[机械模具数控自动化专业毕业设计外文文献及翻译]【期刊】高速机械加工用机械轴调速器变速箱的最佳设计-中文翻译

1高速机械加工用机械轴调速器变速箱的最佳设计 萨尔加多和阿隆索 摘要： 有不同的解决方法升级传统机床高速切削加工 (HSM)。一种最便宜的解决方案是使用机械主轴驶来。机械主轴驶通过一个乘数齿轮箱来允许增加机床的速度 ,他们已成功地用于多种加工过程 ,如钻孔、铣削、攻丝甚至磨削。它们 主要应用在模具工业 ,因 为它们为升级现有的较低的速度机床提供了一种有效的解决方案。 在这部作品中 ,行星齿轮火车 (PGTs)通过减小体积和动能齿轮箱的方式应用在所有的现在销售的机械主轴拦截优化 设计中 ,因为他们的功能直接取决于这些两个标准。在作者的观点看来 ,结果对主轴飞行的制造商是非常重要的。 关键词： 主轴变速箱设计 行星齿轮传动装置 高速切削加工优化 命名： H 赫兹接触应力 F 弯曲应力 P 许用赫兹接触应力 P 允许弯曲应力 O 名义赫兹接触应力 O 名义弯曲应力 limH 最大允许的赫兹接触应力 limF 最大允许的弯曲应力 压力角 t 切向齿轮力 b 面宽度 螺旋角 d 节圆直径 模量 AK 应用 HK 抗点蚀反式负载共享因素 H 长负载共享因素抗点蚀 F 弯曲强度反式负载共享因子 F 弯曲强度长负载共享因子 aY 弯曲强度形状因子 NTY 生活的弯曲强度因子 RrelT 相对粗糙因素 Sa 应力集中系数 S 应力集中系数 X弯曲强度大小因素 u 直径的比值齿轮啮合 ,被大于 1 粗糙度 高度的物理表面测量的小规模的变化 relTY 槽相对灵敏度因子 Y 重合度为弯曲强度的因素 螺旋角弯曲强度因子 EZ 物质因素 HZ 几何因素为蚀的阻力 L 粘度的因素 N 抗腐蚀的寿命系数 R 抵抗凹陷 糙度 因素 V 速度因素 W 硬度比因素 X 抵抗凹陷的尺寸因素 Z 螺旋角点蚀因素的阻力 Z 抗点蚀的重合度因素 VK 动态因素 P 行星齿轮数量 E 行星系统的动能 iw 齿轮角速度 4v 行星齿轮的速度 m 齿轮质量 iI 惯性矩的齿轮 潍坊学院本科毕业设计 2iZ 齿数 nlZ 由 n和 l连接形成的 齿轮副齿比 行星齿轮变速机构的行星的效率 (spindlespeeder) 0 普通或固定齿轮副效率 一、 简介 所有的机械加工的知识系统的趋势是面向最大化生产能力的。 HSM正在迅速增长 ,而 且它在常规的加工中提供了几个优势 ,比如降低加工时间 ,减少机械应力 ,减少加热工件、高表面质量 ,采用较小的工具等。在这个领域中， HSM在工业中研究的量已经稳步提高了。 此外 ,HSM对于高速切削加工来说 代表了一个好的解决方 案（镁轻金属、铝和汽车航天应用 ),加工铸铁与陶瓷插入 ,加工复合材料和其他材料 ,包括可、钛 ,因科镍合金等。 传统高速切削机床有不同的解决方法 ,它为升级现有的低速度机床提供了一个优秀的机会成本 ,同时可以节省大量投资新资本设备上。最便宜的一种解决方案就是使用机械主轴增速器。主轴增速器发展并证明了参与系统的性能与多种加工过程 ,如钻孔、铣削、攻丝即使磨削。尤其它们应用完成操作，如在那些磨具产业的应用场合也是理想的。总而言之，机械主轴增速器是一种 允许速度向传统的机器高速切削工具的速度增加的低成本选择。 主轴是一个主要电气部件加 工中心 ,因为它的设计直接影响加工质量的生产力和完成零件。 因此 ,主轴设计 (静态和动 态刚度、尺寸的轴、轴承、设计配置等 )已经被研究的深度 (5 - 8)。机械主轴增速器的功能主要取决于系统的优化设计所需的传输速度比和力量。特别是， 最小体积和最小动能传动装置对主轴优化设计的重要性决定了两个因素必须被考虑。 主轴增速器的最小体积 必须为低体重而且不能减少机床的操作空间。但是 ,同时 ,机械主轴增速装置必须设计为一个长时间的工作的装置 ,因此，传动的动能才能确保为最小的功能选择。 