华罗庚学校数学教材(五年级上)第03讲 最大公约数和最小公倍数.pdf

本系列共 15 讲 第三讲第三讲第三讲第三讲最大公约数和最小公倍数最大公约数和最小公倍数最大公约数和最小公倍数最大公约数和最小公倍数 文档贡献者 与你的缘与你的缘与你的缘与你的缘 一 基本概念和知识 1 公约数和最大公约数 几个数公有的约数 叫做这几个数的公约数 其中最大的一个 叫做这几个数的最大公约数 2 公倍数和最小公倍数 几个数公有的倍数 叫做这几个数的公倍数 其中最小的一个 叫做这几个数的最小公倍数 3 互质数 如果两个数的最大公约数是 1 那么这两个数叫做互质数 二 例题 例 1 用一个数去除 30 60 75 都能整除 这个数最大是多 少 分析 要求的数去除 30 60 75 都能整除 要求的数是 30 60 75 的公约数 又 要求符合条件的最大的数 就是求 30 60 75 的最大公约数 解 30 60 75 15 所以 这个数最大是 15 例 2 一个数用 3 4 5 除都能整除 这个数最小是多少 分析由题意可知 要求求的数是 3 4 5 的公倍数 且是最 小公倍数 解 3 4 5 60 用 3 4 5 除都能整除的最小的数是 60 例 3 有三根铁丝 长度分别是 120 厘米 180 厘米和 300 厘 米 现在要把它们截成相等的小段 每根都不能有剩余 每小段最 长多少厘米 一共可以截成多少段 分析 要截成相等的小段 且无剩八 每段长度必是 120 180 300 的公约数 又 每段要尽可能长 要求的每段长度就是 120 180 300 的最大公约数 解 120 180 300 60 每小段最长 60 厘米 120 60 180 60 300 60 2 3 5 10 段 答 每段最长 60 厘米 一共可以截成 10 段 例 4 加工某种机器零件 要经过三道工序 第一道工序每个 工人每小时可完成 3 个零件 第二道工序每个工人每小时可完成 10 个 第三道工序每个工人每小时可完成 5 个 要使加工生产均衡 三道工序至少各分配几个工人 分析要使加工生产均衡 各道工序生产的零件总数应是 3 10 和 5 的公倍数 要求三道工序 至少 要多少工人 要先求 3 10 和 5 的最小公倍数 解 3 10 5 30 各道工序均应加工 30 个零件 30 3 10 人 30 10 3 人 30 5 6 人 答 第一道工序至少要分配 10 人 第二道工序至少要分配 3 人 第三道工序至少要分配 6 人 例 5 一次会餐供有三种饮料 餐后统计 三种饮料共用了 65 瓶 平均每 2 个人饮用一瓶 A 饮料 每 3 个人饮用一瓶 B 饮料 每 4 个人饮用一瓶 C 饮料 问参加会餐的人数是多少人 分析由题意可知 参加会餐人数应是 2 3 4 的公倍数 解 2 3 4 12 参加会餐人数应是 12 的倍数 又 12 2 12 3 12 4 13 瓶 可见 12 个人要用 6 瓶 A 饮料 4 瓶 B 饮料 3 瓶 C 饮 料 共用 13 瓶饮料 又 65 13 5 参加会餐的总人数应是 12 的 5 倍 12 5 60 人 答 参加会餐的总人数是 60 人 例 6 一张长方形纸 长 2703 厘米 宽 1113 厘 要把它截成 若干个同样大小的正方形 纸张不能有剩余且正方形的边长要尽可 能大 问 这样的正方形的边长是多少厘米 分析由题意可知 正方形的边长即是 2703 和 1113 的最大公 约数 在学校 我们已经学过用短除法求两个数的最大公约数 但 有时会遇到类似此题情况 两个数除了 1 以外的公约数一下子不好 找到 但又不能轻易断定它们是互质数 怎么办 在此 我们以例 6 为例介绍另一种求最大公约数的方法 对于例 6 可做如下图解 从图中可知 在长 2703 厘米 宽 1113 厘米的长方形纸的一端 依次裁去以宽 1113 厘米 为边长的正方形 2 个 在裁后剩下的长 1113 厘米 宽 477 厘米的长方形中 再裁去以宽 477 厘米 为边 长的正方形 2 个 然后又在裁剩下的长方形 长 477 厘米 宽 159 厘米 中 以 159 厘米为边长裁正方形 恰好裁成 3 个 且无剩余 因此可知 159 厘米是 477 厘米 1113 厘米和 2703 厘米的约数 所以裁成同样大的 且边长尽可能长的正方形的边长应是159厘米 所以 159 厘米是 2703 和 1113 的最大公约数 让我们把图解过程转化为计算过程 即 2703 1113 商 2 余 477 1113 477 商 2 余 159 477 159 商 3 余 0 或者写为 2703 2 1113 477 1113 2 477 159 477 3 159 当除数为 0 时 最后一个算式中的除数 159 就是原来两个数 2703 和 1113 的最大公约数 可见 477 159 3 1113 159 3 2 159 159 7 2703 159 7 2 477 159 7 2 159 3 159 17 又因为 7 和 17 是互质数 所以 159 是 2703 和 1113 的最大公 约数 我们把这种求最大公约数的方法叫做辗转相除法 辗转相除法 的优点在于它能在较短的时间内求出任意两个数的最大公约数 例 7 用辗转相除法求 4811 和 1981 的最大公约数 解 因为 4811 2 1981 849 1981 2 849 283 849 3 283 所以 4811 1981 283 补充说明 如果要求三个或更多的数的最大公约数 可以先求 出其中任意两个数的最大公约数 再求这个公约数与另外一个数的 最大公约数 这样求下去 直至求得最后结果 也可以直接观察 依次试公有的质因数 例 8 求 1008 1260 882 和 1134 四个数的最大公约数是多 少 解 因为 1260 1008 252 882 1134 126 又 252 126 126 所以 1008 1260 882 1134 126 求两个数的最小公倍数 除了用短除法外 是否也有其他方法 呢 请看例 9 例 9 两个数的最大公约数是 4 最小公倍数是 252 其中一 个数是 28 另一个数是多少 解 设要求的数为 x 则有 所以 x 4 y28 4 7 所以 28x 4 y 4 7 又因为 4 是 x 和 28的最大公约数 y 7 1 所以 4 y 7 是 x 和 28 的最小公倍数 所以 x 28 4 252 所以 x 4 252 28 36 所以 要求的数是 36 通过例 9 的解答过程 不难发现 如果用 a 和 b 表示两个自然 数 那么这两个自然数的最大公约数与最小公倍数关系是 a b a b a b 这样 求两个数的最小公倍数的问题 即可转化成先求两个数 的最大公约数 再用最大公约数除两个数的积 其结果就是这两个 数的最小公倍数 例 10 求 21672 和 11352 的最小公倍数 解 因为 21672 11352 1032 1032 可用辗转相除法求得 所以 21672 11352 21672 11352 1032 238392 答 21672 和 11352 的最小公倍数是 238392 习题三 1 甲数是乙数的三分之一 甲数和乙数的最小公倍数是 54 甲 数是多少 乙数是多少 2 一块长方形地面 长 120 米 宽 60 米 要在它的四周和四角 种树 每两棵树之间的距离相等 最少要种树苗多少棵 每 相邻两棵之间的距离是多少米 3 已知两个自然数的积是 5766 它们的最大公约数是 31 求这 两个自然数 4 兄弟三人在外面工作 大哥 6 天回家一次 二哥 8 天回家一 次 小弟 12 天回家一次 兄弟三人同时在十月一日回家