解析几何-求圆的轨迹方程(专题一)师用.doc

1 16 专题一专题一 求圆的轨迹方程求圆的轨迹方程 教学目标 教学目标 1 掌握直线与圆的标准方程与一般方程 能根据问题的条件选择适当 的形式求圆的方程 2 掌握直线与圆的位置关系 可以应用直线与圆的位置关系求圆的方 程 3 理解圆的标准方程与一般方程之间的关系 会进行互化 教学重难点 教学重难点 1 掌握圆的标准方程与一般方程 能根据问题的条件选择适当的形式 求圆的方程 2 会求曲线的轨迹方程 圆 教学过程 教学过程 第一部分第一部分 知识点回顾知识点回顾 一 圆的方程一 圆的方程 1 圆的标准方程 22 2 xaybr 2 圆的一般方程 2222 0 DE4F0 xyDxEyF 特别提醒特别提醒 只有当时 方程才表示圆 22 DE4F0 22 0 xyDxEyF 心为 半径为的圆 22 DE 22 1 4 2 DEF 思考 思考 二元二次方程表示圆的充要条件是 22 0AxBxyCyDxEyF 什么 答案 且且 0 AC 0B 22 40DEAF 2 16 3 圆的参数方程 为参数 其中圆心为 半径 cos sin xar ybr a b 为 圆的参数方程的主要应用是三角换元 r 222 cos sinxyrxryr 22 xyt cos sin 0 xryrrt 4 为直径端点的圆方程 1122 A x yB xy 如如 1212 0 xxxxyyyy 1 1 圆 C 与圆关于直线对称 则圆 C 的方程为 22 1 1xy yx 答 22 1 1xy 2 2 圆心在直线上 且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是32 yx 答 或 9 3 3 22 yx1 1 1 22 yx 3 3 已知是圆 为参数 上的点 则圆 1 3 P cos sin xr yr 02 的普通方程为 P 点对应的 值为 过 P 点的圆的切线方程是 答 22 4xy 2 3 340 xy 4 4 如果直线 将圆 x22 240 平分 且不过第四象限 那么 的斜率ll 的取值范围是 答 0 2 5 5 方程 x2 0 表示一个圆 则实数 k 的取值范围为 答 2 1 k 6 6 若 为参数 3cos 3sin x Mx y y 若 则 b 的取值范围是 答 0 bxyyxN NM 3 3 2 二 点与圆的位置关系二 点与圆的位置关系 已知点及圆 00 M xy 22 2 C0 x aybrr 1 点 M 在圆 C 外 22 2 00 CMrxaybr 2 点 M 在圆 C 内 22 2 00 CMrxaybr 3 16 3 点 M 在圆 C 上 如如 2 0 CMrxa 2 2 0 ybr 点 P 5a 1 12a 在圆 x y2 1 的内部 则 a 的取值范围是 答 13 1 a 三 直线与圆的位置关系三 直线与圆的位置关系 直线和圆有相交 相离 相切 0l AxByC 22 2 C xaybr 0r 可从代数和几何两个方面来判断 1 代数方法 判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况 相交 相离 相切 0 0 0 2 几何方法 比较圆心到直线的距离与半径的大小 设圆心到直线的距离为 则相交 相离 相切 ddr dr dr 提醒提醒 判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷 如如 1 1 圆与直线 的位置关122 22 yxsin10 2 xyR k kz 系为 答 相离 2 2 若直线与圆切于点 则的值30axby 22 410 xyx 1 2 P ab 答 2 3 3 直线被曲线所截得的弦长等于 20 xy 22 62xyxy 150 答 4 5 4 4 一束光线从点 A 1 1 出发经 x 轴反射到圆 C 2 2 3 2 1 上 的最短路程是 答 4 5 5 已知是圆内一点 现有以为中点的弦 0 M a b ab 222 O xyr M 所在直线和直线 则m 2 l axbyr 4 16 A 且 与圆相交 B 且 与圆相交 mlllm l C 且 与圆相离 D 且 与圆相离 mlllm l 答 C 6 6 已知圆 C 直线 L 求证 对 22 1 5xy 10mxym 直线 L 与圆 C 总有两个不同的交点 设 L 与圆 C 交于 A B 两点 mR 若 求 L 的倾斜角 求直线 L 中 截圆所得的弦最长及最短时17AB 的直线方程 答 或 最长 最短 60 120 1y 1x 第二部分第二部分 直线与圆的典型例题直线与圆的典型例题 一 求圆的轨迹方程一 求圆的轨迹方程 1 1 用定义法求圆的轨迹方程 用定义法求圆的轨迹方程 例例 1 1 设方程 若该方程表示一个 2224 2 3 2 1 4 1690 xymxmym 圆 求 m 的取值范围及这时圆心的轨迹方程 分析分析 配成圆的标准方程再求解 解 配方得 2 2 22 3 1 4 1 67xmymmm 