主轴增速器的设计要求导致了基于行星齿轮链（ PGTs）传输的使用。 因为 PGTs结合高速比和高效率提供了一个非常紧凑的、高效的解决方案 (减少重量和大小相比普通齿轮链 )。 PGTs也被用于 在低速范围内延长恒功率范围的机床主轴驱动电机以及配有变速箱的许多机床。最近 ,他们的设计已被当前作者优化。 制造商把机械主轴增速装置 常见的调速范围比 设计成一个从 3.5到 8的多元化的因子。 只有一个制造商提供了一个 速度增加了 10倍以上 ,最大飞行 40000每分钟转速和输出 2千瓦的能量的机械主轴增速器。 图 1显示一个机械主轴增速器。 这篇文章的目的是给出一组最优设计的机械主轴增速不同的力量和速度之比。特别需要指出的是 ,目前制造商所使用的飞行主轴结构。研究了市场的力量和速比范围 ,并给出了优化设计的这些配置 (每个力量和速度比 )和对所有的范围进行了比较。 潍坊学院本科毕业设计 3二 、机械主轴调速器的设计细则 在这一环节中 ,我们必须把主轴调速设计考虑在内。机械主轴调速设计是一个含四PGT部件 ,目前应用与于最广泛的配置商业 ,因为它几乎涵盖了受雇于工业领域的整个范围的速比 ,也会成为最简单的 PGT建设。根据组件的设计 ,PGT有六种不同的构造方案。六种方案见于图二。图二当中的六种构造方案是主轴调速设计方案。 PGTs成员有不同类型 ,在目前的工作中将被称为太阳轮、齿圈、轮齿和行星 轮（见图一 a）。 在图二中，构件三是轮齿，构件 4和 4是行星轮。从建设方案来看，构件 1和 2是不同的。所以构件 1在图二的 a、 c、 d当中是太阳轮，而在 其余的方案中，它是一个齿圈。 同样 ,构件 2在图 2 b、 d、 e方案中是一个太阳轮结构 ,在图 2其余的解决方案的中是齿圈。构件 1和 4依靠齿轮副连接。同时连接着构件 2和 4；轮齿（构件 3）和行星轮依靠回转副连接。在现在的工作 ,但表达 单行星 ”将用于配置一个单一的一颗行星齿轮 ,比如图 2 a,b中的行星轮 ,“双行星 ”一个由两个齿轮构成 ,如图 2 c-f里的行星轮。 一个更详细的解释 PGTs结构将在 9、 11中找到。 2.1 效率因素 证明基于 PGT乘数效率将会更高是可能的 ,如果它被设计通过输入的轮齿 (构件 3)。这就是为什么所有的机械主轴调速装置被设计为含四个输入的轮齿组件 PGTs倍增器。 2.2 经济和操作考虑 用双行星轮的结构 (图 .2c-f),即图 2 d从经济学的观点来看更有趣 ,因为它提供的优点是不会使用环形齿轮。其原因是 ,飞行主轴调速齿轮必须钢化、耐受力强，地面避免高热处理且地面环形齿轮价格比地面非环形齿轮。同样 ,如果环形齿轮不着地面、热累积会发生在很短的时间内 ,这种加热范围和降低了输入速度和转矩。 图 2a构造方案的优势超过了其他方案构造采用单一的行星 (图 2 b)在那个固定的环形齿轮上。因为这个原因 ,图 2b的建设解决方案不能用于机械主轴调速设计 ,因为它较大的增加了主轴调速的动能。 以下这个相同的推理，图 2 e、 f的构造方案对于机械主轴 潍坊学院本科毕业设计 4nllZ调速设计的双行星设计方案是不适当的配置方案。 图 2 4构件的 PGT的 6种构造方案 2.3行星轮的构件考虑 在机械主轴调速设计中，为所需要的功率和速度比例选择最优的行星轮数量是相当重要的。 其行星构件 (Np)的数量可以从两到三层、四层或更多变化 ,取决于它设计的应用。例如 ,图 1a的机械主轴图有三个行星构件 (Np = 3)。为了减轻重量和动能的传输这个数量必须尽可能小 ,而为了确保载荷较好的分布到每个行星齿轮上。在任何情况下 ,行星必须围绕着 PGT的主轴集中安排以平衡质量分布。 简而言之 ,对于机械主轴调速来说 ,只有图 2a,c,d的解决方案可以认为是最理想的主轴调速设计。