《流变学基本物理量》PPT课件.ppt

第二章流变学基本物理量 第二章流变学基本物理量 简单实验 实际材料发生的变形和受力情况是复杂的 要找出其应力应变的关系十分复杂 因此 在流变学中采用一些理想化的实验 使应力和应变能很准确地定义和分析 这种理想化的实验被称为简单实验 特点 1 材料是均匀的 各向同性的 2 材料被施加的应力和应变是均匀的和各向同性的 即应力 应变与坐标及其方向无关 在流变学中讨论变形时 要研究变形时应力与应变的关系 而讨论流动时 要研究应力与应变速率的关系 因此 首先要定义材料发生各种变形或流动时的应力 应变和应变速率 应变 strain 1 各向同性的压缩和膨胀 A 边长变化参数 和 B 体积变化参数 V Vo 2 拉伸和单项压缩 3 简单剪切和简单剪切流动 应力 stress 应力产生原因 物体在外力或外力矩作用下会产生流动或 和 形变 同时为抵抗流动或形变 物体内部产生相应的应力 应力的定义 材料内部单位面积上的响应力 t df ds单位为Pa或MPa 1Pa 1N m 2 df为作用在表面上无限小面积ds上的力 在简单实验中 由于力是均匀的 t f s 特点 在平衡状态下 物体所受的外应力与内应力数值相等 由于研究聚合物流体的粘弹性 所以首先引入张量概念 并研究应力 应变 应变速率张量之间的关系 并由此导出流变状态方程 张量 Tensor 高聚物流变学的发展 与现代数学的应用密切相关 特别是张量分析的数学概念 帮助建立矢量空间的思维能力 以便更好的理解流变学基本方程 以及一些加工应用方程的推导 全面学习和研究流变学 必须具有矢量代数 线性代数和张量运算的数学基础 十九世纪中叶 柯西将应力和应变引入弹性理论 发现要决定一个体积元的受力状态要用九个分量来表示 这九个分量彼此不相分离 就好象某种物理量的九个分量 在相当长一段时间内物理学家都很难给它起名 继而晶体物理学家在自己的研究领域又发现许多这种量 法国物理学家沃特根据最初发现它的张力来源 将它们命名为 张量 零阶张量 标量 有大小 无方向 纯数值的量如 质量 体积 密度 温度 热导率 热扩散率 比定压热容和能量 一阶张量 向量 矢量 有大小 方向如 位移 速度和温度梯度等 矢量用粗体代号或一个脚码代号表达 ai a axi ayj azki j k是平行于x y z轴的单位矢量 三个分量ax ay az是矢量在x y z轴上的投影 常把x y z写成1 2 3 简单的说 张量概念是矢量概念和矩阵概念的推广 标量是零阶张量 矢量是一阶张量 矩阵 方阵 是二阶张量 而三阶张量则好比立体矩阵 更高阶的张量用图形无法表达 张量 Tensor 二阶张量和高阶张量 有大小 方向 如 张量物理学定义 在一点处不同方向面上具有各个矢量值的物理量 流变学应用的是二阶张量 是 面量 张量数学定义 在笛卡尔坐标系上一组有3n个有序矢量的集合 指数n称为张量的阶数 二阶笛卡尔张量n 2 标量是零阶张量 矢量是一阶张量 所以我们说张量是物理量的家族 是各种物理量的概括和一般化 张量是反映事物内某一部分与另一部分不可分割联系的物理量 包含着相互联系的一系列物理量 是向量标值的多线形函数 如表面 内部应力 剪切速率等 标量在统一的张量概念里是0阶张量 线向量在统一的张量概念里是一阶张量 面向量是二阶张量有大小 方向和作用平面 多阶张量是多维向量的综合体 一般常用二阶张量 张量的特征 张量可以按定量关系在不同坐标系中转换 可以从一个直角坐标系转换到另一个直角坐标系中 还可以转换到柱面坐标系 r z 和球面坐标系 