法？ 向量的大小长度称为向量的模，记作 。 3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素： 。4.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为 （与有向线段的起点无关）.说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.5、应用： 例1 书本86页例1.例2判断：（1）平行向量是否一定方向相同？（2）不相等的向量是否一定不平行？（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（6）两个非零向量相等的当且仅当什么？（7）共线向量一定在同一直线上吗？例3下列命题正确的是（ ）A.与共线，与共线，则与c也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C.向量与不共线，则与都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行例4 如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量、相等的向量.变式一：与向量长度相等的向量有多少个？变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？变式三：与向量共线的向量有哪些？四、课堂练习：1判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；单位向量都相等；任一向量与它的相反向量不相等；四边形ABCD是平行四边形当且仅当 一个向量方向不确定当且仅当模为0；共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.2书本88页练习课后练习与提高1下列各量中不是向量的是（ ）A.浮力 B.风速 C.位移 D.密度2.下列说法中错误的是（ ）A.零向量是没有方向的 B.零向量的长度为0C.零向量与任一向量平行 D.零向量的方向是任意的3把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是（ ）A.一条线段 B.一段圆弧 C.圆上一群孤立点 D.一个单位圆4已知非零向量,若非零向量，则与必定 .5已知、是两非零向量,且与不共线,若非零向量与共线,则与必定 .6.设在平面上给定了一个四边形ABCD,点K、L、M、N分别是AB、BC、CD、DA的中点,则 课题：2.2.1 向量的加法运算及其几何意义一、教学目标1、掌握向量的加法运算，并理解其几何意义； 2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力； 3、通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法； 教学重点：掌握向量的加法运算，并理解其几何意义。教学难点：用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量。二、问题导学：C A B1、复习：（1）某人从A到B，再从B按原方向到C，则两次的位移和： 。（2）若上题改为从A到B，再从B按反方向到C， 则两次的位移和： 。A BC（3）某车从A到B，再从B改变方向到C，A BC 则两次的位移和： 。（4）船速为，水速为，则两速度和： 。2、看课文回答：）、向量的加法： 叫做向量的加法.）、三角形法则（“ ”）ABCa+ba+baabbaa如图，已知向量a、.在平面内任取一点，作a，则向量叫做a与的和，记作a，即 a，规定： 。 三、问题探究：1、（1）两相向量的和仍是 ；（2）当向量与不共线时，+的方向 ，且|+| |+|；OABaaabbb（3）当与同向时，则+、 且|+| |+|，当与反向时，若|，则+的方向与相同，且|+| |-|；若|0时与方向 ；0时与方向 ；=0时= 2运算定律结合律：()= ；分配律：(+)= ， (+)= . 3. 向量共线定理：向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数，使 .(二)阅读教材回答:1、平面向量基本定理： (1) 我们把不共线向量、叫做表示这一平面内所有向量的 ;(2) 基底不惟一，关键是 ；(3) 由定理可将任一向量a在给出基底、的条件下进行分解；(4) 基底给定时，分解形式 . 即1，2是被，唯一确定的数量三、问题探究：例1 已知向量， 求作向量-2.5+3.例2、如图 ABCD的两条对角线交于点M，且=，=，用，表示，和 例3已知 ABCD的两条对角线AC与BD交于E，O是任意一点，求证：+=4 例4（1）如图，不共线，=t (tR)用，表示.（2）设不共线，点P在O、A、B所在的平面内，且.求证：A、B、P三点共线. 例5 已知 a=2e1-3e2，b= 2e1+3e2，其中e1，e2不共线，向量c=2e1-9e2，问是否存在这样的实数与c共线.四、课堂练习：1.设e1、e2是同一平面内的两个向量，则有( )A.e1、e2一定平行 B.e1、e2的模相等C.