特别是 ,这些构造解决方案也是最常用于生产厂家的。 三、机械主轴调速设计的约束 在这部分中 ,对机械主轴调速设计的约束进行了描述。根据约束的类型，他们被分成三个部分。它们是 : （ 1）涉及齿轮 -约束 及几何尺寸（ 2） PGT啮合要求（ 3）接触和弯曲应力 3.1 齿轮 -约束 及几何尺寸 第一个约束是对可接受宽度 b范围的一项实际限制。约束如下： 914m （ 1） m是模数。模数是节圆直径与齿轮齿数的比值。对于齿轮啮合来说 ,他们的模数必须相等。齿轮 ISO标准和设计方法是建立在模数上的。 所有的运动学和动力学参数值传递依靠的齿数比 , nlZ是由 n和 l连接形成的齿轮副的齿数比。因此， nl定义如下： (2) 潍坊学院本科毕业设计 5以便定义的齿数比满足威利斯方程 ,如果齿轮室是外齿轮啮合， nlZ必须是正的。 如果它是内齿轮啮合 nlZ就是负的， 第十条、第十一条 。对图 2a的轮系 ,将会采取 140Z和 240Z。理论上 ,齿数比率有任何价值 ,但在实践中 ,他们大多数因技术原因而被限制。因为不易装配在一定范围外的齿数比率的齿轮。在这部作品中 ,机械主轴调速设计的齿数比相当贴近缪勒 12的建议和美国齿轮制造商协会 (AGMA)标准 13,是 : .5nl （ 3） 72.Z （ 4） 通过实验的外部齿轮 3和内部齿轮 4给定的约束，重要的是要注意 这些限制对不同数量的行星 (Np)是有效的设计。在尊重这些价值观的同时，达到的机械主轴设计会更小 ,更轻的 ,更便宜。另一个限制将强加在由双行星齿轮构成的主轴调速设计中，其齿轮直径的比例是： （ 5） d 4是与构件 2啮合的行星齿轮的直径， d4是与构件 1(见图 2)啮合的行星齿轮的直径。在基于 PGT图 2 c、 d，构建机械主轴调速装置，齿数比例 14Z，2与由行星轮构成的齿轮的半径有关。特别需要指出的是 ,主轴调速装置必须服从几何关系，如图 2 c: (6) 上述方程表达论述的是齿轮模数 ,它直接发现齿轮 4和 4的直径的比例作为 Z240 、Z14的价值。这个比率 是 : (7) 同样地 ,一个获得此案例的配置如 Fig.2 d表达 : (8) 最后 ,将会选取齿轮齿的最小数 量： (9) 3.2 行星齿轮变速机构的啮合要求 AGMA标准 13给出了啮合要求。下面的 (Eq.10)是为设计的图 2给出的约束 : (10) 1Z是太阳轮的齿数 (构件 1)和 2Z是环形齿轮的齿数 (构件 2)。 Eq.10 上的标记取决于随着齿圈固定的太阳和环形齿轮的回转方向。负面的标志是一定要随着齿圈固定的太阳和环形齿轮在同一方向转。 413d1424()()412dZ412dZmin18Z21pN一 个 整 数 潍坊学院本科毕业设计 62lim350FN2lim130HN行星系统的双行 星必须在某种意义上其中一个与 (参见 AGMA 标准 13)Eq. 11 行星的数目成加法关系： (11) 1P 和 2 是分子和分母不可约的分数相当于分数 ; 4Z是行星轮的齿数 与构件 2 相互啮合 , 4Z是与 (见图 2)构件 1 相互啮合的行星轮的齿数 : 3.3 接触和弯曲应力 主轴速度设计中每一个齿轮扭矩的计算提出了将功率的损失考虑在内。这方面让机械主轴设计得到真正的优化，不像 14, 15没有被考虑在内的损失的优化研究。获取扭矩的过程和主轴的整体效能正如卡斯蒂洛 11所描述的。 对于每个主轴调速配置的齿轮，相对于赫兹接触和弯曲应力，约束必须满足： HP （ 12） F (13) 齿轮计算的 ISO 标准被定义如下。应力值 Eqs 12 和 13 是的基准定义为 : （ 14） （ 15） HP和 F定义如下 : limHPNLRVWXZZ （ 16） liFSTrelTrlYY （ 17） 它是重要的强调将功率损失考虑在内的扭矩的计算得到的切向力。