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第二章投影的基本知识 投影的基本概念及分类正投影法中三面正投影的形成点的投影直线的投影平面的投影几何体的投影识读一面视图几何体的轴测图 在日常生活中 我们看到物体在灯光或阳光照射下 会在墙面或地面上产生影子 这种现象就是自然界的投影现象 如图所示 人们从这一现象中认识到光线 物体 影子之间的关系 归纳出表达物体形状 大小的投影原理和作图方法 投影的基本概念及分类 一是光线能够穿透物体 二是光线在穿透物体的同时能够反映其内部 外部的轮廓 看不见的轮廓用虚线表示 三是对形成投影的射向作相应的选择 以得到不同的投影 1 1 投影 投影法及投影图 形成工程制图所要求的投影 应有三个假设 在制图上 通常把发出光线的光源称为投影中心 把光线称为投影线 把光线射向称为投影方向 将落影的平面称为投影面 构成影子的内外轮廓称为投影 用投影表达物体的形状和大小的方法称为投影法 用投影法画出物体的图形称为投影图 1 2 投影的分类及概念 投影是研究投影线 空间形体 投影面三者关系的 用投影来表示物体的方法称为投影法 投影分为两大类 中心投影法和平行投投影法 1 中心投影法 中心投影法是指 投影线由一点放射出来的投影方法 中心投影法不能正确地度量出物体的尺寸大小 2 平行投影法 当投影中心离开物体无限远时 投影线可看作是相互平行的 投影线为相互平行的投影方法 称为平行投影法 平行投影法有两种 正投影法 斜投影法 正投影法 投影线相互平行且垂直于投影面的投影法 又叫直角投影法如下图 基本性质 显实性 积聚性 类似性 用正投影法画出的物体图形 称为正投影图 正投影图虽然直观性差些 但能反映物体的真实形状和大小 度量性好 作图简便 为工程制图中经常采用的一种主要图示方法 真实性物体上的平面 或直线 与投影面平行时 它的投影反映实形 或实长 返回 斜投影法 投影线相互平行 但倾斜于投影面的投影方法 如图所示 3 各种投影法在建筑工程中的应用 透视投影图透视投影图是运用中心投影的原理 绘制出物体在一个投影面上的中心投影 简称透视图 这种图真实 直观形象逼真 且符合人们的视觉习惯 但绘制复杂 且不能在投影图中度量和标注形体的尺寸 所以不能作为施工的依据 在建筑设计中常用透视图来表示建筑物建成后的外貌以及美术 广告等 如图所示 轴测投影图 轴测投影图是运用平行投影的原理 将物体平行投影到一个投影面上所作出的投影图 简称轴测图 轴测图的特点 作图较透视图简便 容易看懂立体感不如透视图且其度量性差 工程中常用作辅助图样 正投影图 正投影图是运用正投影法将形体向两个或两个以上的互相垂直的投影面进行投影 然后按照一定规则展开在一个平面上所得到的投影图 称为正投影图 正投影图的特点 作图方法简便 能准确地反映物体的形状和大小 便于度量和标注尺寸 缺点是立体感差 不易看懂 标高投影图 标高投影图是标有高度数值的水平正投影图 它是运用正投影原理来反映物体的长度和宽度 其高度用数字来标注 工程中常用这种图示来表示地面的起伏变化 地形 地貌等 作图时常用一组间隔相等而高程不同的水平剖切平面剖切地物 其交线反映在投影图上称为等高线 将不同高度的等高线自上而下投影在水平投影面上时 即得到了等高线图 称为标高投影图 构成物体最基本的元素是点 直线是由点移动形成的 而平面是由直线移动形成的 在正投影法中 点 直线和平面的投影具有以下基本特性 如图所示 1 点的投影仍然是点 2 垂直于投影面的直线 其投影积聚为一个点 如图中直线DE的投影d e 这种特性叫做积聚性 1 3正投影的基本特性 3 平行于投影面的直线 其投影仍为一直线 且投影与空间直线的长度相等 即投影反映空间直线的实长 如图中直线FG的投影fg 4 倾斜于投影面的直线 其投影也为一直线 但投影长度比空间直线短 即投影不反映空间直线的实长 如图中直线HJ的投影hj 5 垂直于投影面的平面形 其投影积聚为一直线 如图中平面形ABDC的投影a c b d 6 平行于投影面的平面形 其投影仍为一平面形 且投影与空间平面的形状和大小一致 