该方程表示圆 则有 得 此时圆心的轨迹方 2 1 670mm 1 1 7 m 程为 2 3 41 xm ym 消去m 得 由得 3 2 4 3 1yx 1 1 7 m 20 4 7 所求的轨迹方程是 2 4 3 1yx 20 4 7 x 注意 注意 方程表示圆的充要条件 求轨迹方程时 一定要讨论变量的取 5 16 值范围 如题中 20 4 7 x 变式变式 1 1 方程表示圆 求实数 a 的取值范围 22 4 1 40axayaxy 并求出其中半径最小的圆的方程 解 解 原方程可化为 2 2 2 2 2 1 24 22 aaa xy aaa 当 a时 原方程表示圆 2 220 aa 0 又 2 222 222 2222 44 4 22 22 aaaaaa r aaa 当 所以半径最小的圆方程为 min 2 2ar 22 112xy 2 2 用待定系数法求圆的轨迹方程 用待定系数法求圆的轨迹方程 例例 2 2 求过两点 4 1 A 2 3 B且圆心在直线0 y上的圆的标准方程并 判断点 4 2 P与圆的关系 分析 分析 欲求圆的标准方程 需求出圆心坐标的圆的半径的大小 而要 判断点P与圆的位置关系 只须看点P与圆心的距离和圆的半径的大小关 系 若距离大于半径 则点在圆外 若距离等于半径 则点在圆上 若距 离小于半径 则点在圆内 解法一 解法一 待定系数法 设圆的标准方程为 222 rbyax 圆心在0 y上 故0 b 圆的方程为 222 ryax 又 该圆过 4 1 A 2 3 B两点 22 22 4 3 16 1 ra ra 解之得 1 a 20 2 r 所以所求圆的方程为20 1 22 yx 解法二 解法二 直接求出圆心坐标和半径 6 16 因为圆过 4 1 A 2 3 B两点 所以圆心C必在线段AB的垂直平分线 l上 又因为1 31 24 AB k 故l的斜率为 1 又AB的中点为 3 2 故AB的 垂直平分线l的方程为 23 xy即01 yx 又知圆心在直线0 y上 故圆心坐标为 0 1 C 半径204 11 22 ACr 故所求圆的方程为20 1 22 yx 又点 4 2 P到圆心 0 1 C的距离为 rPCd 254 12 22 点P在圆外 说明 说明 本题利用两种方法求解了圆的方程 都围绕着求圆的圆心和半 径这两个关键的量 然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来 判定点与圆的位置关系 若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置 关系呢 例例 3 3 求半径为 4 与圆相切 且和直线相切0424 22 yxyx0 y 的圆的方程 分析 分析 根据问题的特征 宜用圆的标准方程求解 解 解 则题意 设所求圆的方程为圆 222 rbyaxC 圆与直线相切 且半径为 4 则圆心的坐标为或C0 yC 4 1 aC 4 2 aC 又已知圆的圆心的坐标为 半径为 3 0424 22 yxyxA 1 2 若两圆相切 则或 734 CA134 CA 1 当时 或 无解 故可得 4 1 aC 222 7 14 2 a 222 1 14 2 a 1022 a 所求圆方程为 或 222 4 4 1022 yx 222 4 4 1022 yx 7 16 2 当时 或 无解 故 4 2 aC 222 7 14 2 a 222 1 14 2 a 622 a 所求圆的方程为 或 222 4 4 622 yx 222 4 4 622 yx 说明 说明 对本题 易发生以下误解 由题意 所求圆与直线相切且半径为 4 则圆心坐标为 0 y 4 aC 且方程形如 222 4 4 yax 又圆 即 其圆心为 半径为0424 22 yxyx 222 3 1 2 yx 1 2 A 3 若两圆相切 则 故 解之得 34 CA 222 7 14 2 a1022 a 所以欲求圆的方程为 或 222 4 4 1022 yx 222 4 4 1022 yx 上述误解只考虑了圆心在直线上述误解只考虑了圆心在直线上方的情形 而疏漏了圆心在直线上方的情形 而疏漏了圆心在直线0 y 下方的情形 另外 误解中没有考虑两圆内切的情况 也是不全面下方的情形 另外 误解中没有考虑两圆内切的情况 也是不全面0 y 的 的 点评 点评 在解决求圆的方程这类问题时 应当注意以下几点 1 确定圆方程首先明确是标准方程还是一般方程 2 根据几何关系 如本例的相切 弦长等 建立方程求得 ab 或 rDEF 3 待定系数法的应用 解答中要尽量减少未知量的个数 3 3 用几何方法求圆的轨迹方程 用几何方法求圆的轨迹方程 例例 4 4 设圆满足 截 轴所得弦长为 2 被 轴分成两段圆弧 其弧yx 长的比为 3 1 在满足条件 的所有圆中 求圆心到直线的距02 yxl 离最小的圆的方程 分析 注意挖掘题目的条件 充分利用圆的几何性质解决问题 8 16 解法一解法一 设圆心为 半径为 则点到 轴 轴的距离分别为 baPrPxy b a 由题设圆截 