包括功率损失计算的整体效率。如果连接到行星轮的轮齿是固定的，我们使用的普通的效率 (第十条、第十一条 这个概念就是齿轮副效率。藉由这效率 ,引入整体效能计算的 PGT摩擦损失发生在每一对齿轮上。为此 ,我们取价值 0=0.98普通的效率 ,也就是每对齿轮通过摩擦损失掉 2%的功率。在研究中 ,不要将这能量损失考虑在内 ,切向力的价值仅仅是近似 ,PGTs可以是完全不同的情况 ,因为在 10功率循环的可能性。给出启动特性的机床，一般来说 , AK=1。压力角 = 20，材料的选择为 。 21PpZN一 个 整 数 4412P1tHAVHEFuKZbd tAVFFSYb 潍坊学院本科毕业设计 7最后 ,每个行星齿轮的载荷分布使用在 AGMA分布因素 6123 - 88规范 13的建议下确定下来，并且作为行星数量 (Np)的一个函数。 四、目标函数和设计变量 为传统传输 14-23提出了各种作品的最佳化的方法 ,但只有少数人研究提出了PGTs20、 21优化技术设计的。此外 ,所有这些研究 在 PGTs24,25完全计算每个齿轮受到的扭矩 ,因为他们不考虑在不同 PGT齿轮副功率损失。然而 ,众所周知 ,在这些传输中功率损失可以远远大于普通的齿轮轮系 10、 11,因此 ,一个最优的设计必须考虑到这个因素。事实上 ,不考虑电能损失 ,就不能确保一个机械主轴设计最优方案 ,阻碍了认识其整体效率。 在这一节中 ,我们描述了目标函数、设计变量。目标函数的体积函数和动能的作用。它重要的是这些功能有不同的表达式 ,根据建设方案设计采用主轴调速设计。特别是 ,单行星构造体积函数 (图 2a)表达如下 : 2144aVbd(18) Va 表示齿轮的总体积。同样的图 2 c 以另一种形式构造目标函数表示如下： 214142 4max,c d(19) 图二 d的构造方案表达式如下： (20) 14b是 齿轮 1和 4的宽度， 24b是齿轮 2和 4的宽度 。 动能函数对于行星单和双行星构造不同的解决方案 ,且可以很容易被推出。图 2 a功能构造表现在以下的表格： (21) 4I,w和 4m分别是是惯性矩的、转速、行星齿轮的质量 , 4v是中心的行星齿轮减速。在上面的表达中， 1I是太阳的惯性矩和 Np是 (宇宙中 )行星齿轮的数量。 表一：图 2a的主轴调速最优设计 214142ax,dVbd2221441aPKEINvIw 潍坊学院本科毕业设计 8表二：图 2a的主轴调速最优设计 潍坊学院本科毕业设计 9同样构造方案的图 2 c、 d的目标函数表示如下 : 22214444pPcdNNKEIwmvIw(22) 方案的图 2 a、 c、 d、的设计变量的选择，行星齿轮的数量 (Np),齿轮的模数 (mi),在每一个的齿数齿轮 (Zi),面宽 (bi)和螺旋角 (i) 。当这些设计参数是由上述目标函数最小化 ,PGT 就被完全定义。 潍坊学院本科毕业设计 10图三： 图 2c 的主轴调速最优设计 图四： 图 2d 的主轴调速最优设计 五、结果和讨论 本文中机械主轴调速最优化问题 ,应用了一套不同的设计的主轴调速 ,即不同的速度比和权力范围覆盖整个市场。表格 1和 2总结所有的以图 2 a为和显示优化设计。在这些表格中 ,第一和第二为每一个设计列举的速度比、输入功率、最大输出速度。第一栏也显示齿数各单元的的最低体积和最小动能的解决方案。例如 ,为 1:3.5速比的情况下 ,我们选择了两个乘数的设计 ,一个 10 kW的力量 ,另一座为 16千瓦 ,最大输出速度不同 ,这是 8000每分钟转速和 10000转 /分钟 )。对于这个设计 ,齿数的最优数量根据目标函数是 :输出单元 1Z= 24,行星齿轮 4Z = 18，环形齿轮 2Z=60。这两行对应相同的功率和最大输出速度对应的最低数量和最小动能的解决方案。