高中数学解题方法之构造法(含答案).pdf

十 构造法 解数学问题时 常规的思考方法是由条件到结论的定向思考 但有 些问题用常规的思维方式来寻求解题途径却比较困难 甚至无从着手 在这种情况下 经常要求我们改变思维方向 换一个角度去思考从而找 到一条绕过障碍的新途径 历史上有不少著名的数学家 如欧几里得 欧拉 高斯 拉格朗日 等人 都曾经用 构造法 成功地解决过数学上的难题 数学是一门创造 性的艺术 蕴含着丰富的美 而灵活 巧妙的构造令人拍手叫绝 能为 数学问题的解决增添色彩 更具研究和欣赏价值 近几年来 构造法极 其应用又逐渐为数学教育界所重视 在数学竞赛中有着一定的地位 构造需要以足够的知识经验为基础 较强的观察能力 综合运用能 力和创造能力为前提 根据题目的特征 对问题进行深入分析 找 出 已知 与 所求 所证 之间的联系纽带 使解题另辟蹊径 水到渠 成 用构造法解题时 被构造的对象是多种多样的 按它的内容可分为 数 式 函数 方程 数列 复数 图形 图表 几何变换 对应 数 学模型 反例等 从下面的例子可以看出这些想法的实现是非常灵活 的 没有固定的程序和模式 不可生搬硬套 但可以尝试从中总结规 律 在运用构造法时 一要明确构造的目的 即为什么目的而构造 二 要弄清楚问题的特点 以便依据特点确定方案 实现构造 再现性题组 1 求证 构造函数 2 若x 0 y 0 x y 1 则 构造函数 3 已知 求证 构造图形 复数 4 求证 并指出等号成立的条件 构造向量 5 已知 a 0 b 0 c 0 求证 当且仅当时取等号 构造图形 6 求函数的最大值 构造三角函数 再现性题组简解 1 解 设 则 用定义法可证 f t 在上单调递增 令 3 则 2 解 左边 令 t xy 则 在上单调递减 3 解 构造单位正方形 O是正方形内一点 O到AD AB的距离为a b 则 AO BO CO DO AC BD 其中 又 另解 从不等式左边的结构特点容易联想到复数的模 将左边看成 复数Z1 x y i Z2 x 1 y i Z3 1 x y i Z4 1 x 1 y i 模的和 又注意到Z1 Z2 Z3 Z4 2 2 i 于是由 可得 4 解 不等式左边可看成与 x 和与两两乘积的和 从而联想到数量积 的 坐标表示 将左边看成向量 与 x 的数量积 又 所以 当且仅当 0 时等号成立 故由得 x 1 即 x 时 等号成立 5 解 从三个根式的结构特点容易联想到余弦定理 于是可构造如下 图形 作OA a OB b OC c AOB BOC 60 如图 1 则 AOC 120 AB BC AC 由几何知识可知 AB BC AC 当且仅当A B C三点共线时等号成立 此时有 即ab bc ac 故当且仅当时取等号 6 解 由根号下的式子看出且 故可联想到三角函数关系式并构造 所以 当即时 示范性题组 一 构造函数 理解和掌握函数的思想方法有助于实现数学从常量到变量的这个认 识上的飞跃 很多数 学命题繁冗复杂 难寻入口 若巧妙运用函数思想 能使解答别具一 格 耐人寻味 例1 已知x y z 0 1 求证 x 1 y y 1 z z 1 x 1 第15 届俄罗斯数学竞赛题 分析 此题条件 结论均具有一定的对称性 然而难以直接证明 不妨 用构造法一试 证 构造函数f x y z 1 x yz y z 1 y z 0 1 f 0 yz y z 1 y 1 z 1 0 f 1 y z 1 yz y z 1 yz 0 而f x 是一次函数 其图象是 直线 由x 0 1 恒有 f x 0 即 y z 1 x yz y z 1 0 整理可得x 1 y y 1 z z 1 x 1 二 构造方程 方程是解数学题的一个重要工具 许多数学问题 根据其数量关 系 在已知和未知之间搭上桥梁 构造出方程 使解答简洁 合理 