同一平面内的任一向量a都有a =e1+e2(、R)D.若e1、e2不共线，则同一平面内的任一向量a都有a =e1+ue2(、uR)2.已知向量a = e1-2e2，b =2e1+e2，其中e1、e2不共线，则a+b与c =6e1-2e2的关系A.不共线 B.共线 C.相等 D.无法确定3.已知向量e1、e2不共线，实数x、y满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2，则x-y的值等于( ) A.3 B.-3 C.0 D.24.已知a、b不共线，且c =1a+2b(1，2R)，若c与b共线，则1= .5.已知10，20，e1、e2是一组基底，且a =1e1+2e2，则a与e1_，a与e2_(填共线或不共线).五、自主小结课题：2.3.2平面向量正交分解及坐标表示一、 教学目标：1、向量的坐标表示；2、向量的坐标运算。教学重点：向量的坐标表示、 向量的坐标运算。 二、问题导学：1、向量基本定理： 理解：(1) 我们把不共线向量、叫做表示这一平面内所有向量的 ;(2) 基底不惟一，关键是 ；(3) 由定理可将任一向量a在给出基底、的条件下进行分解；(4) 基底给定时，分解形式 . 即1，2是被，唯一确定的数量2、向量的坐标表示 如图，在直角坐标系内，我们分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得1我们把叫做 ，记作2其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，2式叫做 与相等的向量的坐标也为.特别地，i= , j= , 0= .如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作，则点的位置由唯一确定.设，则向量的坐标就是点的坐标；反过来，点的坐标也就是向量的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.3、面向量的坐标运算（1） 若，则= = 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.设基底为、，则即= ，同理可得= .（2） 若，则一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.=-=( x2， y2) - (x1，y1)= .（3）若和实数，则.实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.设基底为、，则，即三、问题探究：例1 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，求的坐标.例2 已知=(2，1)， =(-3，4)，求+，-，3+4的坐标.例3 已知平面上三点的坐标分别为A(-2， 1)， B(-1， 3)， C(3， 4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.例4已知三个力 (3， 4)， (2， -5)， (x， y)的合力+=，求的坐标.四、课堂练习：1若M(3， -2) N(-5， -1) 且 ， 求P点的坐标2若A(0， 1)， B(1， 2)， C(3， 4) ， 则-2= .3已知：四点A(5， 1)， B(3， 4)， C(1， 3)， D(5， -3) ， 求证：四边形ABCD是梯形.五、自主小结 ： 六、课后作业（略）课后练习与提高1、在平面直角坐标系中，已知点A时坐标为（2，3），点B的坐标为（6，5），则=_，=_。2、已知向量,的方向与x轴的正方向的夹角是30，则的坐标为_。3、下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底是（ ）A BC D4、已知向量则与的关系是（ ）A不共线 B相等 C同向 D反向5、已知点A（2，2） B（-2，2） C（4，6）D（-5，6） E（-2，-2） F（-5，-6）在平面直角坐标系中，分别作出向量并求向量的坐标。课题课题课题：2.3.3平面向量的坐标运算一、教学目标： 1能准确表述向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则，并能进行相关运算，进一步培养学生的运算能力；2通过学习向量的坐标表示，使学生进一步了解数形结合思想，认识事物之间的相联系，培养学生辨证思维能力.教学重点：向量坐标运算法则应用。教学难点：能应用向量坐标运算法则进行相关运算。二、问题导学：1、 平面向量坐标表示 2.平面向量的坐标运算法则：1)、若=(x1, y1) ，=(x2, y2)则_ ,_,_.2)、若=(x1, y1) ，=(x2, y2)，则x1iy1j，x2iy2j， 向量= ，= ，= 3)、结论：平面向量的坐标运算法则：（1）两向量和的坐标等于_；（2）两向量差的坐标等于_；（3）实数与向量积的坐标等于_；三、问题探究：典型例题例1 ：已知=(2,1), =(3,4),求 ，34的坐标. 