第三、第四和第五栏目的模数 ,面宽、螺旋角。当齿轮系统设计有两 (KE2)或有三个行星齿轮 (KE3)，第六列列举的第七和第 潍坊学院本科毕业设计 11八齿所占的的体积是齿轮系统动能。动能表示齿轮用于钢的独立的具体值的密度，单位 mm5 / s2。最后 ,第九组给出了行星传动的总直径。 继续 1:3.5速比的情况 ,特别的 ,10 kW、 8000转 /分 ,可以看做是对于最低体积和最小动能设计，齿轮模数是 1.25。最低体积设计 ,所有齿轮必须有一个 11.91mm面宽度和必须采用 25螺旋角。相反 ,如果想要设计一个的动能最低 ,面宽度必须 14.84毫米和 14螺旋角。从这个数据 ,直径的齿轮的可以被直接推出。例如 ,构件 1的直径为 33.10毫米 ,行星和环形齿轮直径分别是 24.82毫米和直径 82.75毫米的最低量的解决方案。这一特定的设计为主轴调速 (1:3.5,10 kW、 8000每分钟转速 ),它可以证明最小动能比最低量多8.6%的解决方案。最小容量设计 ,然而 ,比最优设计多 5.5%的动能。 从表格 1和 2可以得出一些结论。例如 ,它重要的是要记住 ,如果为和一个特定的主轴调速设计相符，最低体积和最小动能设计要有不同的模数 ,这两个设计之间的差异较大。在这主轴调速研究工作中 ,这发生在两种情况中有 1:6的速比。特别是 ,这些设计 :2.5 kW、 18000转 /分 ,7千瓦和 5000转 /分钟。在第一情况中 ,例如 1:6、 2.5 kW、18000转 /分 ,它能证实了动力学能量之间的比率的最低数量的设计和最小动能设计是30.14%。然而 ,两种设计之间的比率的仅为 1.82%。在第二种情形中 ,即 1： 6、 7千瓦和5000转 /分 ,结果是类似的 :这些百分比仅仅稍微大 ,分别为 33.85%和 4.00%。作为总结 ,这两种优化设计有不同的模数 ,两种设计动能的模数不同在这些情况中 ,比被提议到的设计中的相同的模数要大些。在这种情况下 ,机械主轴设计必须基于最小动能的解决方案去设计。另一个重要的结果是设计 1:4、 45千瓦和 8000转 /分 ,和 1:5,7千瓦 ,24000转仅有一个解决的方案 ,即最小体积和最小动能设计是相同的。他们是在两种设计的情况下是一致的。在表 1,因为这些主轴的设计 ,以及优化设计 ,设计相应的给出了 = 0。 最后 ,分析了结构优化设计的解决方案基于图 2a(表格 1和 2)，它表示了最小动能的总直径设计总是小于最小体积的主轴调速设计。这也是在预期之中的。 表 3和 4基于图 2 c、 d的解决方法分别总结了飞行作主轴结构设计。这些构建解决方案 ,只有对在表格 1和 2提到的几个设计进行了分析。其主要原因是这些解决方案的优点 ,其基本的速比大于 1： 1210,这不是在机械主轴调速范围内。在这种情况下 ,每个主轴设计飞行 (速度效率 ,增大了功率和最大输出速度 ),只有一个解决方法是被给的 ,因为任何主轴调速设计 ,从倍乘器的功能角度来看，这些建设方案比基于图 2a得到的结果更坏。这个设计对应一个妥协方案在最低数量和最小动能的设计之间。例如 ,一个机械主轴速比 1:5,5 kW、 13000转 /分 ,一个合适的设计就是基于表 3给定的建设方案图 2c。 表 5：不同的效率和速比的主轴的效能 潍坊学院本科毕业设计 12第一栏的表列出了速比 ,功率和最大输出速度。第二至六栏给出了所有的齿轮的圆柱螺旋角度 ,模数 ,面宽、直径。在这个主轴设计中 ,数据对应由 1和 4形成的齿轮副各项分别为 :24螺旋角、模块 0.9,面宽 11.08毫米 ,直径 19.75毫米至 24.69毫米 ,。由齿轮 2和 4形成的齿轮副分别有 8螺旋角、模块 0.8,面宽 9.98毫米 ,直径 64.64毫米至 20.20毫米。