轴所得劣弧对的圆心角为 知圆截 轴的弦长为Px 90Px 故2r 22 2br 又圆截 轴所得的弦长为 所以有 从而得 Py21 22 ar12 22 ab 又点到直线的距离为 baP02 yx 2 5 ab d 所以当且仅当时上式等号成立 此时 从而 取得最小值 ba 15 2 dd 解此方程组得 由于知于是 所求圆的方程是 22 2br 2r 或 2 1 1 22 yx2 1 1 22 yx 解法二解法二 同解法一得 222 2 25 5 44 55 ab dabd abbdd 得 将代入上式 整理得 12 22 ba24 5510 22 bdbd 把它看作b的二次方程 由于方程有实根 故判别式非负 即 得 0 15 8 2 d15 2 d 所以有最小值1 从而 有最小值 2 5dd 5 5 将其代入 式得2b2 42 0 解得 1 将 1代入r2 2b2 得r2 2 由r22 1得 1 综上 1 12 2 由 2b 1知同号 于是 所求圆的方程是 9 16 或 2 1 1 22 yx2 1 1 22 yx 点拨点拨 求圆的方程通常有两类方法 一是几何法 即通过研究圆的性质 直线和圆 圆和圆的位置关系进而求得圆的基本量 圆心 半径 和圆的 方程 二是代数法 即根据题意设出圆的方程 再利用条件得到有关方程系 数的方程组 解方程组得到方程系数 从而求出圆的方程 4 4 直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系 例例 5 5 在平面直角坐标系中 已知圆心在第二象限 半径为的xoy2 2 圆与直线相切于坐标原点 求圆的方程 Cyx OC 解 1 设圆心坐标为 m n m0 则该圆的方程为 2 2 8 已知该圆与直线相切 那么圆心到该直线的距离等于圆的半径 则 2 即 4 2 nm 2nm 又圆与直线切于原点 将点 0 0 代入得 m22 8 联立方程 和 组成方程组解得 2 2 n m 故 圆的方程为 2 2 2 2 8 点拨点拨 解决圆的综合问题时 一方面要充分利用圆的平面几何知识来解决问 题 另一方面还要注意几何问题代数化的思想运用 第三部分第三部分 课堂练习课堂练习 1 关于的方程 220 表示一个圆的充要条件是 0 且 022 4 0 2 过点 P 8 1 Q 5 12 R 17 4 三点的圆的圆心坐标是 5 1 3 若两直线 2k 与 21 的交点 P 在圆 x22 4 的内部 则 k 的范围是 10 16 1 1 5 k 4 已知圆心为点 2 3 一条直径的两个端点恰好落在两个坐标轴 上 则这个圆的方程是 22 460 xyxy 5 直线 31 与曲线 x22 4 相交于 A B 两点 则的中点坐标是 31 10 10 6 方程表示的曲线是 两个半圆 2 11 1 xy 7 圆关于直线的对称圆的方程是2 4 3 22 yx0 yx 22 4 3 2xy 8 如果实数 x y 满足等式 那么的最大值是 3 2 2 23xy y x 9 已知点和圆 求一束光线从点 A 经 x 轴反 1 1 A4 7 5 22 yxC 射到圆周 C 的最短路程为 8 10 求经过点 A 5 2 3 2 圆心在直线 2x y 3 0 上的圆的方程 解 设圆心 P x00 则有 2 0 2 0 2 0 2 0 00 2 3 2 5 032 yxyx yx 解得 x0 4 y0 5 半径 所求圆的方程为 x 4 2 y 5 2 10 头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 wxckt wxckt 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头 10 11 一圆与y轴相切 圆心在直线x 30 上 且直线截圆所得弦长为 2 求此圆的方程 头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 wxckt wxckt 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头 7 解 因圆与y轴相切 且圆心在直线x 30 上 故设圆方程为 头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 wxckt wxckt 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头 222 3 9xbybb 又因为直线截圆得弦长为 2 7 则有9b2 解得 1 头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 wxckt wxckt 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头 2 3 2 bb 2 7 故所求圆方程为 或 头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 