《隐函数求导》PPT课件.ppt

9 4内容回顾 1 复合函数求导的链式法则 连线相乘 分线相加 单路求导 叉路偏导 例如 2 全微分形式不变性 不论u v是自变量还是因变量 2 第九章 一 一个方程所确定的隐函数及其导数 二 方程组所确定的隐函数组及其导数 9 5隐函数的求导方法 本节讨论 1 方程在什么条件下才能确定隐函数 例如 方程 当C 0时 能确定隐函数 当C 0时 不能确定隐函数 2 给出方程 组 能确定隐函数的条件 及连续性 可微性 及求导公式的推导 一 一个方程所确定的隐函数及其导数 定理1 设函数 则方程 单值连续函数y f x 并有连续 隐函数求导公式 定理证明从略 仅就求导公式推导如下 具有连续的偏导数 的某邻域内可惟一确定一个 在点 的某一邻域内满足 满足条件 导数 偏连 非空 非零 关于因变量 两边求微分 在 的某邻域内 若F x y 的二阶偏导数也都连续 二阶导数 则还有 不必记此公式 例1 验证方程 在点 0 0 某邻域 可确定一个单值可导隐函数 解 令 连续 由定理1可知 导的隐函数 则 在x 0的某邻域内方程存在单值可 且 并求 偏连 非空 非零 两边对x求导 两边再对x求导 令x 0 注意此时 导数的另一求法 利用隐函数求导 定理2 若函数 的某邻域内具有连续偏导数 则方程 在点 并有连续偏导数 定一个单值连续函数z f x y 定理证明从略 仅就求导公式推导如下 满足 在点 满足 某一邻域内可惟一确 偏连 非空 非零 两边求微分 所以 例2 设 解法1利用隐函数求导 解法2利用公式 设 则 下同 例3 设F x y 具有连续偏导数 解法1利用偏导数公式 确定的隐函数 则 已知方程 故 对方程两边求微分 解法2微分法 二 方程组所确定的隐函数组及其导数 隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形 由F G的偏导数组成的行列式 称为F G的雅可比 Jacobi 行列式 以两个方程确定两个隐函数的情况为例 即 关于u v 记为 定理3 的某一邻域内具有连续偏 设函数 则方程组 的单值连续函数 且有偏导数公式 在点 的某一邻域内可惟一确定一组满足条件 满足 导数 关于u v 偏连 非空 非零 定理证明略 仅推导偏导数公式如下 有隐函数组 则 两边对x求导得 设方程组 在点P的某邻域内 故得 系数行列式 同样可得 例4 设 解 方程组两边求微分得 求 设 解得 所以 例5 设函数 在点 u v 的某一 1 证明函数组 x y 的某一邻域内 2 求 解 1 令 对x y的偏导数 在与点 u v 对应的点 邻域内有连续的偏导数 且 惟一确定一组单值 连续且具有 连续偏导数的反函数 P88例4 反函数组 原函数组两边求微分得 则有 由定理3可知结论1 成立 2 求反函数的偏导数 从方程组 解出 1 偏连 2 非空 3 非零 则得u v的偏导数 例6 P8911 由方程 确定 f F均具有一阶连续偏导数 证明 证法一 两边求微分得 两边求微分得 2 并解出 例6 P8911 由方程 确定 f F均具有一阶连续偏导数 证明 证法二 x 为由 确定的隐函数 内容小结 1 隐函数 组 存在定理 2 隐函数 组 求导方法 方法1 利用复合函数求导法则直接计算 方法2 利用微分形式不变性 方法3 代公式