北师大版八年级上册数学全册教案

新版北师大版八年级上册数学全册教案

-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

第一章勾股定理

§1.1探索勾股定理(-)

教学目标：

1、经历用数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发

展学生的合情推力意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与

现实生活的紧密联系。

2、探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一

步发展学生的说理和简单的推理的意识及能力。

重点难点：

重点：了解勾股定理的由来，并能用它来解决一些简单的

问题。

难点：勾股定理的发现

教学过程

一、创设问题的情境，激发学生的学习热情，导入课题

出示投影1(章前的图文pl)教师道白：介绍我国古代在

勾股定理研究方面的贡献，并结合课本p5谈一谈，讲述我国

是最早了解勾股定理的国家之一，介绍商高(三千多年前周期

的数学家)在勾股定理方面的贡献。

出示投影2（书中的P2图1—2）并回答:

1、观察图1-2,正方形A中有个小方格，即A的

面积为个单位°

正方形B中有个小方格，即A的面积为个

单位。

正方形C中有个小方格，即A的面积为个

单位。

2、你是怎样得出上面的结果的？在学生交流回答的基础

上教师直接发问：3、图1—2中，A,B,C之间的面积之间有什

么关系？

学生交流后形成共识，教师板书，A+B=C,接着提出图

1—1中的A.B,C的关系呢？

二、做一做

出示投影3（书中P3图1-4）提问；

1、图1—3中，A,B,C之间有什么关系？

2、图1-4中，A,B,C之间有什么关系？

3、从图1—1,1—2,1—3,1|一中你发现什么？

学生讨论、交流形成共识后，教师总结：

以三角形两直角边为边的正方形的面积和，等于以斜边的

正方形面积。三、议一议

2

1、图1—1、1—2、1—3、1一中，你能用三角形的边长

表示正方形的面积吗？

2、你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗？

在同学的交流基础上，老师板书：

直角三角形边的两直角边的平方和等于斜边的平方。这就

是著名的“勾股定理”

也就是说：如果直角三角形的两直角边为a,b,斜边为c

那么a2b2c2

我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长的为股,

斜边为弦，这就是勾股定理的由来。

3、分别以5厘米和12厘米为直角边做出一个直角三角形,

并测量斜边的长度（学生测量后回答斜边长为13）请大家想

一想（2）中的规律，对这个三角形仍然成立吗（回答是肯定

的：成立）

四、想一想

这里的29英寸（74厘米）的电视机，指的是屏幕的长吗

只的是屏幕的款吗那他指什么呢

五、巩固练习

1、错例辨析：

△ABC的两边为3和4,求第三边

解：由于三角形的两边为3、4

所以它的第三边的c应满足c23242二25

即：c=5

辨析：（1）要用勾股定理解题，首先应具备直角三角形

这个必不可少的条件，可本题

△ABC并未说明它是否是直角三角形，所以用勾股定理

就没有依据°（2）若告诉△ABC是直角三角形，第三边C也

不一定是满足a2b2c2,题目中并为交待C是斜边

综上所述这个题目条件不足，第三边无法求得。

2、练习P7§1.11

六、作业

课本P7§L12、3、4

§1」探索勾股定理（二）

教学目标：

1.经历运用拼图的方法说明勾股定理是正确的过程，在

数学活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯。

2.掌握勾股定理和他的简单应用

重点难点：

3

重点：能熟练运用拼图的方法证明勾股定理

难点：用面积证勾股定理

教学过程

一、创设问题的情境，激发学生的学习热情，导入课题

我们已经通过数格子的方法发现了直角三角形三边的关系,

究竟是几个实例，是否具有普遍的意义，还需加以论证，下面

就是今天所要研究的内容，下边请大家画四个全等的直角三角

形，并把它剪下来，用这四个直角三角形，拼一拼、摆一摆，

看看能否得到一个含有以斜边C为边长的正方形，并与同学交

流。在同学操作的过程中，教师展示投影1(书中p7图1—7)

接着提问：大正方形的面积可表示为什么？

1

(同学们回答有这几种可能:(1)(a2b2)(2)ab4c2)