每一个的齿轮的齿数被显示在最下面一行的主轴设计中。它们是 : 1Z = 20, 2 = 80, 4Z = 25和4=25:第七和第八栏给出了齿轮系统的体积与动能。最后 ,第九栏给出了机械主轴的总直径。同样的方式 ,有关机械主轴调速设计的信息是基于表 4给出的图 2的解决方案。 通过对表 3和 4的信息分析和与表格 1和 2的信息对比，机械主轴的优化设计的结论可以得出。这种比较可由图 3合成。 从图 3可以推论 ,主轴调速必须基于图 2a的结构方案来设计 ,因为其他两个有趣的解决方案可能有更大的规模和动力学能量。同时 ,构建方案 2 d图比图 2 c是一个不好的解决方案 ,很容易推导出图 3。这主要是由于行星轮的转速比与图 2c有同样的速度比的图 2 d设计的速度更高。该构建解决方案（图 2d）的唯一的优势是不使用环形齿轮 ,这是更多的经济比功能的考虑。这就是为什么这个建筑方案已经用于其他齿轮箱机床 (见图 2 b在文献 9),正如那样的情况是变速箱为延长齿轮恒功率范围的一种机床主轴驱动电机。 另一个值得注意的结果就是体积和动能下降随着速度比的增加而增大。确实 ,在1:10情况下 ,主轴调速设计的体积和动能是基于图 2 c，并且小于由图 2 a(见表 2和 3)的解决方案获得的体积和动能主轴调速设计。 还有一点值得注意的是 ,基于图 2 c的解决方案的主轴调速的总直径是少于 1:6速比 ,1:8， 1:10比基于图 2a(见表 2和 3),是与得到的 1:5速比 (见表 1和表 3)相似。 最后 ,所有机械主轴设计的综合效率已经被计算出，考虑到由不同的效率的电力损失 11。由表五可知结果。 六、小结 潍坊学院本科毕业设计 13根据这部作品所得结果 ,我们可以得出 ,一般说来 ,最好的机械主轴调速设计是一种是基于图 2的构造方案 ,而且被用于最常用的机械主轴设计的制造商。在所有可能的基于图 2a的构造方案的主轴结构设计中的每个速比、电力和最大输出速度 ,结果在表格1和 2中提供了最适当的解决办法 ,即最小体积和最小动能的解决方案。在作者看来 ,这些成果将成为制造商和工程技术人员参与市场营销和机械主轴调速设计极大的兴趣。 此外 ,还有很重要的一点是 ,构造解决图 2 c可用于高速度比 (速度比率高于 1:10)。 七、参考文献 1. Lpez de Lacalle LN, Angulo C, Lamikiz A, Snchez JA (2006) Experimental and numerical investigation of the effect of spray cutting fluids in high speed milling. J Mater Process Technol 172(1):1115 2. Lpez de Lacalle LN, Lamikiz A, Snchez JA, Arana JL (2002) Improving the surface finish in high speed milling of stamping dies. J Mater Process Technol 123(2):292302 3. Pawade RS, Joshi SS, Brahmankar PK (2008) Effect of machining parameters and cutting edge geometry on surface integrity of high-speed turned Inconel 718. Int J Mach Tools Manuf 48:1528 4. Liao YS, Lin HM (2007) Mechanism of minimum quantity lubrication in high-speed