例2 已知a b c为互不相等的实数 试证 1 1 证 构造方程 1 2 显然a b c为方程的三个互不相等的实根 从而对任意实数x均满足 2 式 特别地 令x 0 即得 1 式 例3 设x y为实数 且满足关系式 则x y 1997年全国高中数学联赛试题 分析 此题用常规方法 分别求出x和y的值后再求x y则既繁又难 三 次方程毕竟不熟 悉 若将两方程联立构造出方程 利用 函数f t t3 1997t的单调性 易得 自然 简洁 三 构造复数 复数是实数的延伸 一些难以解决的实数问题通过构造转化为复数 问题 虽然数的结构会变复杂 但常使问题简明化 正所谓 退一步海 阔一空 例4 a b x y 正实数 且x2 y2 1 求证 a b 证 设z1 ax byi z2 bx ayi 则 Z1 Z2 Z1 Z2 a b x a b yi a b a b 不等式得证 四 构造代数式 代数式是数学的重要组成要素之一 有许多性质值得我们去发现和 应用 例5 当时 求的值 解 由条件得 所以 构造的因式y 1 五 构造数列 相当多的数学问题 尤其是证明不等式 尝试一下 构造数列 能产生意 想不到的效果 例6 证明 n 1 2 3 分析此命题若直接证明 颇具难度 倘若构造数列x1 x2 xn 1 xn 1 1 利用平均值不等式 顿使命题明朗化 六 构造向量 新教材的一个重要特点是引入向量 代数 几何 三角中的很多问 题都可以利用向量这一工具来解决 例7 已知a b c为正数 求函数y 的最小值 解 构造向量 x a c x b 则原函数就可化为 y ymin 七 构造几何图形 一般来讲 代数问题较为抽象 若能通过构造将之合理转化为几何 问题 利用 数形结合 这一重要思想方法 往往可增强问题的直观性 使解答事半功倍或独具匠心 例8 见 例1 证 构造边长为1的正 ABC D E F为边上三点 并设BD x CE y AF z 如图1 显然有S BDE S CEF S ADF 0 求证 构造函数 2 若 且 则 构造函数 3 记 则 构造图形 4 求证 构造向量 5 正数满足 求证 巧用均值不等式 6 求证 如果 那么 构造函数 7 已知数列 求 构造数列 8 求证 其中nN 构造数列 9 求函数的值域 构造图形 10 求函数的最值 构造图形 构造法巩固性题组答案 1 解 构造函数 则 设2 由 2 0 1 0 0 上式 0 在上单调递增 左边 2 解 令 又 在上单调递增 3 解 构造矩形ABCD F在CD上 使 AB a DF b AD 1 则 注 本题也可用分析法 4 解 不等式左边的特点 使我们容易联想到空间向量模的坐标表 示 将左边看成 1 y x y 3 2x y 6 模的平方 又 为使为常数 根据待定系数法 又可构造于是 所以 即 5 分析 条件式中次数是3次 而结论式中是1次 所以需要降幂 又结论式是不等式 当且仅当时成立 于是考虑构造均值不等式 解 由均值不等式得 1 同理 2 由 1 2 变形整理得 6 证明 构造函数 易证在R上是奇函数且单调递增 lg1 0 即 又是增函数 即 7 分析 我们希望化为 即 B 1 解 由已知 设 则 即 是公比为2的等比数列且 则 对于某些关于自然数的不等式问题 与数列有着密切的联系 这时 也可构造有关的数列模型 利用其单调性解决 8 分析 构造数列模型 则有 所以数列为递增数列 又因 故 其中n N 即原不等式得证 评注 欲证含有与自然数n有关的和的不等式f n g n 可以构造数列模 型 只需证明数列是单调递增 且 另外 本题也可以用数学归纳法证 明 但用构造数列模型证明简洁 9 解 其几何意义是平面内动点P 0 到两定点 M 2 3 和 N 5 1 的距离之和 如图1 为求其值域只要求其最值即可 易知当M N P三点共线 即P在线段