初中数学：实际问题与二次 函数-详解与练习(含答案).pdf

初中数学专项训练 实际问题与二次 函数 一 利用函数求图形面积的最值问题 1 围成图形面积的最值 1 只围二边的矩形的面积最值问题 例 1 如图1 用长为18米的篱笆 虚线部分 和两面墙围成矩形 苗圃 1 设矩形的一边长为x 米 面积为y 平方米 求y关于 x的函数关系式 2 当x为何值时 所围成的苗圃面积最大 最大面积是多少 分析 关键是用含x的代数式表示出矩形的长与宽 解 1 设矩形的长为x 米 则宽为 18 x 米 根据题意 得 又 2 中 a 1 0 y有最大值 即当时 故当x 9米时 苗圃的面积最大 最大面积为81平方米 点评 在回扣问题实际时 一定注意不要遗漏了单位 2 只围三边的矩形的面积最值 例 2 如图2 用长为50米的篱笆围成一个养鸡场 养鸡场的一面靠 墙 问如何围 才能使养鸡场的面积最大 分析 关键是明确问题中的变量是哪两个 并能准确布列出函数关系 式 解 设养鸡场的长为x 米 面积为y 平方米 则宽为 米 根据题意 得 又 中 a 0 y有最大值 即当时 故当x 25米时 养鸡场的面积最大 养鸡场最大面积为平方 米 点评 如果设养鸡场的宽为x 上述函数关系式如何变化 请 读者自己完成 3 围成正方形的面积最值 例3 将一条长为20cm的铁丝剪成两段 并以每一段铁丝的长度为周长 做成一个正方形 1 要使这两个正方形的面积之和等于17cm2 那么这段铁丝剪成两段 后的长度分别是多少 2 两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗 若能 求出两段铁丝的 长度 若不能 请说明理由 1 解 设剪成两段后其中一段为xcm 则另一段为 20 x cm 由题意得 解得 当时 20 x 4 当时 20 x 16 答 这段铁丝剪成两段后的长度分别是16厘米 4厘米 2 不能 理由是 设第一个正方形的边长为xcm 则第二个正方形的边长为cm 围成两个正方形的面积为ycm2 根据题意 得 中 a 2 0 y有最小值 即当时 12 5 12 故两个正方形面积的和不可能是12cm2 练习1 如图 正方形EFGH的顶点在边长为a的正方形ABCD的边上 若 AE x 正方形EFGH的面积为y 1 求出y与x之间的函数关系式 2 正方形EFGH有没有最大面积 若有 试确定E点位置 若没有 说明 理由 二 利用二次函数解决抛物线形建筑物问题 例题1 如图 1 是一个横断面为抛物线形状的拱桥 当水面在l时 拱顶 拱桥洞的最高点 离水面2m 水面宽4m 如图 2 建立平面直 角坐标系 则抛物线的关系式是 图 1 图 2 解析 试题分析 由图中可以看出 所求抛物线的顶点在原点 对称轴为y 轴 可设此函数解析式为 y ax2 利用待定系数法求解 试题解析 设此函数解析式为 那么 2 2 应在此函数解析式上 则 即得 那么 考点 根据实际问题列二次函数关系式 练习1 某地要建造一个圆形喷水池 在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子 OA O恰在水面中心 安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水 水流在各个 方向上沿形状相同的抛物线路径落下 且在过OA的任一平面上 抛物线 形状如图 1 所示 图 2 建立直角坐标系 水流喷出的高度y 米 与水平距离x 米 之间的关系是 请回答下列问题 1 柱子OA的高度是多少米 2 喷出的水流距水平面的最大高度是多少米 3 若不计其他因素 水池的半径至少要多少米才能使喷出的水流不至 于落在池外 2 一座桥如图 桥下水面宽度AB是20米 高CD是4米 要使高为3米的船 通过 则其宽度须不超过多少米 1 如图1 若把桥看做是抛物线的一部分 建立如图坐标系 求抛物线的解析式 要使高为3米的船通过 则其宽度须不超过多少米 2 如图2 若把桥看做是圆的一部分 求圆的半径 要使高为3米的船通过 则其宽度须不超过多少米 三 利用抛物线解决最大利润问题 例题1 某市政府大力扶持大学生创业 李明在政府的扶持下投资销售一 种进价为每件20元的护眼台灯 销售过程中发现 每月销售量y 件 与 销售单价x 元 之间的关系可近似的看做一次函数 y 10 x 500 1 设李明每月获得利润为w 元 当销售单价定为多少元时 每月可 获得最大利润 6分 2 如果李明想要每月获得2 000元的利润 那么销售单价应定为多少 元 3分 3 物价部门规定 这种护眼台灯的销售单价不得高于32元 如果李 明想要每月获得的利润不低于2 000元 那么他每月的成本最少需要多 少元 成本 进价 销售量 3分 答案 1 35 2 30或40 3 3600 解析 试题分析 1 由题意得 每月销售量与销售单价之间的关系可近似 看作一次函数 根据利润 定价 进价 销售量 从而列出关系式 2 令w 2000 然后解一元二次方程 从而求出销售单价 3 根据 函数解析式 