即投影反映空间平面的实形 如图中平面形EFGH的投影efgh 7 倾斜于投影面的平面形 其投影也为一平面形 但投影不反映空间平面形的实形 如图中平面形JKMN的投影jkmn 返回 2 三面视图 2 1 1 三面投影体系的建立三面投影体系是由三个互相垂直的平面V H W构成 其中 V面称为正立投影面 H面称为水平投影面 W面称为侧立投影面 OX V H OY H W OZ V W 称为投影轴 O V H W 称为三面投影体系的原点 2 1 2 三视图的形成 1 投影的形成 将物体置于三面体系中 再用正投影法将物体分别向V H W投影面进行投射 即得到物体的三个投影 将物体在V面的投影称为正面投影 在H面的投影称为水平投影 在W面的投影称为侧面投影 投影中物体的可见轮廓用粗实线表示 不可见轮廓用虚线表示 2 2三视图的特性 1 三视图之间的相等关系一般将物体X方向定义为物体的 长 Y方向定义为物体的 宽 Z方向定义为物体的 高 主视图和俯视图同时反映了物体的长度 故两个视图长要对正 主视图与左视图同时反映了物体的高度 所以两个视图横向要对齐 俯视图与左视图同时反映了物体的宽度 故两个视图宽要相等 即 1 主 俯视图长对正 2 主 左视图高平齐 3 俯 左视图宽相等 2 3 三视图和物体之间的关系 三视图和物体之间的以下关系 1 主视图反映了物体长和高两个方向的形状特征 上 下 左 右四个方位 2 俯视图反映了物体长和宽两个方向的形状特征 左 右 前 后四个方位 3 左视图反映了物体宽和高两个方向的形状特征 上 下 前 后四个方位 三视图的画法 笔 粗实线矩形笔 其余园锥形笔 画法说明 1 同一张图样中 同类图线的宽度应基本一致 2 虚线 点划线相交时 应使两小段相交 3 两直线相交处要避免间隙或线段出界 4 两线相切的切点处 应画成一条线粗 2 投影面的展开 将物体从三面体系中移开 令正立投影面V保持不动 水平投影面H绕OX轴向下旋转90 侧立投影面W绕OZ轴向右旋转90 使V H W三个投影面展开在同一平面内 选择主视图 画图步骤 a 确定画图比例和图纸幅面根据所画物体的大小和复杂程度选用 b 布置视图位置主视图确定之后 其他两个视图也就相应地确定了 选择表现形态结构最多的面 同时兼顾其他两个视图虚线尽量少 注意 考虑到尺寸布置的需要 可适当加大各视图之间的距离 d 画底稿用稍硬的铅笔 2H铅笔 画图顺序 为由大到小 由外形到内形及3个视图配合作图 使每个部分符合 长对正 高平齐 宽相等 的投影规律 e 检查和描深底稿完成后 按原画图顺序仔细检查 纠正错误和补充遗漏 用HB或B铅笔按标准线描出各线条 c 在图纸上画出各视图的中心线 对称线 轴线及其他基准线 画图时应注意的问题 1 先画主体部分 后画次要部分 2 几个视图要配合着画 不要先画完一个视图 再画另一个视图 3 各部分之间画出分界线 4 描深时先画圆或圆弧 后画直线 不可见部分用虚线画出 对称线 轴线和圆的中心线均用点划线画出 3 点的投影 3 1点在两投影面体系中的投影若空间A B两点位于同一条投射线上 则我们不能根据其单面投影来确定它们的空间位置 要解决这个问题必须采用多面投影 现取V面和H面构成两投影面体系 V面和H面将空间分成四个分角 第一分角 第二分角 第三分角 第四分角 空间点A点位于V H二面投影体系中 过点A分别向V面和H面作垂线 得垂足a a a 和a分别称为点A的正面投影和水平投影 保持V面不动 将H面绕OX轴向下旋转至与V面重合 这样就得到点A的投影图 在实际画图时 不画出投影面的边框 由此可概括点的投影特性如下 1 点的两投影连线垂直于投影轴 即a a OX 2 点的投影到投影轴的距离等于该点到相邻投影面的距离 即aax Aa a ax Aa 3 2点在三投影面体系中的投影 三投影面体系的建立如图所示 空间点A位于V面 H面和W面构成的三投影面体系中 由点A分别向V H W面作正投影 依次得点A的正面投影a 水平投影a 侧面投影a 为使三个投影面展到同一平面上 现保持V面不动 使H面绕OX轴向下旋转到与V面重合 使W面绕OZ轴向右旋转到与V面重合 这样得到点的三面投影图所示 