r 中 张量分量可在各种坐标系中描述 张量分量具有一定的空间分布 张量具有可分解性和可加和性 几个特殊的张量 单位张量单位张量的表达式 对称张量 二阶张量的下标i与j互换后所代表分量不变 称为二阶对称张量 即有 ij ji 二阶对称张量的矩阵表示形式中各元素关于对角线对称 因而只有六个独立元素 有 反对称张量 二阶反对称张量的分量满足pij pji对角线各元素为零 从而只有三个独立分量 有 任何一个二阶张量均可唯一的分解为一个二阶对称张量和一个二阶反对称张量之和 张量的代数运算 1 张量相等两个张量相等 则各分量一一对应相等 若两个张量在某一笛卡尔坐标系中相等 则它们在任意笛卡尔坐标系中也相等 Aij Bij 2 同阶张量加减 两张量必须同阶才能加减 张量的加减为同一坐标系下对应分量相加减 即 Tij Aij Bij 3 张量数乘 张量Aij和标量 的乘积 也称张量放大 就是把Aij的各个分量分别乘以 有Bij Aij根据以上法则 流变学中常用的一种变换 4 张量的单点积 张量Aij和张量Bij的单点积 按矩阵乘法运算 单点积的结果仍为张量 有 二阶张量用粗体字符或带大括号 或用双脚标表示 流变学中的参量如 应力 应变 剪切应力 剪切速率和应力速率等都是张量 应力的分量表示法和应力张量 在流变学中 应力的性质包括三个方面 除应力的方向和大小外 还必须指出应力是作用在材料的哪一个表面上 因为同样大小和方向的应力 如作用在不同的表面 材料会发生不同的变形 采用应力的分量表示法就可以完全地描述一个应力的性质 即应力的方向 大小和作用面 应力的分量用两个下标表示 第一个下标表示该应力的作用面 第二个下表则表示应力的方向 在直角坐标系中 材料试样的作用面分为x y z面 x面为与x轴垂直的面 y面与z面也一样 tx Txx Txy Txz t1 T11 T12 T13 ty Tyx Tyy Tyz t2 T21 T22 T23 tz Tzx Tzy Tzz t3 T31 T32 T33 将t1 t2 t3沿坐标轴方向分解 得到 T12指的是作用在第一个面元上的牵引t1力在n2方向的分量 应力张量可完整地描述物体内任一点的应力状态 9个分量组成的数组称为应力张量 或写成 T 平衡时 物体所受的合外力与和外力矩等于零 于是 平衡时应力张量中沿主对角线对称的剪切分量应相等 即Tij Tji i j 1 2 3 这表明 平衡时应力张量为对称张量 其中只有六个独立分量 三个为法向应力分量 三个为剪切应力分量 而所有 所有Tij i j i j 1 2 3 分量都作用在相应面元的切线方向上 称为应力张量的剪切分量 所有Tii i 1 2 3 分量都作用在相应面元的法线方向上 称为应力张量的法向分量 剪切力的物理实质是粘滞力或内摩擦力 法向力的物理实质是弹性力 拉力或压力 于是应力张量可以完整地描述粘弹性物体在流变过程中的复杂内应力状态 简单实验中的应力张量 三种基本 1 拉伸实验 拉伸试验中 在一个矩形断面的试样的端面上施加一个与端面垂直的力 采用笛卡尔坐标系 很明显该应力为txx txx f A且tx Txx Txy Txz f A 0 0 ty Tyx Tyy Tyz 0 0 0 tz Tzx Tzy Tzz 0 0 0 2 各向同性的压缩 3 简单剪切 应力与作用面平行 接触力 内力 接触力是物体内的一部分通过假想的分隔面作用在相邻部分上的力 也即外力向物体内传递 偏应力张量 根据力的性质不同 应力张量可以分解表示 其中最常见的分解形式如下 T 1 3 trT I 