放缩法技巧全总结.doc

放缩法技巧全总结第一篇:放缩法技巧全总结(非常精辟,是尖子生解决高考数学最后一题之瓶颈之精华!) 例析放缩法在数列不等式中的应用 孙卫 （安徽省芜湖市第一中学 241000） 数列不等式是高考大纲在知识点交汇处命题精神的重要体现，在高考试题中占有重要地位，在近几年的高考试题中，多个省份都有所考查，甚至作为压轴题。而数列不等式的求解常常用到放缩法，笔者在教学过程中发现学生在用放缩法处理此类问题时，普遍感到困难，找不到解题思路。现就放缩法在数列不等式求解过程中常见的几种应用类型总结如下。 1. 直接放缩，消项求解 例1（2008 辽宁21）在数列an,bn中,a1=2,b1=4,且an,bn,an+1成等差数列,bn,an+1,bn+1成等比数列. nN*, （）求a2,a3,a4及b2,b3,b4,由此猜测an,bn的通项公式,并证明你的结论; （）证明:11+a1+b1a2+b2+15. an+bn12 分析：（）数学归纳法。（）本小题的分母可化为不相同的两因式的乘积，可将其放缩为等差型两项之积，通过裂项求和。 （）略解an=n(n+1)，bn=(n+1)2 （）115=2(n+1)n a1+b1612 故11111111+ a1+b1a2+b2an+bn622334n(n+1) 11111111+-+-+- 622334nn+1 1111115+-+=，综上，原不等式成立 622n+16412= 点评： 数列和式不等式中，若数列的通项为分式型，可考虑对其分母进行放缩，构造等差型因式之积。再用裂项的方法求解。 另外，熟悉一些常用的放缩方法， 如：1111111111(k=1,2,L,n),-=2=- 2nn+kn+1nn+1n(n+1)nn(n-1)n-1n 3例2（2008 安徽21.节选）设数列an满足a1=1,an+1=can+1-c,cN*其中c为实数 （）证明：an0,1对任意nN成立的充分必要条件是c0,1； * 1 （）设0c1，证明：an1-(3c)n-1,nN*; 3 分析：（）数学归纳法证明（）结论可变形为1-an(3c)n-1，即不等式右边为一等比数列通项形式，化归思路为对 1-an用放缩法构造等比型递推数列， 即1-an=c(1-an-1)(1+an-1+an-1)3c(1-an-1) 解：（）解略。 （）设 0c21，当n=1时，a1=0，结论成立，当n2 时， 3 32 an=can+1-c,1-a=c(1-a)(1+a+a-1nn-1n-1n-1) Q0c12,由（1）知an-10,1，所以 1+an-1+an-13 且 1-an-10 3 1-an3c(1-an-1) 1-an3c(1-an-1)(3c)2(1-an-2) an1-(3c)n-1(nN*) 点评：直接对多项式放大后，得到的是等比型递推数列，再逐项递推得到结论。通过放缩得到等比型递推数列是求解数列不等式的另一个重要的类型。 (3c)n-1(1-a1)=(3c)n-1 2. 利用基本不等式放缩 例3（2008 浙江22）已知数列an，an0，a1=0，an+1+an+1-1=an(nN)，记22 Sn=a1+a2+L+an，Tn= 111 +L+1+a1(1+a1)(1+a2)(1+a1)(1+a2)L(1+an)求证：当nN时，（）ann-2；（）Tn3。 分析：（）在an0的条件下，anan+1的等价形式为anan+1，要证an0,即证an1，可用数学归纳法证明 （）由 an+1-an=1-an+1累加及an1可得 （）和式通项的分母由 1+an累乘得到的，条件中可有ak+1(1+ak+1)=1+ak得到，但 22222 1+ak 的分子分母次数不同，可用基本不等式将其化为等比型递推数列 (1+ak+1)=ak+1 （）解略。 （）解略。 2 2 （）证明：由ak+12+ak+1=1+ak22ak，得 a1k+1(k=2，3，n-1，n3) 1+ak+12ak 所以1 (1+a3)(1+a4) 1 (1+a2)(1+a3)(1+an)an2n-2a2(a3)， 于是(1+an)anan1=(n3)， n-22n-2n-22(a2+a2)22 +1 2n-2故当n3时，Tn1+1+1+23，又因为T1T2T3，所以Tn3 点评：本题第三问，基本不等式的应用使构造等比型递推数列成为可能，在公比q1时，等比数列的前n 项和趋向于定值，即前n项和有界，这为数列和式范围的证明提供了思路。 3. 