例2：已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为（-2，1）、（-1，3）、（3，4），求顶点D的坐标。 四、课堂练习： 1.下列说法正确的有（ ）个 （1）向量的坐标即此向量终点的坐标 （2）位置不同的向量其坐标可能相同 （3）一个向量的坐标等于它的始点坐标减去它的终点坐标（4）相等的向量坐标一定相同 A1 B2 C3 D4 2.已知A（-1，5）和向量=(2,3)，若=3，则点B的坐标为_。 A(7,4) B(5,4) C(7,14) D(5,14) 3已知点，及，求点、的坐标。 课后练习与提高1已知，则等于（ ）A B C D2已知平面向量 ， ，且2，则等于（ ）A B C D3 已知，若与平行，则等于（ ） A. 1 B. -1 C.1或-1 D.24.已知，则的坐标为_.5.已知：点A（2，3）、B（5，4）、C（7，10），若AP=AB+AC(R) ，则为_时，点P在一、三象限角平分线上. 6 . 已知，则以，为基底，求.课题：2.3.4平面向量共线的坐标表示一、学习目标：1会推导并熟记两向量共线时坐标表示的充要条件；2能利用两向量共线的坐标表示解决有关综合问题。3通过学习向量共线的坐标表示，使学生认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力.教学重点：会推导并熟记两向量共线时坐标表示的充要条件；教学难点：能利用两向量共线的坐标表示解决有关综合问题。二、问题导学：1、平面向量共线定理_.2.平面向量共线的坐标表示：设=(x1, y1) =(x2, y2)（ ） 其中，则1)、 ()_ . 2）、由= ，得_ ,即_ ,消去后得:_ .这就是说,当且仅当_ 时,向量与共线.三、问题探究： 例1 已知，且，求 例2: 已知，求证、三点共线 例3:设点P是线段P1P2上的一点， P1、P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2).(1) 当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标； (2) 当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标.四、课堂练习：1.已知=+5，=2+8，=3（），则（ ）A. A、B、D三点共线B .A、B、C三点共线C. B、C、D三点共线D. A、C、D三点共线2.若向量=(-1，x)与=(-x， 2)共线且方向相同，则x为_.3设，且，求角课后练习与提高 1.若=(2，3)，=(4，-1+y)，且，则y=（ ）A.6 B.5 C.7 D.82.若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三点共线，则x的值为（ ）A.-3 B.-1 C.1 D.33.若=i+2j， =(3-x)i+(4-y)j(其中i、j的方向分别与x、y轴正方向相同且为单位向量). 与共线，则x、y的值可能分别为（ ）A.1，2 B.2，2 C.3，2 D.2，44.已知=(4，2)，=(6，y)，且，则y= .5.已知=(1，2)，=(x，1)，若+2与2-平行，则x的值为 6.已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(1，5) ，D(2，7) ，向量与平行吗？直线AB与平行于直线CD吗？ 课题：2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义一、教学目标：1、能准确表述平面向量的数量积及其几何意义；2.学会用平面向量数量积的重要性质及运算律；3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；教学难点：平面向量的数量积及其几何意义。教学难点：会用平面向量数量积的重要性质及运算律 。二、问题导学：1、平面向量数量积（内积）的定义： （2）定义说明：记法“”中间的“ ”不可以省略，也不可以用“ ”代替。 “规定”：零向量与任何向量的数量积为零。2、两个向量的数量积与向量同实数积区别 3、“投影”的概念：作图4、向量的数量积的几何意义： 5、两个向量的数量积的性质：设、为两个非零向量，e是与同向的单位向量.1 e= e = 2 = 设、为两个非零向量，e是与同向的单位向量.e =e = 3 当与同向时，= 当与反向时， = 特别的= |2或4 cosq = 5 | | SF6、给出有关材料并提出问题3：（1）如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S，那么力F所做的功：W= （2） 完成下列填空：W（功）是 量，F（力）是 量，S（位移）是 量，是 。 三、问题探究：1、学生讨论，并完成下表：的范围090=900180的符号2、数量积的性质 设和b都是非零向量，则 1、 =0 2、当与同向时，=；当与反向时，= -， 特别地，=2或= 3、3、数量积的运算律：已知向量、 、和实数，则：（1）= （2）（）=（)= （）（3）（ + ）= + 4、应用举例：例1 ：已知，当，与的夹角是60时，分别求.