高等代数10群,环和域简介

第十章群 环和域简介 10 1群 10 2剩余类加群 10 3环和域 令 是一个非空集合 它带有一个代数运算 叫做乘 对于任意 a b G G 有G中唯一确定的元素 记作ab 与它对应 叫做a与b的积 如果下列条件被满足 那么就说G关于这个乘法作成一个群 1 对于任意a b c G都有 ab c a bc 2 在G中存在一个元素e 叫做G的单位元 它具有性质 对于任意a G ea ae a 群 定义1 3 对于G的每一个元素a 存在G的一个元素a 1 使得 a 1a aa 1 e a 1叫做a的逆元 一个群的单位元是唯一的 群中每一个元素a的逆元是由a唯一确定的 令Q 是全体正有理数所成的集合 Q 对于数的乘法作成一个群 同样 全体正实数所成的集合R 对于数的乘法作成一个群 例1 定理10 1 1 设a1 a2 an是一个群G中任意n n 1 个元素 只要不调换这n个元素的先后次序 用任何一种加括号的方式作乘法所得的结果都相等 设G是一个阿贝尔群 G的任意n n 1 个元素a1 a2 an的乘积a1a2 a3里 因子的次序可以任意调换 一个数域F上的向量空间V对于向量的加法来说作成一个群 例2 定理10 1 2 定理10 1 3 群G的满足下列条件的非空子集H叫做G的一个子群 定义2 任意群G本身和只含单位元e的子集 e 显然是G的子群 称作G的平凡子群 1 如果a H b H 那么ab H 2 如果a H 那么a 1 H 例3 设f GH是一个群同态 设G和H是群 f GH是一个映射 如果对于G的任意元素a b 都有 定义3 f ab f a f b 那么称f是一个同态映射 1 Imf是H的一个子群 Kerf是G的一个子群 2 F是群同构当且仅当Imf H而Kerf eG 这里eG是G的单位元 3 如果f是群同构 那么f 1 HG也是群同构 定理10 1 4 剩余类和群 定理10 2 1 设n是一个正整数 i 以n为模的剩余类C0 C1 Cn 1都是Z的非空子集 ii 每一个整数一定属于且只属于一个上述剩余类 因而这n个剩余类两两不相交 并且Z C0 C1 Cn 1 iii 两个整数x与y属于同一个剩余类必要且只要x y modn 定理10 2 2 Zn对于如上所定义的加法来说作成一个阿贝尔群 环和域 定义1 设R是一个非空集合 R带有两个运算 分别叫做加法和乘法 如果下列条件被满足 就称R是一个环 1 R对于加法来说作成一个阿贝尔群 2 R的乘法满足结合律 对于R中任意元素 a b和c 等式 ab c a bc 成立 3 加法与乘法由分配律联系着 对于R中任意元素a b和c等式a b c ab ac b c a ba ca成立 定理10 3 1 设R是一个环 i 对于任意a1 a2 an b R b a1 a2 an ba1 ba2 ban a1 a2 an b a1b a2b anb ii 对于任意a b c R a b c ab ac b c a ba ca iii 对于任意a R 0a a0 0 iv 对于任意a b R a b a b ab a b ab 定义2 若是在一个环R里 a 0 b 0但ab 0 我们就说 a是R的一个左零因子 b是R的一个右零因子 一个环的左零因子和右零因子都叫这个环的零因子 定理10 3 1 以下两个条件对于一个环R来说是等价的 i R没有零因子 ii 在R中消去律成立 ab ac且a 0 b c ba ca且a 0 b c 定理10 3 3 在一个有单位元的环里 全体可逆元对与环的乘法来说作成一个群 定义3 设F是一个有单位元1 0的交换环 如果F的每一个非零元素都是可逆元 那么就称F是一个域 定理10 3 4 设n是一个正整数 Zn是以n为模的剩余类环 i 如果n是一个合数 那么Zn有零因子 ii 如果n是一个素数 那么Zn是一个域 定义4 设F是一个域 使得p1 0的最小正整数p叫做域F的特征 如果不存在正整数p 使得p1 0 那么就说域F的特征是零 定理10 4 5 设F是一个域 i 如果charF 0 那么对于F中任意非零元素a和n Z na 0 n 0 ii 如果charF p 0 那么对于F的任意非零元素a 和n Z na 0 p n 定理10 4 6 设F是一个特征为素数p的域 在F里以下等式成立 x y p xp yp x y F 定义 环R的一个满足以下条件的子集S叫做R的一个子环 i S对于R的加法来说作成加法群R的一个子群 ii 如果a b S 那么ab S 域F的一个满足以下条件的子集K叫做F的一个子域 i K不只含有一个元素 ii K是F的一个子环 iii 如果a K且a 0 那么a 1 K 定义 设R和R 都是环 或域 f R