在实际画图时 不画出投影面的边框所示 在这里值得注意的是 在三面体系展开的过程中 Y轴被一分为二 Y轴一方面随着H面旋转到YH的位置 另一方面又随W面旋转到YW的位置 点ay因此而分为ayH H和ayw W 正面投影和水平投影 正面投影与侧面投影之间的关系符合两面体系的投影规律 a a OX a a OZ 点的水平投影与侧面投影均反映到V面的距离 由此概括出点在三投影面体系的投影规律 1 点的水平投影与正面投影的连线垂直于OX轴 即a a OX 2 点的正面投影和侧面投影的连线垂直于OZ轴 即a a OZ 3 点的水平投影到OX轴的距离等于点的侧面投影到OZ轴的距离 即aax a az 3 3点的投影与坐标 因此三投影面体系是直角坐标系 则其投影面 投影轴 原点分别可看作坐标面 坐标轴及坐标原点 这样 空间点到投影面的距离可以用坐标表示 点A的坐标值唯一确定相应的投影 点A的坐标 x y z 与点A的投影 a a a 之间有如下的关系 1 点A到W面的距离等于点A的x坐标 aza ayHa a A X 2 点A到H面的距离等于点A的z坐标 axa aza a A Y 3 点A到V面的距离等于点A的y坐标 axa aywa aA Z 因为每个投影面都可看作坐标面 而每个坐标面都是由两个坐标轴决定的 所以空间点在任一个投影面上的投影 只能反映其两个坐标 即 V面投影反映点的X Z坐标 H面投影反映点的X Y坐标 W面投影反映点的Y Z坐标 如图所示 点A V面 它的一个坐标为零 在V面上的投影与该点重合 在其它投影面上的投影分别落在相应的投影轴上 投影轴上的点有两个坐标为零 在包含这条投影轴的两个投影面上的投影均与该点重合 另一投影落在原点上 3 4两点的相对位置 3 4 1 两点的相对位置空间两点的左右 前后和上下位置关系可以用它们的坐标大小来判断 规定X坐标大者为左 反之为右 Y坐标大者为前 反之为后 Z坐标大者为上 反之为下 由此可知图中的点A与点B相比 A在左 前 下的位置 而B则在点A的右 后 上方 3 4 2 重影点 如图所示 A B两点位于垂直于V面的同一投射线上 这时a b 重合 A B称之为对V的重影点 同理可知对H及对W的重影点 对V的一对重影点是正前 正后方的关系 对H的一对重影点是正上 正下方的关系 对W的一对重影点是正左 正右方的关系 其可见性的判断依据其坐标值 X坐标值大者遮住X坐标值小者 Y坐标值大者遮住Y坐标值小者 Z坐标值大者遮住Z坐标值小者 被遮的点一般要在同面投影符号上加圆括号 以区别其可见性 如 b 4 直线的投影 两点决定一直线 求直线的投影 只要确定直线上两个点的投影 然后将其同面投影连接 即得直线的投影 4 1直线的投影特性 直线的投影特性是由其对投影面的相对位置决定的 直线相对投影面的位置有三种情况 垂直于某一投影面 且与另两投影面平行的直线 称为投影面垂直线 平行于某一投影面 且与另两投影面倾斜的直线 称为投影面平行线 对三个投影面均倾斜的直线 称为一般位置直线 空间直线与投影面H V和W之间的倾角分别用 表示 4 1 1 投影面垂直线投影面的垂直线分为三种 垂直于H面的直线称为铅垂线垂直于V面的直线称为正垂线垂直于W面的直线称为侧垂线 投影特性 1 ab积聚成一点2 a b OX a b OYW3 a b a b AB 1 铅垂线 垂直于水平投影面的直线 从属于V投影面的铅垂线 从属于V面的直线 2 正垂线 垂直于正面投影面的直线 投影特性 1 a b 积聚成一点2 ab OX a b OZ3 ab a b AB 从属于OX轴的直线 4 1 2 投影面平行线投影面的平行线分为三种 仅平行于H面的直线称为水平线仅平行于W面的直线称为侧平线仅平行于V面的直线称为正平线 1 水平线 只平行于水平投影面的直线 投影特性 1 a b OX a b OYW2 ab AB3 反映 角的真实大小 2 正平线 只平行于正面投影面的直线 投影特性 1 ab OX a b OZ2 a b AB3 反映 角的真实大小 3 侧平线 只平行于侧面投影面的直线 投影特性 1 a b OZ ab OYH2 a