利用一次函数的性质求出最低成本即可 试题解析 1 由题意得出 当销售单价定为35元时 每月可获得最大利润 2 由题意 得 解这个方程得 x1 30 x2 40 李明想要每月获得2000元的利润 销售单价应定为30元或40元 3 抛物线开口向下 当30 x 40时 W 2000 x 32 当30 x 32时 W 2000 设成本为P 元 由题意 得 k 200 0 P随x的增大而减小 当x 32时 P最小 3600 答 想要每月获得的利润不低于2000元 每月的成本最少为3600元 考点 二次函数的应用 练习1 某玩具批发商销售每只进价为40元的玩具 市场调查发现 若 以每只50元的价格销售 平均每天销售90只 单价每提高1元 平均每 天就少销售3只 1 平均每天的销售量y 只 与销售价x 元 只 之间的函数关系式为 2 求该批发商平均每天的销售利润W 元 与销售只x 元 只 之间的 函数关系式 3 物价部门规定每只售价不得高于55元 当每只玩具的销售价为多 少元时 可以获得最大利润 最大利润是多少元 一系列 三农 优惠政策 使农民收入大幅度增加 某农户生产经销一 种农产品 已知这种产品的成本价为每千克20元 市场调查发现 该产 品每天的销售量y 千克 与销售价x 元 千克 有如下关系 设这种产 品每天的销售利润为w元 1 求w与x之间的函数关系式 2 该产品销售价定为每千克多少元时 每天的销售利润最大 最大 利润是多少元 2 为了落实国务院的指示精神 地方政府出台了 3 某公司营销两种产品 根据市场调研 发现如下信息 信息1 销售种产品所获利润 万元 与所售产品 吨 之间存在二次函数 关系 当时 当时 信息2 销售种产品所获利润 万元 与所售产品 吨 之间存在正比例函 数关系 根据以上信息 解答下列问题 1 求二次函数解析式 2 该公司准备购进两种产品共10吨 请设计一个营销方案 使销售两 种产品获得的利润之和最大 最大利润是多少 4 为鼓励大学毕业生自主创业 某市政府出台了相关政策 由政府协 调 本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售 成本价与出厂 价之间的差价由政府承担 李明按照相关政策投资销售本市生产的一种 新型节能灯 已知这种节能灯的成本价为每件10元 出厂价为每件12 元 每月销售量 件 与销售单价 元 之间的关系近似满足一次函 数 1 李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元 那么政府这个 月为他承担的总差价为多少元 2 设李明获得的利润为 元 当销售单价定为多少元时 每月可 获得最大利润 3 物价部门规定 这种节能灯的销售单价不得高于25元 如果李明 想要每月获得的利润不低于3000元 那么政府为他承担的总差价最少为 多少元 5 某文具店销售一种进价为10元 个的签字笔 物价部门规定这种签字 笔的售价不得高于14元 个 根据以往经验 以12元 个的价格销售 平 均每周销售签字笔100个 若每个签字笔的销售价格每提高1元 则平均 每周少销售签字笔10个 设销售价为x元 个 1 该文具店这种签字笔平均每周的销售量为 个 用含x 的式子表示 2 求该文具店这种签字笔平均每周的销售利润w 元 与销售价 x 元 个 之间的函数关系式 3 当x取何值时 该文具店这种签字笔平均每周的销售利润最大 最 大利润是多少元 6 一汽车租赁公司拥有某种型号的汽车100辆 公司在经营中发现每辆 车的月租金x 元 与每月租出的车辆数 y 有如下关系 x3000320035004000 y100969080 1 观察表格 用所学过的一次函数 反比例函数或二次函数的有关 知识求出每月租出的车辆数y 辆 与每辆车的月租金x 元 之间的关 系式 2 已知租出的车每辆每月需要维护费150元 未租出的车每辆每月需 要维护费50元 用含x x 3000 的代数式填表 租出的车辆数 未租出的车辆数 租出每辆车的月 收益 所有未租出的车辆每月 的维护费 3 若你是该公司的经理 你会将每辆车的月租金定为多少元 才能 使公司获得最大月收益 请求出公司的最大月收益是多少元 初中数学专项训练 实际问题与二次 函数 参考答案 一 1 1 y 2x2 2ax a2 2 有 当点E是AB的中点时 面积最大 解析 本题考查了二次函数的应用 1 先由AAS证明 AEF DHE 得出AE DH x米 AF DE a x 米 再根据勾股定理 求出EF2 即可得到S与x之间的函数关系式 2 先将 1 中求得的函数关系式运用配方法写成顶点式 再根据二 次函数的性质即可求解 解 四边形ABCD是边长为a米的正方形 A D 90 AD a米 四边形EFGH为正方形 FEH 90 EF EH 在 AEF与 DHE中 A D AEF DHE 90 DEH EF EH AEF DHE AAS AE DH x米 AF DE a x 米 y EF2 AE2 AF2 x2 a x 2 2x2 2ax a2 即y 2x2 2ax