2

在同学交流形成共识之后，教师把这两种表示大正方形面

积的式子用等号连接起来。

1

a2b2=ab4c2请同学们对上面的式子进行化简，得到：

2

a22abb22abe2即a2b2=c2

这就可以从理论上说明勾股定理存在。请同学们去用别的

拼图方法说明勾股定理。

二、讲例

1、飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞机飞到一个男

孩头顶正上方4000多为处，过20秒，飞机距禹这个男孩头顶

5000米，飞机每时飞行多少千米？分析；根据题意；可以先

画出符合题意的图形。如右图，图中△ABC的

c90,AC4000米，AB=5000米，欲求飞机每小时飞行

多少千米，就要知道飞机在20秒的时间里的飞行路程，即图

中的CB的长，由于直角4ABC的斜边AB=5000米，

A04000米，这样的CB就可以通过勾股定理得出。这里一定

要注意单位的换算。

解：由勾股定理得BC2AB2AC252429（千米）

即BC=3千米飞机20秒飞行3千米，那么它1小时飞行

的距离为:3600

3540（千米/小时）

20

答：飞机每个小时飞行540千米。

三、议一议

展示投影2（书中的图1—9）

观察上图，应用数格子的方法判断图中的三角形的三边长

是否满足a2b2c2同学在议论交流形成共识之后，老师总结。

勾股定理存在于直角三角形中，不是直角三角形就不能使

用勾股定理。四、作业PU§1.21、2

4

§1,2一定是直角三角形吗

教学目标：

知识与技能

1.掌握直角三角形的判别条件，并能进行简单应用；

2,进一步发展数感，增加对勾股数的直观体验，培养从实

际问题抽象出数学问题的能力，建立数学模型.

3,会通过边长判断一个三角形是否是直角三角形，并会辨

析哪些问题应用哪个结论.

情感态度与价值观

敢于面对数学学习中的困难，并有独立克服困难和运用知

识解决问题的成功经验，进一步体会数学的应用价值，发展运

用数学的信心和能力，初步形成积极参与数学活动的意识.

教学重点

运用身边熟悉的事物，从多种角度发展数感，会通过边长

判断一个三角形是否是直角三角形，并会辨析哪些问题应用哪

个结论;会辨析哪些问题应用哪个结论.

课前准备

标有单位长度的细绳、三角板、量角器

教学过程；

复习引入：

请学生复述勾股定理；使用勾股定理的前提条件是什么？

已知△ABC的两边AB=5,AC=12,则BC=13对吗?

创设问题情景：由课前准备好的一组学生以小品的形式演

示教材第9页古埃及造直角的方法.

这样做得到的是一个直角三角形吗

提出课题：能得到直角三角形吗

讲授新课；

1.如何来判断（

用直角三角板检验）

这个三角形的三边分别是多少（一份视为1）它们之间存

在着怎样的关系就是说，如果三角形的三边为a,b,c,请猜

想在什么条件下，以这三边组成的三角形是直角三角形（

当满足较小两边的平方和等于较大边的平方时）

2.继续尝试：下面的三组数分别是一个三角形的三边长a,

b,c：

5

5,12,13；6,8,10；8,15,17.

(1)这三组数都满足a2+b2=c2吗？

(2)分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一

量，它们都是直角三角形吗？

3.直角三角形判定定理：如果三角形的三边长a,b,c满

足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.

满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.

13CC

4.例1一个零件的形状如左图所示，按规定这个零件中

/A和/DBC都应

DD为直角.工人师傅量得这个零件各边尺寸如右图所示,

这个零件符合要求吗？

125

4

A

3

BAB

随堂练习：

1,下列几组数能否作为直角三角形的三边长？说说你的理

由.

(1)9,12,15；(2)15,36,39；

(3)12,35,36；(4)12,18,22.

2.已知AABC中BC=41,AC=40,AB=9,则此三角形为

_______三角形，

13

是最大角.

C

D3.四边形ABCD中已知AB=3,BC=4,CD=12,

DA=13,且/ABC=90,求这个四边

12

4

形的面积.

A

3

B

4.习题1.3

课堂小结:

1,直角三角形判定定理：如果三角形的三边长a,b,c满

足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.

2.满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.勾股数扩

大相同倍数后，仍为勾股数.

§13勾股定理的应用

教学目标

教学知识点：能运用勾股定理及直角三角形的判别条件

（即勾股定理的逆定理）解决简单的实际问题.

能力训练要求：

1.学会观察图形，勇于探索图形间的关系，培养学生的空

间观念.

2.在将实际问题抽象成几何图形过程中，提高分析问题、

解决问题的能力及渗透数学建模的思想.