b AB3 反映 角的真实大小 4 1 3 般位置直线 一般位置直线与投影面即不平行也不垂直 它的三个投影均与轴倾斜 显然它的投影均小于其真实长度 一般位置直线的投影既不反映其实长 也不反映与投影面倾角的真实大小 其实长和倾角可用直角三角形法来求出 二 一般位置直线 投影特性 1 ab a b a b 均小于实长2 ab a b a b 均倾斜于投影轴3 不反映 实角 1 求直线的实长及对水平投影面的夹角 角 zA zB 一般位置线段的实长及其与投影面的夹角 2 求直线的实长及对正面投影面的夹角 角 yA yB yA yB 3 求直线的实长及对侧面投影面的夹角 角 4 2直线上的点 直线上的点具有两个特性 1 从属性若点在直线上 则点的各个投影必在直线的各同面投影上 2 定比性属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比 即AC CB ac cb a c c b a c c b 4 3两直线的相对位置 空间两直线的相对位置可以分为三种 平行 相交 交叉 1 平行两直线若要在投影图上判断两条一般位置直线是否平行 只要看它们的两个同面投影是否平行即可 但对于投影面的平行线 则必须根据其三面投影 或其它的方法 来判别 2 相交两直线3 交叉两直线交叉直线在空间不相交 然而其同面投影可能相交 这是由于两直线上点的同面投影重影所致 两直线平行 1 若空间两直线相互平行 则它们的同名投影必然相互平行 反之 如果两直线的各个同名投影相互平行 则此两直线在空间也一定相互平行 2 平行两线段之比等于其投影之比 返回 两直线相交 当两直线相交时 它们在各投影面上的同名投影也必然相交 且交点符合空间一点的投影规律 反之亦然 返回 两直线交叉 凡不满足平行和相交条件的直线为交叉两直线 返回 4 4直角的投影 空间两直线垂直相交 如果两直线均平行于某一投影面 则在该投影面上的投影反映直角 如果正交的两直线与投影面均不平行 则在该投影面上的投影不反映直角 如果正交的两直线中有一条直角边平行于某一投影面 另一边不垂直于该投影面 则在该投影面上的投影为直角 直角的这一投影性质称为直角投影定理 直角投影定理 定理两直线在空间互相垂直 若其中一条直线平行于某投影面 则两直线在该投影面上的投影反映直角 AB垂直于AC 且AB平行于H面 则有ab ac 返回 5 平面的投影 5 1 平面的表示法5 1 1 几何元素表示法根据三点确定一平面的性质可知 平面可用以下元素表示 不在同一直线上的三点 一直线和直线外一点 相交两直线 平行两直线 任意平面图形 三角形等 平面的表示法 不在同一直线上的三个点 直线及线外一点 两平行直线 两相交直线 平面图形 返回 5 1 2 迹线表示法平面与投影面的交线 称为平面的迹线 平面P与V H W面的交线依次称为之P平面的正面迹线 水平迹线和侧面迹线 分别用PV PH和PW标注 由于迹线是投影面上的直线 它的一个投影与其自身重合 它的另外两个投影分别落在相应的投影轴上 不需画出 如图3 23所示 5 2平面的投影特性 平面的投影特性是由其对投影面的相对位置决定的 平面对投影面的相对位置可以分为三种 投影面垂直面 投影面平行面和一般位置平面 平面对投影面H V W的倾角依次用 和 表示 平面的投影特性 实形性 类似性 积聚性 平面对一个投影面的投影特性 5 2 1 投影面垂直面 投影面的垂直面是指垂直于一个投影面 而与其它投影面倾斜的平面 正垂面 铅垂面 侧垂面 1 在所垂直的投影面上的投影 为倾斜于相应投影轴的直线 有积聚性 它和相应投影的夹角 即平面对相应投影面的倾角 2 平面多边形的其余投影均为类似形若三投影中有一个投影是与轴倾斜的直线 另两投影相仿 则它一定是投影面的垂直面 5 2 2 投影面平行面 投影面平行面是指平行于某一投影面且同时垂直于另两投影面的平面 它分为正平面 V面 水平面 H面 和侧平面 W面 三种 根据正投影的性质 可知它的一个投影反映实形 而另两个投影积聚成一条垂直与同一投影轴的直线 投影面的平行面的投影特性 1 在所平行的投影面上的投影表达实形 2 其余投