矩阵在Hill密码的应用.doc

矩阵运算在Hill密码中的应用摘要代数研究最多最基本的便是矩阵。矩阵是代数最基本的概念，矩阵的运算是代数运算的基本内容。矩阵就是一个数表，而这个数表可以进行变换，以形成新的数表。如果你了解原始数表的含义，而且你可以从中抽象出某种变化规律，你就可以用代数的理论对你研究的数表进行变换，并得出你想要的一些结论。这次我们只是简单地介绍一下矩阵在密码学中的应用（与其说是简单介绍，不如说是我学习的不够深入，停在表面）。自二战起，密码学飞速发展，时至今日，DES可能已经成为世上最为广泛的分组密码算法了。此文所讲的是1997年为替代DES算法二创造的AES算法，其中涉及到矩阵运算、同余等知识，便以最基础的Hill密码为例。正文在介绍之前，我们先用一个简单的例子让我们对Hill密码有一个初步的认识。先设定26个英文字母与数字的对应关系如下：ABCDEFGHIJKLM12345678910111213NOPQRSTUVWXYZ14151617181920212223242526若要发出信息action，使用上述代码，则此信息的编码是：1，3，20，9，15，14可以写成两个向量:, 写成矩阵现任选一个加密矩阵，例如，我们对原文进行加密，然后再发送，即，或者。对方收到信息后，可以依照事先规定的加密矩阵予以解密，我们取，以从中恢复明码，也即。对照事先规定好的对应表，可以恢复明码，即action。当然，加密矩阵可以任取，只是要求可逆。上文所讲只是简单的Hill密码，要确保其安全性必须再叠加新的加密方法，即模26同余。为了方便理解，我们做如下定义。定义1 对于一个元素属于集合Z的n阶方阵 ，若存在一个元素属于集合Z的方阵 ，使得， 称A为模m可逆， B为A 的模m逆矩阵，记为。定义2 对Z的一个整数a，若存在Z的一个整数b，使得ab=1（mod m），称b为a的模m倒数，记作。有了以上定义，我们便可以进行稍复杂的加密了，下面我们举一个例子。例：把General Roberts was shot按照Hill密码的方法加密。这次我们换一个编码次序，不妨将A、BY、Z与1、225、0,分别对应，然后将明文两两分组，分组方式任取，此处便以常用简单的两两分组，若为奇数个可在末尾添加任意字母，此处不妨取t，即为Ge ne ra lR ob er ts wa ss ho tt，按照对应规则转化则为，。下一步，取加密矩阵，将之分别右乘（i=1，211），得到，。为了增强密码的安全性，我们把以上每个分量对26取同余，得到新的一组分量，将之命为。，。于是，我们就得到了一副全新的密文，对应后得到字母为Us pq bk jP s fob hg qm ee xe hh，我们便可以将编译好的密文发送了。可是问题也对应而来，既然有了密文，如何获取明文呢？根据编译的过程，我们能得到等式如下，并且据定理1，我们有，可知，我们只需要求A的模26逆矩阵。据已知公式，我们可代入求解，其中可参照已知数据进行查找，现附数据如下：13579111517192123251921153197231151725于是，我们有再根据，由此便可得到明文。结语伴随着科技的发展，我们进入了信息化时代，数学作为科学之本起着越来越大的作用。矩阵作为高等代数学中重要的工具也时常出现在统计学和应用数学等其他学科中。在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要