a2 2 y 2x2 2ax a2 2 x 2 当x 时 S有最大值 故当点E是AB的中点时 面积最大 2 练习1 1 2 3 解析 本题考查了二次函数的应用 1 本题需先根据已知条件把x 0代入抛物线的解析式 从而得出y的 值 即可求出答案 2 通过抛物线的顶点坐标求得 3 本题需先根据已知条件把y 0代入抛物线求出所要求的式子 再得 出x的值 即可求出答案 解 1 把x 0代入抛物线的解析式 得 y 即柱子OA的高度是 2 由题意得 当x 时 y 即水流距水平面的最大高度 3 把y 0代入抛物线 得 0 解得 x1 舍去 不合题意 x2 故水池的半径至少要米才能使喷出的水流不至于落在池外 2 1 10 2 14 5 解析 试题分析 1 利用待定系数法求函数解析式即可 根据题意得 出y 3时 求出x的值即可 2 构造直角三角形利用BW2 BC2 CW2 求出即可 在RT WGF中 由题可知 WF 14 5 WG 14 5 1 13 5 根据勾股定 理知 GF2 WF2 WG2 求出即可 试题解析 1 设抛物线解析式为 桥下水面宽度AB是20米 高CD是4米 A 10 0 B 10 0 D 0 4 解得 抛物线解析式为 要使高为3米的船通过 则 解得 EF 10米 2 设圆半径r米 圆心为W BW2 BC2 CW2 解得 在RT WGF中 由题可知 WF 14 5 WG 14 5 1 13 5 根据勾股定 理知 GF2 WF2 WG2 即GF2 14 52 13 52 28 所以GF 此时宽度EF 米 考点 1 二次函数的应用 2 垂径定理的应用 三 1 1 y 3x 240 2 w 3x2 360 x 9600 3 定价为55元时 可 以获得最大利润是1125元 解析 试题分析 1 根据题意知销售量y 只 与销售价x 元 只 之间的函 数关系式为y 90 3 x 50 3x 240 2 根据 总利润 每件商品的利润 销售量 可知w x 40 y x 40 3x 240 3x2 360 x 9600 3 求获得最大利润 也就是求函数w 3x2 360 x 9600的最大值 试题解析 1 y 90 3 x 50 即y 3x 240 2 w x 40 y x 40 3x 240 3x2 360 x 9600 3 当x 60 y随x的增大而减小 当x 55时 w最大 1125 所以定价为55元时 可以获得最大利润是1125元 考点 1 一次函数 2 二次函数 2 1 2 该产品销售价定为每千克30元时 每天销售利润最 大 最大销售利润200元 解析 试题分析 1 根据销售额 销售量 销售价单x 列出函数关系式 2 用配方法将 2 的函数关系式变形 利用二次函数的性质求最大 值 试题解析 1 由题意得 w与x的函数关系式为 2 2 0 当x 30时 w有最大值 w最大值为200 答 该产品销售价定为每千克30元时 每天销售利润最大 最大销售利 润200元 考点 1 二次函数的应用 2 由实际问题列函数关系式 3 二次函数的 最值 3 见解析 解析 试题分析 1 因为当x 1时 y 1 4 当x 3时 y 3 6 代入 得 解得 所以 二次函数解析式为y 0 1x2 1 5x 2 设购进A产品m吨 购进B产品 10 m 吨 销售A B两种产品获得 的利润之和为W元 根据题意可列函数关系式为 W 0 1m2 1 5m 0 3 10 m 0 1m2 1 2m 3 0 1 m 6 2 6 6 因 为 0 1 0 根据二次函数的性质知当m 6时 W有最大值6 6 试题解析 1 当x 1时 y 1 4 当x 3时 y 3 6 解得 所以 二次函数解析式为y 0 1x2 1 5x 3分 2 设购进A产品m吨 购进B产品 10 m 吨 销售A B两种产品获得 的利润之和为W元 则W 0 1m2 1 5m 0 3 10 m 0 1m2 1 2m 3 0 1 m 6 2 6 6 0 1 0 当m 6时 W有最大值6 6 购进A产品6吨 购进B产品4吨 销售A B两种产品获得的利润之和最 大 最大利润是6 6万元 考点 1 待定系数法求解析式 2 二次函数性质 4 1 政府这个月为他承担的总差价为600元 2 当销售单价定为 30元时 每月可获得最大利润4000 3 销售单价定为25元时 政府 每个月为他承担的总差价最少为500元 解析 试题分析 1 根据每月销售量 件 与销售单价 元 之间的关系 可求得每月销售量 又由单价和成本间关系得到每件节能灯的差价 则 可得到总差价 2 求每月可获得最大利润 即为求该二次函数的最大 值 将二次函数配方法 可得该函数的最大值 3 同时满足 根据函 数图象的性质知道 随的增大而减小 当时 该函数有最大值时 有最 小值500 试题解析 1 当时 政府这个月为他承担的总差价为600元 2 依题意得 当时 有最大值4000 当销售单价定为30元时 每月可获得最大利润4000 3 由题意得 解得 抛物线开口向下 结合图象可知 当时 又 当时 w 3000 设政府每个月为他承担的总差价为元 随