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信号与系统 2 6冲激响应和阶跃响应冲激响应阶跃响应 系统在单位冲激信号作用下产生的零状态响应 称为单位冲激响应 简称冲激响应 一般用h t 表示 一 冲激响应 1 定义 2 一阶系统的冲激响应 3 n阶系统的冲激响应 例2 5 1一阶系统的冲激响应 列系统微分方程 冲激在时转为系统的储能 由体现 t 0时 在非零初始条件下齐次方程的解 即为原系统的冲激响应 齐次方程 特征方程 特征根 求解 下面的问题是确定系数A 求A有两种方法 方法2 奇异函数项相平衡法 定系数A 方法1 冲激函数匹配法求出 定系数A 即 波形 方法1 冲激函数匹配法求 据方程可设 代入方程得 得出 所以 方法2 奇异函数项相平衡原理 代入原方程 整理 方程左右奇异函数项系数相平衡 已知方程 冲激响应 求导 波形 电容器的电流在t 0时有一冲激 这就是电容电压突变的原因 注意 响应及其各阶导数 最高阶为n次 3 n阶系统的冲激响应 1 冲激响应的数学模型 对于线性时不变系统 可以用一高阶微分方程表示 激励及其各阶导数 最高阶为m次 2 h t 解答的形式 设特征根为简单根 无重根的单根 由于及其导数在时都为零 因而方程式右端的自由项恒等于零 这样原系统的冲激响应形式与齐次解的形式相同 例2 5 2 解 求特征根 冲激响应 求系统的冲激响应 将e t t r t h t 带u t 冲击匹配法求0 定系数 代入h t 得 用奇异函数项相平衡法求待定系数 根据系数平衡 得 二 阶跃响应 系统的输入 其响应为 系统方程的右端将包含阶跃函数 所以除了齐次解外 还有特解项 我们也可以根据线性时不变系统特性 利用冲激响应和阶跃响应关系求阶跃响应 系统在单位阶跃信号作用下的零状态响应 称为单位阶跃响应 简称阶跃响应 1 定义 2 阶跃响应与冲激响应的关系 线性时不变系统满足微 积分特性 三 齐次解法求冲激响应 补充 左端最高阶微分中含有 t 项 n 1 阶微分中含有u t 项 可以由此定初始条件 令方程左端系数为1 右端只有一项 t 时 冲激响应为 此方法比奇异函数系数平衡法简单 对于高阶系统更有优越性 例2 5 3 已知系统 求h t 将边界条件代入式 则由系统的线性时不变特性 系统框图 X 求冲激响应的几种方法 方法1 冲激函数匹配法求出跃变值 定系数A 方法2 奇异函数项相平衡法 定系数A 方法3 齐次解法求冲激响应 总结 冲激响应的求解至关重要 冲激响应的定义零状态 单位冲激信号作用下 系统的响应为冲激响应 冲激响应说明 在时域 对于不同系统 零状态情况下加同样的激励 看响应 不同 说明其系统特性不同
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