Euler法与改进Euler法.ppt

常微分方程数值解法 欧拉法 改进欧拉法和四阶龙格库塔法 常微分方程数值解法 常微分方程主要有 1 变量可分离的方程 2 一阶线性微分方程 贝努利方程 3 可降阶的一类高阶方程 4 二阶常系数齐次微分方程 5 二阶常系数非齐次微分方程 6 全微分方程 常微分方程数值解法 主要内容 一 引言二 建立数值解法的常用方法三 Euler方法四 几何意义五 Euler方法的误差估计六 改进欧拉法七 四阶龙格库塔法七 程序设计要求 主要内容 许多实际问题的数学模型是微分方程或微分方程的定解问题 如物体运动 电路震荡 化学反映及生物群体的变化等 能用解析方法求出精确解的微分方程为数不多 而且有的方程即使有解析解 也可能由于解的表达式非常复杂而不易计算 因此有必要研究微分方程的数值解法 重点 研究一阶常微分方程的初值问题的数值解 假定 常微分方程数值解法 初值问题数值解的提法 常微分方程数值解法 建立微分方程数值解法 首先要将微分方程离散化 一般采用以下几种方法 1 用差商近似导数 2 用数值积分近似积分 实际上是矩形法 宽 高 常用方法 3 用Taylor多项式近似并可估计误差 常用方法 用差商近似导数 问题转化为 Euler方法的迭代公式 令 Euler方法 几何意义 五 Euler方法的误差估计 为简化分析 先考虑计算一步所产生的误差 即假设 是精确的 估计误差 这种误差称为局部截断误差 估计截断误差的主要方法是Taylor展开法 即将函数 取一次Taylor多项式近似函数 得 得Euler方法的局部截断误差公式为 结论 上式说明Euler公式的局部截断误差为 它的精度很差 一般很少用它来求近似值 但是Euler法却体现了数值方法的基本思想 注 Euler方法具有一阶精度 因此它的精度不高 六 改进的Euler方法 改进的Euler方法 利用数值积分将微分方程离散化得梯形公式 解决方法 有的可化为显格式 但有的不行 梯形方法为隐式算法 改进的Euler方法 梯形公式比欧拉法精度高一些 但计算量较大 实际计算中只迭代一次 这样建立的预测 校正系统称作改进的欧拉公式 改进的Euler方法 改进的Euler方法 二 改进的Euler法 梯形方法虽然提高了精度 但算法复杂 计算量大 如果实际计算时精度要求不太高 用梯形公式求解时 每步可以迭代一次 由此导出一种新的方法 改进Euler法 这种方法实际上就是将Euler公式与梯形公式结合使用 先用Euler公式求 的一个初步近似值 称为预测值 预测值 的精度可能很差 再用梯形公式校正求得近似值 即 改进Euler法 亦称为由Euler公式和梯形公式得到的预测 校正 Predictor Corrector 系统 为便于上机编程 常改写成 改进Euler方法计算框图 开始 Y N 例 解 1 用Euler方法得算式为 2 用改进的Euler方法得算式为 七 龙格 库塔法 Runge KuttaMethod 建立高精度的单步递推格式 单步递推法的基本思想是从 xi yi 点出发 以某一斜率沿直线达到 xi 1 yi 1 点 欧拉法及其各种变形所能达到的最高精度为2阶 斜率一定取K1K2的平均值吗 步长一定是一个h吗 首先希望能确定系数 1 2 p 使得到的算法格式有2阶精度 即在的前提假设下 使得 Step1 将K2在 xi yi 点作Taylor展开 Step2 将K2代入第1式 得到 Step3 将yi 1与y xi 1 在xi点的泰勒展开作比较 要求 则必须有 这里有个未知数 个方程 3 2 存在无穷多个解 所有满足上式的格式统称为2阶龙格 库塔格式 注意到 就是改进的欧拉法 Q 为获得更高的精度 应该如何进一步推广 其中 i i 1 m i i 2 m 和 ij i 2 m j 1 i 1 均为待定系数 确定这些系数的步骤与前面相似 最常用为四级4阶经典龙格 库塔法 ClassicalRunge KuttaMethod 2Runge KuttaMethod 由于龙格 库塔法的导出基于泰勒展开 故精度主要受解函数的光滑性影响 对于光滑性不太好的解 最好采用低阶算法而将步长h取小 Runge Kutta方法的设计思想 设法在 xn xn 1 区间内多预报几个点的斜率值 利用这些斜率值 将他们加权平均作为平均斜率的近似 有可能构造出更高精度的计算格式 分别用欧拉法 改进欧拉法 四阶龙格库塔法及Dsolve方法求解并对比 1 2 解常微分方程的初值问题 用欧拉法求解分别取步长h 0 1和h 0 05 3 要求取步长h 0 2 计算y 1 2 和y