利用数列的单调性放缩 例4 数列an为非负实数列，且满足：ak-2ak+1+ak+20， 求证：0ak-ak+1ai=1ki1，k=1,2,L 2(k=1,2,L). k2 分析：有时数列不等式的证明可以在数列单调性的前提下进行放缩。 证明：若有某个akak+1，则ak+1ak-ak+1+ak+2ak+2，从而从ak起，数列an单调递增，和Sn=a1+a2+L+an会随n的增大而趋向于无穷，与ai1，k=1,2,L矛盾，所以an是单调递减 i=1k 的数列，即ak-ak+10，令bn=ak-ak+1,k=1,2,L 由ak-2ak+1+ak+20得ak-ak+1ak+1-ak+2，即bkbk+1,k=1,2,L 由于1a1+a2+L+ak =b1+2a2+a3+L+ak =b1+2b2+3a3+L+ak =b1+2a2+3b3+L+ak LL b1+2b2+3b3+L+kbk (1+2+3+L+k)bk =k(k+1)bk2 3 故bk222。 k(k+1)k 点评：本题考虑了数列an，bn的单调性，然后利用放缩法进行证明。 又如，例3的第三问也可用单调性证明： Qanan+1,及an0,11, n-1(1+a1)(1+a2)L(1+an)(1+a2) 1n1-()1+a21=，要证Tn3, 111-1-1+a21+a2Tn1111+L+1+a11+a2(1+a2)2(1+an)n-1 只要证1 1-1 1+a21-11,而a2=,所以问题得证 222 4. 放缩法在数学归纳法的应用 数列不等式是与自然数有关的命题，数学归纳法是证明与自然数有关的命题的重要方法。应用数学归纳法证明时，通常要利用放缩法对条件进行适当的转化，才能实现由n=k时成立到n=k+1时也成立的过渡。 举例略。 综合以上分析，我们发现，在数列不等式的求解过程中，通过放缩法的应用，主要使数列不等式转化为以下两种类型： （1）可直接裂项的形式，再求和证明求解。（等差型） （2）等比型递推数列，q1时，数列前n项和有界。（等比型） 数列不等式是一类综合性较强的问题，我们可以利用上述思路对数列不等式进行分析、求解。在解题过程中要充分挖掘题设条件信息，把条件合理的转化、加强、放缩，同时结合问题的结构、形式等特征，使条件与结论建立联系，从而使解题思路通畅。其中合理、适当的放缩是能否顺利解题的关键。 参考文献： 1 何清泉 数列不等式证明的几种策略，数学通报， 2007，11 2 王树国 师大附中专题 （数列、极限、数学归纳法），长沙，湖南师大出版社 2004 第二版 作者简介：孙卫，1979，汉，安徽芜湖市第一中学，职称：中教二级 电话邮码：241000电子信箱： . 4第二篇:高考放缩法技巧总结 高考数学备考之一 放缩技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 nn 15. 例1.(1)求2的值; (2)求证:22 4k-13kk=1k=1解析:(1)因为 24n2-1 1 n2 = 211,所以n212n =-=1-=2 (2n-1)(2n+1)2n-12n+12n+12n+1k=14k-1 4 (2)因为 n 111125 1,所以11+21-+L+1+=2=2=2-2n-12n+13335k=1k14n-12n-12n+1n2- 4 1 奇巧积累:(1) 1441 1=2-n4n4n-12n-12n+1 r+1 r=Cn (2) 1211 =-12 (n+1)n(n-1)n(n-1)n(n+1)Cn+1Cn (3)T 1n!11111 =r=-(r2) r r!(n-r)!nr!r(r-1)r-1rn (4)(1+1)n1+1+1+1+L+ n 213215 n(n-1)2 1 n+2- n+2 2n+12n+32 11 - (2n+1)2n-1(2n+3)2n (5) 111 =n-n nn 2(2-1)2-12 (6) 211 (7)2(n+1-)12(n-n-1) (8) -n= n (9) 11111111 =+,=- k(n+1-k)n+1-kkn+1n(n+1+k)k+1nn+1+k n11 =- (n+1)!n!(n+1)! (10) (11) 1n (-)= 222n+1+n-1 = n+ 211+n-22 (11) (12) 2n2n2n2n-111 =n-1-n(n2)n2nnnnnn-1 (2-1)(2-1)(2-1)(2-1)(2-2)(2-1)(2-1)2-12-11n3 = 1nn2 1111 =- n(n-1)