《静态电磁场静电场》PPT课件.ppt

2 6镜像法 镜像法的实质是以一个或多个位于场域边界外虚设的镜像 等效 电荷替代实际边界上未知的较为复杂的电荷分布 将原来具有边界的非均匀空间变换成无限大均匀媒质的空间 从而使计算过程得以简化 根据唯一性定理可知 这些等效电荷的引入必须维持原问题边界条件不变 以保证原场域中的静电场分布不变 通常这些等效电荷位于镜像位置 故称镜像电荷 由此构成的分析方法即称为镜像法 2 6 1对无限大接地导电平面的镜像 点电荷情况 设有一点电荷q位于距无限大接地导电平面上方h处 其周围介质的介电常数为 如图所示 显然 电位函数在场域内满足如下边值问题 2 0 除去点电荷所在点 边界条件为 z 0 0 a 无限大接地导电平面上的点电荷 b 点电荷的镜象图点电荷对无限大接地导电平面的镜象 可以设想 在场域边界外引入一个与点电荷q呈镜像对称的点电荷q q 并将原来的导体场域由介电常数为 的介质所替换 这样 原场域边界面 z 0 上的边界条件 0保持不变 而对应的边值问题被简化为同一均匀介质 空间内两个点电荷的电场计算问题 根据唯一性定理可知 其解答有效区域仅限于图示上半部分介质场域 应用镜像法 得待求电位为 无限大接地导电平面上的感应电荷的面密度分布为 式中负号表示感应电荷与点电荷q的极性相反 对感应电荷作面积分 得 上式表明镜象电荷q 确实等效了无限大接地导电平面上的全部感应电荷 此外 上述方法很容易推广到图示的由半无限大导电平面形成的劈形边界且其夹角为 的整数分之一的情况 如图所示夹角为 3的导电劈可以引入5个镜象电荷 以保证劈形边界电位为零的边界条件 线电荷情况 图示线电荷 及其镜像电荷如图示 由高斯定理得P点的电场强度为 现任取Q点为电位参考点 则P点电位为 设在无限大接地导电平面上 即 1 2时 0 即电位参考点Q应选在接地导电平面上 所以C 0 由上式 场中任意点电位为 由上式 可以进一步获得其等位线分布 按等位线定义有 2 1 K 平方得 对于每个等位圆轨迹而言 圆半径a 圆心到原点的距离h和线电荷至原点的距离b三者间关系为 显然 上式为直角坐标系中圆的方程 所以在xoy平面上 等位线分布是如图虚线所示的一簇圆 对应于某一给定的K值 圆心坐标是 整理 得 图一对线电荷 的电场 圆半径是 h2 a2 b2 亦即 a2 h2 b2 h b h b 这表明 两线电荷 位置对每个等位圆的圆心来说 满足圆的几何上反演的关系 此外 当P点位于y轴右侧时 因 2 1 K 1 P皆为正值 当P点位于y轴左侧时 则 P皆为负值 2 6 3 电轴法 两半径相同的圆柱导体电场 基于线电荷对无限大接地导电平面的镜像分析 我们可以进而讨论两同半径 带有等量异号电荷的平行长直圆柱导体间的电场问题 此时 尽管圆柱导体表面电荷面密度不是常量 但沿轴向单位长电荷分布 线密度 是相同的 圆柱导体表面为等位面 若设想圆柱导体表面与线电荷对应的等位面重合 即可以用等效线电荷计算圆柱导体外的电场分布 该线电荷就是圆柱导体表面电荷的等效电荷 如图所示 为表述方便 成这个线电荷为圆柱导体的等效电轴 这种方法称为电轴法 设圆柱导体半径为a 间距为2h 电轴间距为2b 三者之间的关系为 例1 半径为a的传输线平行于地面 传输线轴心对地高度为h 对地电位为U0 如图所示 试求 1 大地上方传输线的电场 2 场域最大电场场强的位置及其数值 解 1 首先 由电轴法确定电轴的位置 得 大地上方任意场点P处的电位为 由传输线表面点A的电位U0 得 大地上方任意场点P处的电位为 2 显然 最大场强将出现在导线相距地面最近处 即点A处 有 两半径不同的圆柱导体电场 如图所示 设两平行长直圆柱导体半径分别为a1和a2 对于图 a 其轴心距d h1 h2 对于图 b 其轴心距为d h2 h1 设a2 a1 可以应用电轴法计算这两种情况的电场问题 其关键问题仍然是确定等效电轴的位置 显然 h12 b2 a12 h22 b2 a22 d h2 h1 已知a1 a2和d 联立求解上式三个方程得 2 6 4 对无限大介质平面的镜像 点电荷情况 对于图示无限大介质平面上的点电荷边值问题也可采用镜像法 上下半无限空间中的电场是由点电荷q及其分界面上的束缚电荷共同产生的 对于介质为 1的上半空间的电场计算 可归结为图b中的两点电荷q和q 的合成电场 对于介质为 2的下半空间的电场计算 可归结为图c中的q 电场分析 镜象电荷q 和q 的量值 可以通过分界面上的边界条件确定如下 a 无限大介质平面上的点电荷 b 上半空间电场计算的镜象 c 下半空间电场计算的镜象 图无限大介质平面镜像 对于分界面上任意点P 