milling of hardened steel. Int J Mach Tools Manuf 47(11):16601666 5. Jdrzejewski J, Kowal Z, Kwany W, Modrzycki W (2005) Highspeed precise machine tools spindle units improving. J Mater Process Technol 162163:615621 6. Maeda O, Cao Y, Altintas Y (2005) Expert spindle design system. Int J Mach Tools Manuf 45(45):537548 7. Taylor S, Khoo BT, Walton D (1990) Microcomputer optimization of machine tool spindle stiffnesses. Int J Mach Tools Manuf 30 (1):151159 8. Yang S (1981) A study of the static stiffness of machine tool spindles. Int J Mach Tool Des Res 21(1):2340 9. Salgado DR, Alonso FJ (2007) Optimal machine tool spindle drive gearbox design. Int J Adv Manuf Technol (in press) 10. Salgado DR, Del Castillo JM (2005) Selection and design of planetary gear trains based on power flow maps. ASME J Mech Des 127(1):120134 11. Del Castillo JM (2002) The analytical expression of the efficiency of planetary gear trains. Mech Mach Theory 37:197214 12. Mller HW (1982) Epicyclic drive trains. Wayne State University Press, Detroit 13. American Gear Manufacturers Association (AGMA) (1988) AGMA standard 6123-A88. Design manual for enclosed epicyclic metric module gear drives 14. Savage M, Coy J, Townsend DP (1982) Optimal tooth numbers for compact standard spur gear sets. ASME J Mech Des 104:749758 15. Bush GS, Osman MOM, Sankar S (1984) On the optimal design of multi-speed gear trains. Mech Mach Theory 19(2):183195 16. Prayoonrat S, Walton D (1988) Practical approach to optimum gear train design. Comput Aided Des 20(2):8392 17. Wang HL, Wang HP (1994) Optimal engineering design of spur gear sets. Mech Mach Theory