wxckt wxckt 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头 22 3 1 9xy 22 3 1 9xy 11 16 点拨点拨 1 确定圆方程首先明确是标准方程还是一般方程 2 待 定系数法 3 尽量利用几何关系求a b r或D E F 12 在直角坐标系中 以为圆心的圆与直线相切 xOyO34xy 1 求圆的方程 O 2 圆与 轴相交于两点 圆内的动点使成等比OxAB PPAPOPB 数列 求的取值范围 PA PB A 解 1 依题设 圆的半径 等于原点到直线的距离 OrO34xy 即 得圆的方程为 4 2 1 3 r O 22 4xy 2 不妨设 由即得 1212 0 0 A xB xxx 2 4x 2 0 2 0 AB 设 由成等比数列 得 P xy PAPOPB 222222 2 2 xyxyxy A 即 22 2xy 2 2 PA PBxyxy AA 22 2 4 2 1 xy y 由于点在圆内 故PO 22 22 4 2 xy xy 由此得 2 1y 所以的取值范围为 PA PB A 2 0 12 16 第四部分第四部分 作业练习作业练习 1 点P a b Q 1 a 1 关于直线L对称 则L的方程是 x y 1 0 2 过点P 2 1 且被圆x22 240 截得的弦长最大的直线的方程 是 3x y 5 0 3 如果点 4 a 到直线的距离不大于 3 那么a的取值0134 yx 范围是 0 10 4 直线当k变动时 所有直线都过定点 3 1 031 kykx 5 直线和直线平行的充要条件是012 ayx01 13 ayxa 1 0 6 a 或 6 方程x22 2 3 2 1 4t2 16t2 9 0 t R 表示圆方程 则t的取值 范围是 1 1 7 t 7 点 A 是圆 C 上任意一点关于直线的对 22 450 xyaxy 210 xy 称点也在圆 C 上 则实数 a 的值为 10 8 过圆x22 4 外一点P 4 2 作圆的两条切线 切点为A B 则 的 外接圆方程是 2 2 1 2 5 9 M 为圆内异于圆心的一点 则直线 00 yx 0 222 aayx 与该圆的位置关系为相离 填相切 相交 相离 2 00 ayyxx 10 设直线与圆相交于 两点 且弦30axy 22 1 2 4xy AB 的长为 则0 AB2 3a 13 16 11 已知圆 C 过点 A 41 且与圆相切于点 22 2650 xyxy B 1 2 则圆 C 的方程为 2 2 51 3 y x 12 25 22 34250 xyxyxy 若点 在直线上移动 则的最小值为 13 过点的直线 将圆分成两段弧 当劣弧所对的圆 1 2 l 22 2 4xy 心角最小时 直线 的斜率 lk 2 2 14 若圆上至少有三个不同点到直线 的 22 44100 xyxy l0axby 距离为 则直线 的倾斜角的取值范围是 2 2l 5 12 12 15 已知 A 0 3 B 1 0 C 3 0 求点 D 的坐标 使四边形为等腰梯 形 解 设 若 则 易得 D D x yAB CDA ABCD KKADBC 16 3 5 5 若 则由 可解得AD BCA ADBC kk ABCD 2 3 D 故点 D 的坐标为 16 3 2 3 5 5 得 16 已知的顶点 A 为 3 1 边上的中线所在直线方程为ABC 的平分线所在直线方程为 求边所在直610590 xy B 4100 xy 线的方程 解 设 由中点在上 11 410 Byy 610590 xy 可得 y1 5 所以 059 2 1 10 2 74 6 11 yy 10 5 B 设 A 点关于的对称点为 4100 xy A x y 则有 故 7 1 1 4 1 3 1 010 2 4 4 2 3 A x y yx 29650BCxy 17 已知圆 和圆 直线 与圆相切于点 圆的 1 C 22 2xy 2 Cl 1 C 1 1 2 C 14 16 圆心在射线上 圆过原点 且被直线 截得的弦长为 20 0 xyx 2 Cl4 3 求直线 的方程 l 求圆的方程 2 C 解 解 法一 点在圆上 1 1 22 1 2Cxy 直线 的方程为 即 l2xy 20 xy 法二 当直线 垂直 轴时 不符合题意 lx 当直线 与 轴不垂直时 设直线 的方程为 即 lxl1 1 yk x 10kxyk 则圆心到直线 的距离 即 解得 1 0 0 Cl2dr 2 1 2 1 k k 1k 直线 的方程为 l20 xy 设圆 圆过原点 2 C 222 2 xayar 0 a 2 C 22 5ar 圆的方程为 2 C 222 2 5xayaa 0 a 圆被直线 截得的弦长为 圆心到直线 的距 2 Cl4 3 2 2 C aal20 xy 离 2 22 512 2 aa da 整理得 解得或 2 12280aa 2a 14a 0a 2a 圆 2 C 22 2 4 20 xy 18 已知过A 0 1