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文档简介

4 最小二乘原理 1 最小二乘法原理 n次重复测量 x1 x2 xn 最佳估计 残差平方和最小 残差平方和最小 4 1经典最小二乘法 一 两个未知量情况 注意到方程组形式上有如下特点 1 沿主对角线分布着平方项系数 2 以主对角线为对称线 对称分布的各系数彼此两两相等 都为正数 例4 1在不同温度下 测定铜捧的长度如下表 试估计 时的铜棒长度和铜的线膨胀系数 二 T个未知量的情况 解列出误差方程 式中 在温度 下铜捧长度的测得值 铜棒的线膨胀系数 为两个待求估计参数 则误差方程可写为 令 根据误差方程 我们可列出正规方程 又 将以上计算的相应系数值代入上面的正规方程得 解得 即 因此铜棒长度随温度的线性变化规律为 三 不等精度测量线性参数最小二乘法处理 不等精度误差方程转化为等精度误差方程为 例4 2已知测量方程 对 的测量数据及其相应的标准差为 试列出最小二乘估计的正规方程 解列出残余误差方程 确定各测量数据的权 根据误差方程及各测量数据的权 我们写出正规方程 式中 则正规方程为 四 非线性参数最小二乘法 非线性转化为线性 为获得非线性函数的展开式 必须首先确定待求估计量的近似值 其方法有二个 1 直接测量 若条件允许 可直接测量待求量 2 利用部分方程式进行计算 即可作为其近似值 所得结果 例4 3将下面的非线性残余方程组化成线性的形式 取方程组中前二式 令 则可得 与 的近似值 即 处展开 取一次项 有 将函数在 代入残差方程 得线性残差方程 五 对同一量重复测量数据的最小二乘法 4 2精度估计 一 测量数据的精度估计 1 等精度测量数据的精度估计 例4 4试求例4 1中铜棒长度的测量精度 解已知残余误差方程 可得残余误差为 则标准差为 2 不等精度测量数据的精度估计 二 最小二乘估计量的精度估计 1 等精度测量时最小二乘估计量的精度估计 标准差为 式中 测量数据的标准差 2 不等精度测量的情况 不等精度测量的情况与等精度的类似 例4 5试求例4 1中铜棒长度和线膨胀系数估计量的精度 解已知正规方程为 测量数据 的标准差为 求解不定乘数的方程为 解得 估计量的标准差为 因 故 例4 6已知 测得 的值为 并已知 试用最小二乘法求 及其误差 解第一步 残余误差方程组 已知 代入上式得 第二步 正规方程 则 解得 第三步 测量数据精度估计 则测量数据标准差为 第四步 估计量精度估计求解不定乘数 解得 则估计量的标准差为 4 3矩阵最小二乘法 一 线性模型 二 最小二乘法解 1 等精度情况下的矩阵形式的正规
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