第二类曲线积分.ppt

第十章 第二节 机动目录上页下页返回结束 第二类曲线积分 二 第二类曲线积分的概念与性质 一 向量场 三 第二类曲线积分的计算 一 向量场 机动目录上页下页返回结束 机动目录上页下页返回结束 机动目录上页下页返回结束 画向量场 机动目录上页下页返回结束 机动目录上页下页返回结束 梯度场和保守场 机动目录上页下页返回结束 解 二 对坐标的曲线积分 定向曲线与切向量 定向曲线 带有确定走向的一条曲线 机动目录上页下页返回结束 则L的切向量为 分割 解 机动目录上页下页返回结束 分割 近似 求和 取极限 求变力沿曲线所作的功 利用 近似 例 求变力F沿曲线L所作的功 求和 取极限 机动目录上页下页返回结束 向量形式 坐标形式 则 对坐标的曲线积分的定义 机动目录上页下页返回结束 上式也称为第二类曲线积分的向量形式 机动目录上页下页返回结束 第二类曲线积分也称为向量场的线积分 说明 机动目录上页下页返回结束 基本性质 机动目录上页下页返回结束 性质1 性质2 性质3 第二类曲线积分的坐标表示 设 则 机动目录上页下页返回结束 令 若上式左端的极限存在 则右端的极限也存在 记为 上式右端称为第二类曲线积分的坐标表示 2 若 机动目录上页下页返回结束 上式右端称为第二类曲线积分的坐标表示 则 机动目录上页下页返回结束 三 两类曲线积分之间的关系 证明 于是有 机动目录上页下页返回结束 即 机动目录上页下页返回结束 平面曲线的情况完全类似推导 故 解1 机动目录上页下页返回结束 解2 机动目录上页下页返回结束 解 机动目录上页下页返回结束 于是 四 对坐标的曲线积分的计算 定理 平面曲线的情形 机动目录上页下页返回结束 机动目录上页下页返回结束 证明 机动目录上页下页返回结束 机动目录上页下页返回结束 机动目录上页下页返回结束 注意 a未必小于b 特殊情形 机动目录上页下页返回结束 4 若曲线L的方程为极坐标方程 先化成参数方程 然后用公式计算 定理 空间曲线的情形 机动目录上页下页返回结束 注意 两类曲线积分之间区别 1 第一类曲线积分是数量函数对弧长的积分 第二类曲线积分是向量函数的各分量函数对坐标的积分 2 第一类曲线积分与路径的方向无关 化成定积分时 下限总小于上限 第二类曲线积分与路径的方向有关 方向改变 积分值变号 化成定积分时 下限未必小于上限 机动目录上页下页返回结束 机动目录上页下页返回结束 2 对于第二类曲线积分 当积分弧L是垂直于某坐标轴的直线段AB时 对该坐标的积分为零 即 空间曲线上的第二类曲线积分也有类似的性质 说明 1 在第二类曲线积分中 由于涉及积分曲线的方向问题 因此要慎用对称性 一般情况下 应在曲线积分化为定积分后再考虑能否利用对称性来化简计算 例3 解 原式 机动目录上页下页返回结束 例4 解 机动目录上页下页返回结束 机动目录上页下页返回结束 一般情况下 第二类曲线积分的值 不仅与积分路径的起点或终点有关 而且与积分路经本身有关 即被积函数相同 起点和终点也相同 但路径不同积分结果不同 例3说明 机动目录上页下页返回结束 在有些情况下 第二类曲线积分的值 仅与积分路径的起点或终点有关 而与积分路经本身无关 即被积函数相同 起点和终点也相同 路径不同积分但结果相同 例4说明 例5 求 其中L是双纽线的右半支 逆时针方向 解 L的极坐标方程是 L的参数方程是 机动目录上页下页返回结束 奇函数 例6 求 其中 从z轴正向看为顺时针方向 解 取 的参数方程 机动目录上页下页返回结束 例7 解 动到 向坐标原点 其大小与作用点到xoy面的距离成反比 沿直线移 机动目录上页下页返回结束 例8 解 机动目录上页下页返回结束 如图 则 例9 解 机动目录上页下页返回结束 则在t时刻 单位时间流出的油漆为 1 定义 2 性质 1 L可分成k条有向光滑曲线弧 2 L 表示L的反向弧 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向 内容小结 机动目录上页下页返回结束 3 计算 对有向光滑弧 机动目录上页下页返回结束 若曲线L的方程为极坐标方程 先化成参数方程 然后用公式计算 对空间有向光滑弧 机动目录上页下页返回结束 区别 第一类曲线积分与路径的方向无关 化成定积分时 下限总小于上限 机动目录上页下页返回结束 第二类曲线积分与路径的方向有关 方向改变 积分值变号 化成定积分时 下限未必小于上限 4 两类曲线积分的联系与区别 联系 作业 习题9 2 P250 1 3 6 7 8 2 2 4 3 5 7 第三节目录上页下页返回结束 1 解 机动目录上页下页返回结束 备用题 解 机动目录上页下页返回结束 3 已知 为折线ABCOA 如图 计算 提示 机动目录上页下页返回结束 原点O的距离成正比 4 设一个质点在 处受 恒指向原点 沿椭圆 此质点由点 逆时针移动到 提示 机动目录上页下页返回结束 5 将积分 化为对弧长的积 分 解1 其中L沿上半圆周 机动目录上页下页返回结束 5 将积分 化为对弧长的积 分 解2 其中L沿上半圆周 机动目录上页下页返回结束 6 设在力场 作用下 质点由 沿 移动到 解 1 2 的参数方程为 试求力场对质点所