情感与价值观要求：L通过有趣的问题提高学习数学的兴

趣.

6

2.在解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性，体

现人人都学有用的数学.

教学重点难点：

重点：探索、发现给定事物中隐含的勾股定理及其逆及理,

并用它们解决生活实际问题.

难点：利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股

定理及逆定理，解决实际问题.

教学过程

1、创设问题情境，引入新课：

前几节课我们学习了勾股定理，你还记得它有什么作用吗?

例如：欲登12米高的建筑物，为安全需要,需使梯子底

端离建筑物5米，至

BB

少需多长的梯子？

根据题意，（如图）AC是建筑物，则AC=12米，BC=5米,

AB是梯子的长度.所以在RtAABC中，

AB2=AC2+BC2=122+52=132；AB=13米，

AA

所以至少需13米长的梯子.

2、讲授新课：①、蚂蚁怎么走最近

出示问题：有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径

等于3厘米.在圆行柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上

底面上与A点相对的B点处的食物，需要爬行的的最短路程

是多少(冗的值取3).

(1)同学们可自己做一个圆柱，尝试从A点到B点沿圆

柱的侧面画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢(小组讨论)

(2)如图，将圆柱侧面剪开展开成一个长方形，从A点

到B点的最短路线是什么你画对了吗

(3)蚂蚁从A点出发，想吃到B点上的食物，它沿圆柱

侧面爬行的最短路程是多少(学生分组讨论，公布结果)

我们知道，圆柱的侧面展开图是一长方形.好了，现在咱

们就用剪刀沿母线AA，将圆柱的侧面展开(如下国).

我们不难发现，刚才几位同学的走法：

⑴A—A'—B；⑵ATBJB；

(3)ATD.B；(4)A一一＞B.

哪条路线是最短呢你画对了吗

第(4)条路线最短.因为“两点之间的连线中线段最短”.

②、做一做：教材14页。李叔叔随身只带卷尺检测AD,

BC是否与底边AB垂直，也就是要检测/DAB=90。，

/CBA=90。.连结BD或AC,也就是要检测△

7

DAB和aCBA是否为直角三角形很显然，这是一个需用

勾股定理的逆定理来解决的实际问题.

③、随堂练习

出示投影片

1.甲、乙两位探险者，到沙漠进行探险.某日早晨8：00甲

先出发，

他以6千米/时的速度向东行走.1时后乙出发，他以5千

米/时的速

度向北行进.上午10：00,甲、乙两人相距多远？

2.如图，有一个高L5米，半径是1米的圆柱形油桶，在

靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶

外的部分是0.5

米，问这根铁棒应有多长？

L分析：首先我们需要根据题意将实际问题转化成数学模

型.

解：（如图）根据题意，可知A是甲、乙的出发点，10：00

时甲到达B点，则AB=2x6=12（千米）；乙到达C点，则

AC=lx5=5（千米）.

在RtAABC中，BC2=AC2+AB2=52+122=169=132,所以

BO13千米.即甲、乙两人相距13千米.

2.分析：从题意可知，没有告诉铁棒是如何插入油桶中，

因而铁棒的长是一个取值范围而不是固定的长度，所以铁棒最

长时，是插入至底部的A点处，铁棒最短时是垂直于底面时.

解：设伸入油桶中的长度为x米，则应求最长时和最短时

的值.

（1）x2=1,52+22,x2=6,25,x=2,5

所以最长是2.5+0.5=3（米）.

（2）x=1.5,最短是1.5+0.5=2（米）.

答：这根铁棒的长应在2~3米之间（包含2米、3米）.

3,试一试（课本P15）

在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问

题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10

尺的正方形.在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1

尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的

水面.请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？

我们可以将这个实际问题转化成数学模型.

解：如图，设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，由勾股

定理可求

得

(x+1)2=x2+52,x2+2x+1=x2+25

解得x=12

则水池的深度为12尺，芦苇长13尺.

④、课时小结

8

这节课我们利用勾股定理和它的逆定理解决了生活中的几

个实际问题，我们从中可以发现用数学知识解决这些实际问题,

更为重要的是将它们转化成数学模型.

⑤、课后作业

课本P25、习题1.52

第二章实数

§2.1认识无理数（一）

教学目标

（一）知识目标：

L通过拼图活动，让学生感受无理数产生的实际背景和引

入的必要性2能判断给出的数是否为有理数：并能说出现由.

