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文档简介

定积分的概念 a b 原型 求曲边梯形的面积 一 抽象定积分概念现实原型 面积怎么求 元素法 利用元素法的思想求解曲边梯形的面积时 可 概括 分割 取近似 求和 取极限 的步骤 将曲边梯形的底 即 a b 进行分割 用垂直于x轴的直线 第一步分割 曲边梯形的面积的解决思路 取出典型小区域 用矩形面积近似曲边梯形面积 第二步取近似 用矩形面积近似小曲边梯形面积 典型小区域面积 第三步求和 矩形面积和与曲边梯形面积不相等 有误差 将每个小曲边梯形的面积都用矩形近似 并将所有的小矩形面积加起来 第四步取极限 当对曲边梯形底的分割越来越细时 矩形面积之和越近似于曲边梯形面积 二 定积分的定义 定义 以直代曲 求和 积分上限 积分下限 取极限 注意 曲边梯形的面积 曲边梯形的面积的负值 定积分的几何意义 几何意义 例1 解 定理 三 定积分的性质 定理 补充 不论的相对位置如何 上式总成立 定理 积分区间的可加性 定理 对定积分的补充规定 定理 保序性 推论 保号性 定理 有界性 例2 解 定理 绝对值不等式 用保序性证得 定理 积分中值定理 积分中值公式的几何解释 定积分的计算 定积分计算 如何计算定积分 定义很复杂 直接计算很困难 需要转换新的思路 根据几何意义 图不好画 定理 牛顿 莱布尼茨公式 微积分基本定理 微积分基本公式表明 求定积分问题转化为求原函数的问题 注意 例1求 解 提示与分析 先看成不定积分问题 求出原函数 例2 例如 问题 解决方法 利用复合函数 设置中间变量 过程 令 第一换元法 考虑 到底该令哪个式子为u 一定要换积分上 下限 第一换元 凑微分 法常用的几种配元形式 解 例4计算 说明 使用第一换元法的关键在于将 化为 观察重点不同 所得结论形式不同 例5计算 解一 提示与分析 用凑微分法求解 解二 解三 第一类换元法 难求 易求 第二换元积分法 第二类换元法 难求 易求 定积分的第二换元积分法 应用换元公式时要注意 第二换元法 例7计算 解令 如何去掉根式 三角代换 解 例8计算 解
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