由其上的边界条件E1t E2t和D1n D2n 得 解得 对于线电荷 与无限大介质平面系统的电场 可类比推得 2 6 5对导体球的镜像 导体球接地情况 如图所示 设导体球半径为a 点电荷q至球心距为d 设等效导体球表面感应电荷的镜象电荷为 q 且位于球内的球心与点电荷的连线上 其到球心的距离为b 在导体球表面上任取一点P 得 整理 得 q2 a2 b2 q 2 a2 d2 2a q 2d q2b cos 0 上式对于任意的 值恒成立 故有 解得 可以看出 点电荷q和其镜象电荷 q 的位置 满足球反演的几何关系 根据q及 q 即可方便地计算点电荷在接地导体球外的电场分布 可以证明 接地导体球面上感应电荷的总量等于 q 导体球不接地情况 不接地金属球镜像 点q之外区域 球面等位 位于球心 通量为零 和大小相等 例2 图示为半径为a的接地导体球壳外置有一沿直径方向的线段电荷 线段的一端距球心为d 求导体球壳上总的感应电荷 解 应用点电荷对接地导体球的镜像 有 图线段电荷的镜像 元电荷为 dt 元电荷的位置为d t 镜像元电荷为 dx a dt d t 镜像元电荷的位置为a2 d t 所以 导体球壳上总的感应电荷为 同理 对呈电性的不接地导体球和位于导体球腔内的点电荷的电场计算问题 也可以应用镜像法进行计算 镜像法 电轴法 的理论基础是 镜像法 电轴法 的实质是 镜像法 电轴法 的关键是 镜像电荷 电轴 只能放在待求场域以外的区域 叠加时 要注意场的适用区域 用虚设的镜像电荷 电轴 替代未知电荷的分布 使计算场域为无限大均匀媒质 静电场唯一性定理 确定镜像电荷 电轴 的个数 大小及位置 应用镜像法 电轴法 解题时 注意 试确定下图镜像电荷的个数 大小与位置 点电荷对导体球面的镜像 试用镜像法求解下列问题 确定镜像电荷的个数 大小与位置 2 8电容与部分电容 电容或部分电容是导体系统的重要的集总电气参数 是在电网络中电容元件的重要参数 也是导体系统静电场的集总体现 一般而言 需要借助于电场分析来计算 1 两导体的电容 一般两导体电容的计算过程为 给定两导体携带的电荷 q计算其电场分布和其间电位差U或给定两导体间电位差U 通过计算其电场分布和其携带的电荷 q 最后按定义计算电容C q U 例1 两半径为a 轴心距为d的平行长直圆柱导体构成一对均匀传输线 试求其单位长电容 解 应用电轴法 令h d 2 首先确定电轴位置 基于电轴法的分析结果 两导体表面最近距离对应的点A1 h a 0 和点A2 h a 0 的电位差为 从而 均匀传输线的单位长度电容 通常有h a 此时b h 故 此外 对于h a的情况 也可以采用高斯定理计算 设均匀传输线单位长线电荷密度为 则两导体轴心连线上距带正电荷导体x处的电场强度为 两导体间的电位差为 显然 有上式计算的电容与电轴法获得的结果相同 从本例电容表达式可以看出 电容与导体之间施加的电压或携带的电荷量无关 只与导体的形状 相互位置和电介质有关 是导体系统自身固有电气参数 2 部分电容 对于多导体需要引入部分电容概念 静电独立系统 系统的电场分布只与系统内各带电导体的形状 相互位置和电介质的分布有关 而与系统外的带电导体无关 并且所有电位移通量全部从系统内的带电导体发出又全部终止于系统内的带电导体 现考察由 n 1 个导体组成的静电独立系统 令各导体按0 n顺序编号 其相应的带电量分别为q0 q1 qk qn 由定义 知 q0 q1 qk qn 0 选0号导体为电位参考点 即 0 0 应用叠加原理 可得各个导体电位与各个导体上电荷的关系为 写成矩阵形式 为 q 式中 系数 ij称为电位系数 其涵义不难从以下定义式得到理解 式中 ii称为自有电位系数 ij i j 称为互有电位函数 显然 电位系数只与导体的形状 相互位置以及电介质的介电常数有关 当给出各个导体的电位时 有前式 得 q 1 或 式中 系数 ij称为感应系数 与电位系数之间的关系为 式中 是 行列式 Aji是相应的代数余子式 ii称为自有感应系数 ijj i j 称为互有感应系数 即 显然 感应系数也只和导体的形状 相互位置以及介质的介电常数有关 为用电网络方法分析导体系统的电气行为 一般将电荷与电位的关系表达为如下形式的电荷与电压的关系 称上式中的系数Cij为导体系统的部分电容 对比两种表达形式 可知 Ci0 i1 i2 ii in Cij ij i j 式中 Ci0称为导体i的自有部分电容 即各导体与参考导体 电位参考点导体 之间的部分电容 Cij称为导体i和导体j互有部分电容 即相应的两个导体间的部分电容 显然 Cij Cji 如图给出了三导体系统的部分电容 静电独立系统中n 1个导体有个部分电容 