第十八章隐函数定理及其应用学习题课.doc

第十八章隐函数定理及其应用习题课一 疑难问题与注意事项1是否所有的方程都可以确定隐函数？是否隐函数都可以有显函数形式？答：不是所有的方程都可以确定隐函数，例如方程，当时，不能确定任何函数，使得，只有当时，才能确定隐函数.隐函数有的不可以用显示表示出来，例如方程能确定定义在上的函数，使得.但这个函数却无法用的算式来表达.2在隐函数定理中，若，则一定不能确定隐函数吗？答：不对，隐函数定理的条件是充分条件，不满足隐函数定理条件时可能确定隐函数，也可能不确定隐函数.我们只能用隐函数定理不好判断是否存在隐函数.例如方程在不满足,但仍能确定惟一的连续函数.例如:,由于,与连续，故满足(i)（ii）（iii）,但因, 致使在的无论怎样小的邻域内都不可能存在惟一隐函数（由图像对任意属于的邻域，不能保证有唯一的来对应）.3求隐函数的一阶导数有哪些方法？答：法1：用隐函数定理注意：在用隐函数定理时，对求导把看作常数，对求导把看作常数.法2：把看作复合函数，对方程两边求导，注意此时是的函数.法3：全微分法对两边微分，即，则有.4在隐函数组定理中，若在点等于零，则一定不能确定,吗？答 不对，隐函数组定理的条件是充分条件，只能讲只有难以肯定能否作为以为自变量的隐函数.5.空间曲线在处的切线方程中若某一个分母为，怎么理解？答 若，则理解为 .注 不全为零.6.若是函数在条件下的极值点，那么也是函数的极值点，对吗？答 不对，反例是在条件下的极值点，但不是的极值点.二 典型例题1方程能否在原点的某邻域内确定隐函数或？解：令，则有）在原点的某邻域内连续；）；），在原点的某邻域内连续；），故由隐函数存在唯一性定理知，方程在原点的某邻域内可确定隐函数，但不知道能否确定注 注意对哪个变量求偏导不为0，就把该变量作为应变量，其它变量是自变量.注 定理条件是充分的，但不满足定理条件时，就不好用隐函数定理.2方程在点的某邻域内能否确定出某一个变量为另外两个变量的函数?解：令,则）在点的某邻域内连续；）；），,均在上述邻域内连续；），,故由隐函数存在唯一性定理知，在点的某邻域内原方程能确定出方程函数和，不知道能否确定3函数在哪些近点旁可唯一决定单值连续，且有连续导数的函数解：由于及，都在全平面连续，且当时，故由隐函数定理可知满足条件的点的近旁，方程可唯一决定单值连续，且有连续的导数的函数4证明：在点的某邻域内存在唯一的连续可微函数，满足，并求证：令，求得，可知函数在的邻域内有、连续，且有，故由隐函数存在定理知在点的某邻域内存在唯一的连续可微函数，满足，且有5.设是由方程确定的隐函数，求，解法1（公式法） 设，则，则由隐函数定理得，解法2（直接法） 在方程两边分别对，求偏导数，将看成是，的函数，得，于是，解法3（全微分法） 利用全微分形式不变性，在方程两边求全微分得，即 ，于是 ， 6.设，求解 在方程两边分别对求偏导数，并注意是，的函数，得 ， 于是 ， 再对两边对求偏导数，并注意是，的函数，得于是 将的表达式代入上式得 7.1）,求2）,求和解 1）把看成的函数,两边对求偏导数,则有所以 把看成的函数,两边对求偏导数,即得 所以 把看成的函数,两边对求偏导数,即得 所以 2）把看成的函数,两边对求偏导数,得故 原方程两边关于求偏导数,得故 8.设,其中为由方程所确定的隐函数,求及解：由方程,得因,故9.试讨论方程组在点的附近能否确定形如的隐函数组?解 令则(1) 在点的某邻域内连续;(2)(3) 均在点(1,-1,2)的邻域内连续;(4) 故由隐函数组定理,在点的附近所给方程组能确定形如的隐函数组10.求下列方程组所确定的隐函数组的导数：(1)求；(2)求解 (1)设方程组确定的隐函数组为对方程组两边关于求导,得或解此方程得 (2)把看成的函数,对求偏导数或由克拉默法则得，11.求下列函数组所确定的反函数组的偏导数：求解 把看成函数，方程组两边对求导得由克拉默法则得 ，12设以为新的自变量变换下列方程：设 解 把当中间变量所以 将上述，代入原方程，并化简得，即13.求下列曲线在所示点处的切线方程与法平面：（1），在点；（2），在点解 （1）因为因此于是切线方程为： ，即 法平面方程为：，即（2）令则所以，故切线方程为；法平面为14.求下列曲面在所示点处的切平面与法线： （1），在点 （2），在点解 （1）令，则，故切平面方程为 ，法线方程为 （2）令，则 故切面方程为 ，即法线方程为15.应用拉格朗日乘数法，求下列函数的条件极值：（1）若（2）若（其中）；（3），若解 (1)设对求偏导数,并令它们都等于,则有（轮换性）解之得由得，于是显然在取得极小值,因此在取得极小值(2)设且解方程组得由于当个正数的积一定时,其和必有最小值,故一定存在唯一稳定点取得最小值也是极小值,所以极小值(3)设,并令解方程组得的六组值为：,又在有界闭集上连续,故有最值因此,极小值为极大值为16(1)求表面积一定而体积最大的长方体；（2）求体积一定而表面积最小的长方体解：（1）设长方体的长、宽、高分别为，表面积为，则体积为，限制条件为设，并令解得根据题意长方体体积有最大值，且稳定点只有一个，所以最大值故表面积一定而体积最大的长方体是正立方体（2）设长方体的长、宽、高分别为，体积为,则表面积,限制条件：设并令解得故体积一定而表面积最小的长方体是正立方体17求空间一点到平面的最短距离解：到平面的距离为，由于与能同时取得最大值与最小值，则问题可归结为求在条件下的最小值问题由几何学知,空间定点到平面的最短距离存在设且由(1),(2),(3)得,代入(4)解得所以