式中 trT T11 T22 T33称为张量的迹I为单位矢量 偏应力张量若定义 p 1 3trT则T可分解为T pI 分量式 T p ij ij式中p为各向同性压力 静水压力 处在任何状态下的流体内部都具有各向同性压力 它作用在曲面法向上 且沿曲面任何法向的值相等 负号表示压力方向指向封闭曲面的内部 ij 0 i j ij 1 i j 单位张量 轴向应力张量 作用于物体时指引起体积大小改变 流体静力学 剪切应力张量 形状改变 偏应力张量 偏应力张量是应力张量中最重要的部分 直接关系到物体流动和形变 粘性形变和弹性形变 的描写 与应力张量相似也是对称张量 只有六个独立分量 三个为法向应力 三个为剪切应力分量 例1静止液体的内应力 静止液体内只有法向应力 实际上就是各向同性压力 无剪切应力 故各应力分量为 应力张量记为 应力张量只有各向同性压力 偏应力张量为0 任何静止的平衡液体 或是静止或流动的无粘流体都处于这种应力状态 例2均匀拉伸或压缩 设流体只受到一个方向的拉力或压力 除此之外不再有任何其他作用力 各应力分量为 材料在单轴拉伸流场中 纺丝过程 处于这种应力状态 此时体系处于沿x1方向的均匀拉伸或压缩状态 0为拉伸 0为压缩 例3均匀剪应力 设流体的应力状态为 只有剪切分量T12 T21 常数 而所有其他剪切分量为零 这种剪应力称均匀剪应力 当流体沿x1方向流动 而在x2 常数的平面上受到剪切时 例如在x1方向分层流动的简单剪切流场中 可能发生均匀剪应力 简单剪切流场发生在许多仪器 设备 模具内的材料流动场中 是流变学研究的最重要的流动形式 考察在简单剪切流场中材料所受的法向应力的情况 牛顿流体只有粘性而无弹性 因此在应力张量中与弹性形变联系的各法向应力分量相等 均可归于各向同性压力 而偏应力张量中 各法向应力分量等于0 应力张量T分解为 偏应力张量中只有一个独立分量 剪切应力分量 故只需定义一个函数 粘度函数 就可以完全描述其力学状态 高分子液体是粘弹性流体 在剪切场中既有粘性流动 又有弹性形变 一般情况下三个坐标轴方向的法向应力分量不相等 因此要完整描述高分子液体的应力状态 偏应力张量中至少需要4个应力分量 流变函数除了粘度函数外 还要定义与法向应力分量相关的函数 偏应力张量中法向应力分量的值与各向同性压力的大小有关 注意 给出的各向同性压力的定义有一定任意性 这就使得应力张量的分解方法有多种结果 见下例 同一个应力张量给出两种不同的分解方法 两种结果中各向同性压力的值不同 由此导致偏应力张量中法向应力分量的值不同 但不管应力张量如何分解 偏应力张量中两个法向应力分量的差值始终保持不变 在高分子液体流变过程中 单独去追求法向应力分量的绝对值没有多大意义 重要的是 两个法向应力分量的差值在各种分解中始终保持不变 于是我们就可以定义两个法向应力差函数来描写材料弹性形变行为 N1 N2加上粘度函数 用此三个函数就可以完整描写简单剪切流场中高分子流体的应力状态和粘弹性 法向应力差不会由于各向同性压力的加入而改变 形变和形变梯度张量 形变 物体在平衡的外力或外力矩作用下发生形状和尺寸的变化称为形变 按宏观表现来分类 形变可分为简单剪切 均匀拉伸和压缩 纯剪切 纯扭转 纯弯曲 膨胀和收缩等 实际物体的形变往往是这些简单形变的复杂组合 高分子液体流动中发生的主要形变方式有剪切 拉伸 压缩及其组合 简单剪切形变物体内一些平行平面彼此作相对移动 相对移动的大小与平面间距成比例 移动方向与平面平行 矩形材料经简单剪切变为底角为90 的平行四边形 矩形内任一质点P X1 