部分电容是否为零 取决于两导体之间有否电力线相连 部分电容可将场的概念与电路结合起来 我们既可以利用电场计算的方法计算电位系数 ij或感应系数 ij并按上述定义计算部分电容Cij 也可以通过实验方法通过测量感应系数 ij或直接测量部分电容的线性组合来计算部分电容 例试计算考虑大地影响时 两线传输线的部分电容及等效电容 已知d a 且a h 两线输电线及其电容网络 由对称性可知 令 2 两线输电线对大地的镜像 两导体的电位 两线间的等效电容 等效电容 是指在多导体静电独立系统中 把两导体作为电容器的两个极板 设在这两个电极间加上电压 极板上所带电荷与电压的比值 可由电路求输入端等值电容方法来计算 两线输电线及其电容网络 3 静电屏蔽 静电屏蔽在程中有重要的用途 仅举一例来阐述其原理 设带电的电气设备以导体1表示 带电荷为q1 且被置于接地导体薄壳2中 它们与邻近的导体3一起组成三导体系统 如图所示 显然 2 0 0 有 上式在任何情况下均应成立 设q1 0 即导体1不带电 此时导体2内部为等电位区 得 1 0 这样 第一式即为 0 C13 3 因 3可以不等于零 由此可推得C13 0 这表明因接地导体2包围导体1后 导体1与导体3被互相隔离 而不存在两导体之间静电耦合作用 如果导体1 3均带电 则应有 q1 C10 C12 1 q3 C32 C30 3 此式表明 因接地导体2的静电屏蔽 其内外形成两个相互独立的静电系统 2 9电场能量 1 带电体系统中的电场能量 设在建立带电系统电场的某一瞬时 场中某一点的电位是 r 引入增量电荷 q需作功 W r q 将转化为电场能量存贮在电场之中 由于静电场的能量仅取决于电荷的最终分布状态 与电荷怎样达到该状态的过程无关 因此 可设想这样一种充电方式 使任何瞬间所有带电体的电荷密度都按同一比例增长 充电开始时各处电荷密度都为零 相当于m 0 充电结束时各处电荷密度都等于其最终值 相当于m 1 由此可知 在充电过程中的任何时刻 电荷密度的增量 m r r m m r r m 对m积分 得总电场能量为 由于所有电荷按同一比例m增长 故电位 m r m r 上式得 如果系统中无空间电荷 只有带电导体的情况 其电场能量为 式中的积分面积S应为全部导体表面 由于每一导体表面都是等位面 而对于第k个导体 可有 k 1 n 从而 得 2 电场能量密度 不失讨论的一般性 现以两个带电导体在无界空间建立的静电场为例 设两导体携带的电量分别为q1和q2 其表面积对应为s1和s2 如图所示 该系统的总电场能量为 由于导体表面的电荷面密度为 D en D en 式中en 为导体表面的外法线方向的单位矢量 en为导体表面的内法线方向上的单位矢量 代入前式 得 在无限远处如图示作一个无限大的球面S 则由于电荷分布在有限区域 无限远处的场强按R 2及电位按R 1趋于零 因此 该系统总的电场能量为 应用高斯定理 上式改写为 考虑到场域中没有自由电荷分布 故 D 0 又由E 代入上式 最终得 由此可见 电场能量密度为we D E 2 对于各向同性的线性介质 D E 代入上式 得we E2 2 例1 试计算半径为a 带电量为q的孤立导体球所具有的电场能量 解 采用如下三种方法进行计算 1 孤立导体球的电位为 q 4 a 于是得 2 应用电场能量密度公式 积分得 3 由电容计算公式 电场能量 而该系统电容为C 4 a 代入上式得 可见上述三种方法所得结果相同 例 试求真空中半径为a 体电荷密度为的电荷产生的静电能量 解 应用高斯定律 求得 解法一 球内任一点电位 1 解法二 2 10电场力 1 库仑力 电场力的计算原则上可应用电场强度的定义 即点电荷q受到的电场力为 式中E是除电荷q外其余电荷在该电荷所在处所产生的电场强度 综上所述 已知带电体的电荷分布 原则上可以上式计算带电体电荷之间电场力 但是 对于电荷分布复杂的带电系统 根据上式计算电场力是非常困难的 2 虚位移法 假设带电体发生一定的位移 利用位移过程中电场能量的变化与外力及电场力作功之间的关系来计算电场力 广义坐标 确定系统中各带电体形状 尺寸和位置的一组独立几何变量 广义力 企图改变某一广义坐标的力 功 广义力 广义坐标 广义力乘上由它引起的广义坐标的增量应等于功 因此 分别与广义坐标如距离 面积 体积和角度等对应的广义力是机械力 表面张力 压强和转矩等 设一个由 n 1 个导体组成的系统 对导体依次编号并以0号导体为参考导体 假定除p号导体外其余导体都不动 且p号导体也只在一个广义坐标g上发生所设想的位移 虚位移 dg 这时 该系统发生的功能转换过程如下 式中 表示与导体系统连接的外电源提供的能量