解： 例2、（师生共同完成）已知=6，=4, 与的夹角为60，求（+2 ）（-3），并思考此运算过程类似于实数哪种运算？解：四、课堂练习：1、 对于两个非零向量、，求使|+t|最小时的t值，并求此时与+t的夹角.2、（1）(+)2=2+2+2 （2）(+ )(-)= 22五、 当堂检测 1 .已知|=5， |=4， 与的夹角=120o，求.2. 已知|=6， |=4，与的夹角为60o求(+2)(-3). 3 .已知|=3， |=4， 且与不共线，k为何值时，向量+k与-k互相垂直. 4.已知，当，与的夹角是60时，分别求.5.已知|=1，|=，(1)若，求；(2)若、的夹角为，求|+|；(3)若-与垂直，求与的夹角.6.设m、n是两个单位向量，其夹角为，求向量=2m+n与=2n-3m的夹角.课后练习与提高1.已知|=1，|=，且(-)与垂直，则与的夹角是（ ）A.60 B.30 C.135 D.2.已知|=2，|=1，与之间的夹角为，那么向量m=-4的模为（ ）A.2 B.2 C.6 D.123.已知、是非零向量，则|=|是(+)与(-)垂直的（ ）A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知向量、的夹角为，|=2，|=1，则|+|-|= .5.已知+=2i-8j，-=-8i+16j，其中i、j是直角坐标系中x轴、y轴正方向上的单位向量，那么= .6.已知、c与、的夹角均为60，且|=1，|=2，|c|=3，则(+2-c)_.课题：2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角一、教学目标：1、学会用平面向量数量积的坐标表达式，会进行数量积的运算。2、掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题. 教学重点：平面向量数量积及运算规律.教学难点：平面向量数量积的应用。 二、问题导学：1、平面向量数量积（内积）的坐标表示 2、(1)向量模的坐标表示： 表示单位向量的模 (2)平面上两点间的距离公式：向量a的起点和终点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2) AB= (3)两向量的夹角公式cosq = 3、向量垂直的判定（坐标表示） 4、向量平行的判定（坐标表示） 5、a与b的数量积的定义： 向量的运算 ： 三、问题探究：知识点：1、已知两个非零向量a=(x1,x2),b=(x2,y2)的坐标表示数量积 ab=(x1,y1)(x2,y2)=(x1i+y1j)(x2i+y2j)=x1x2i2+x1y2ij+x2y1ij+y1y2j2=x1x2+y1y22、向量的模的坐标表达式 1）若a=(x,y)，向量的模|a| = 2）若A(x1,x2),B(x2,y2)，向量AB的模 3、向量夹角的坐标表示 4、ab x1x2+y1y2=05、ab 应用：例1、如图，以原点和A(5， 2)为顶点作等腰直角OAB，使B = 90，求点B和向量的坐标.例2 在ABC中，=(2， 3)，=(1， k)，且ABC的一个内角为直角，求k值.四、课堂练习：1.已知|a|=1，|b|=，且(a-b)与a垂直，则a与b的夹角是（ ）A.60 B.30 C.135 D.2.已知|a|=2，|b|=1，a与b之间的夹角为，那么向量m=a-4b的模为（ ）A.2 B.2 C.6 D.123、a=(5,-7),b=(-6,-4)，求a与b的 数量积 4、设a=(2,1),b=(1,3),求ab及a与b的夹角 5、已知向量a=(-2,-1),b=(,1)若a与b的夹角为钝角,则取值范围是多少?6、已知7、已知，当k为何值时，（1）垂直？（2）平行吗？平行时它们是同向还是反向？ 课后练习与提高1.已知则（）A.23 B.57 C.63 D.832.已知则夹角的余弦为（）A. B. C. D.3.则_。4.已知则_。5.则_ _6.与垂直的单位向量是_A. B. D. 7.则方向上的投影为_8.A(1,2),B(2,3),C(2,0)所以为( ) A.直角三角形B.锐角三角形 C.钝角三角形D.不等边三角形9.已知A(1,0),B(5,-2),C(8,4),D.(4.6)则四边形ABCD为（）A.正方形B.菱形C.梯形D. 矩形10.已知点A（1，2），B(4,-1),问在y轴上找点C，使ABC90若不能，说明理由；若能，求C坐标。课题：2.5平面向量应用举例一、教学目标：1.运用向量的有关知识（向量加减法与向量数量积的运算法则等）解决平面几何和解析几何中直线或线段的平行、垂直、相等、夹角和距离等问题.2.运用向量的有关知识解决简单的物理问题.教学重点：运用向量加减法与向量数量积的运算法则等，解决平面几何和解析几何中直线或线段的平行、垂直、相等、夹角和距离等问题.教学难点：向量加减法与向量数量积的运算法则的应用。 二、问题导学：1、利用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”是 2、 例3中，为何值时，|F1|最小，最小值是 |F1|能等于|G| 其原因： 3、