X2 X3 位移到平行四边形中的P x1 x2 x3 点位置 其位置矢量由X变为x 由图可以导出简单剪切形变的描述方程 注意 X2 常数的平面为剪切平面 X1方向为物体层面平移的方向 角 的大小可以作为简单剪切形变的度量 当 很小 简单剪切形变不引起物体任何部分体积的改变 均匀拉伸形变 发生均匀拉伸形变时 物体在一个或几个坐标轴方向经历均匀伸缩 若三个坐标轴方向都有伸缩形变 则形变可由如下方程描写 式中 1 2 3称为拉伸比 可为常数或时间t的函数 的值可以作为拉伸形变的一种度量 图给出两种典型的拉伸形变过程 A表示一维拉伸形变 其形变度量可记为 1 1 2 3 1 0 5 B表示二维拉伸形变 材料在x2x3两个方向受到拉伸 形变度量记为 2 1 3 1 1 1 2 3 若 1 2 3 则表明物体经历均匀膨胀或压缩 若 1 1 2 而 3 1 这种形变是纯剪切的 假定在拉伸形变过程中材料的体积保持不变 则有 1 2 3 1 形变梯度张量 设在时刻t1 t2物体分别占有空间位形1 位形2 在t1时刻物体内的任一线元dX 在t2时刻占据的空间位置变为dx 则定义t1 t2时刻间 物体内发生的形变梯度为 一般来说 F一个非对称张量 这一性质决定了F不是形变的恰当度量 从应力张量的性质看 应力张量和偏应力张量都是对称张量 由此可见与其相对应的形变度量也应该是对称张量 F形变梯度张量 这是一个二阶张量 用分量式展开来写 记为 Cauchy Green形变张量和Finger形变张量 尽管F不是对称张量 但F可构成一些新的张量 这些张量是对称张量 它们能正确的描述有限形变 这些张量有Cauchy Green形变张量 定义为 式中FT为F的转置张量 FT ij Fji cauchy Green张量分量式记为 式中F 1为F的逆张量 当 Finger形变张量 定义为 另外上式中还利用了张量的性质 FT 1 F 1 T Finger张量分量式记为 注意Cauchy张量与Finger张量不是有限应变的等值度量 Cauchy张量与Finger张量的不同之处在于其定义不同 形象地说 尽管两者都可以描述形变 但两者是有差别的 例1简单剪切形变中形变张量 简单剪切形变 x1 X1 X2tg x2 X2 x3 X3根据定义 形变梯度张量为 求逆矩阵的方法 用定义 当AB E 或BA E 且A B为方阵时 有A 1 B 用伴随矩阵 用初等变换法 形变张量分别记为 可以看出 F确实为非对称张量 而C和C 1均为对称张量 后者具有无形变时度量不变的性质 例2均匀拉伸形变中形变张量 均匀拉伸形变 x1 1X1 x2 2X2 x3 3X3根据定义 得到 速度梯度和形变率张量 在流动过程中 与流体应力状态相关的更重要物理量 往往不是形变的大小 而是形变进行的速率 它与流动场中的速度梯度密切相关 速度梯度张量定义 设在某一瞬时位形 流体内的流动速度场为v 如下 分量式记为 注意公式中速度矢量v和位置矢量x都应是同一瞬时位形中的物理量 速度梯度张量L一般为非对称张量 按张量性质 一个非奇异的二阶张量总可以分解成一个对称张量与一个反对称张量之和 于是可以将L写成 式中 其中d为对称张量 称形变率张量 表征了材料形变的速率 为反对称张量 称旋转速率张量 与材料的形变无关 例1简单剪切流场中的形变率张量 简单剪切流场 一律取x1方向为流动方向 X2方向为速度梯度方向 第三个方向X3为中性方向 简单剪切流场的速度场为 式中 称剪切速率 单位为s 1 x1 x3 x2 由此得速度梯度张量 分解L得到形变率张量