（二）能力训练目标：

1.让学生亲自动手做拼图活动，感受无理数存在的必要性

和合理性，培养大家的动手能力和合作精神.

2.通过回顾有理数的有关知识，能正确地进行推理和判断,

识别某些数是否为有理数，训练他们的思维判断能力.

（三）情感与价值观目标：

1.激励学生积极参与教学活动，提高大家学习数学的热情.

2.引导学生充分进行交流，讨论与探索等教学活动，培养

他们的合作与钻研精神.

3.了解有关无理数发现的知识，鼓励学生大胆质疑，培养

他们为真理而奋斗的精神，

教学重点

L让学生经历无理数发现的过程,感知生活中确实存在着不

同于有理数的数2会判断一个数是否为有理数.

教学难点

1.把两个边长为1的正方形拼成一个大正方形的动手操作

过程.

2.判断一个数是否为有理数.

教学方法

教师引导，主要由学生分组讨论得出结果.

教学过程

一、创设问题情境，引入新课

［师］同学们，我们学过不计其数的数，概括起来我们都学

过哪些数呢？［生］在小学我们学过自然数、小数、分数.

［生］在初一我们还学过负数.

［师］对，我们在小学学了非负数，在初一发现数不够用

T,引入了负数，即把从小学学过的正数、零扩充到有理数范

围，有理数包括整数和分数，那么有理数范围是否就能满足我

们实际生活的需要呢？下面我们就来共同研究这个问

9

题，

二、讲授新课

L问题的提出

［师］请大家四个人为一组，拿出自己准备好的两个边长

为1的正方形和剪刀，认真讨论之后，动手剪一剪，拼一拼，

设法得到一个大的正方形，好吗？［生］好.（学生非常高兴地

投入活动中）.

［师］经过大家的共同努力，每个小组都完成了任务，请

各组把拼的图展示一下，

同学们非常踊跃地呈现自己的作品给老师.

［师］现在我们一齐把大家的做法总结一下：

下面请大家思考一个问题，假设拼成大正方形的边长为a,

则a应满足什么条件呢？

［生甲］a是正方形的边长，所以a肯定是正数.

［生乙］因为两个小正方形面积之和等于大正方形面积，

所以根据正方形面积公式可知a2=2.

［生丙］由a2=2可判断a应是1点几.

［师］大家说得都有道理，前面我们已经总结了有理数包

括整数和分数，那么a是整数吗？a是分数吗？请大家分组讨

论后回答，

［生甲］我们组的结论是：因为12=1,22=4,32=9,...

整数的平方越来越大，所以a应在1和2之间，故a不可能是

整数.

111224111

［生乙］因为，，，…两个相同因数的乘积都

为分数，所

224339339

以a不可能是分数，

［师］经过大家的讨论可知，在等式a2=2中，a既不是

整数，也不是分数，所以a不是有理数，但在现实生活中确实

存在像a这样的数，由此看来，数又不够用了.

2.做一做

投影片§2.1.1A

⑴在下图中，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积

是多少？

(2)设该正方形的边长为b,则b应满足什么条件？b是有

理数吗？

［师］请大家先回忆一下勾股定理的内容.

［生］在直角三角形中，若两条直角边长为a,b,斜边

为c,则有a2+b2=c2.［师］在这题中，两条直角边分别为1

和2,斜边为b,根据勾股定理得b2=12+22,即b2=5,则b

是有理数吗？请举手回答.

［生甲］因为22=4,32=9,4<5<9,所以b不可能是整

数.

10

［生乙］没有两个相同的分数相乘得5,故b不可能是分

数.

［生丙］因为没有一个整数或分数的平方为5,所以5不

是有理数.

［师］大家分析得很准确，像上面讨论的数a,b都不是

有理数，而是另一类数——无理数.关于无理教的发现是付出

了昂贵的代价的.早在公元前，古希腊数学家毕达哥拉斯认为

万物皆“数”，即“宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之

比”，也就是一切现象都可用有理数去描述.后来，这个学派中

的一个叫希伯索斯的成员发现边长为1的正方形的对角线的长

不能用整数或整数之比来表示，这个发现动摇了毕达哥拉斯学

派的信条，据说为此希伯索斯被投进了大海，他为真理而献出

了宝贵的生命，但真理是不可战胜的，后来古希腊人终于正视

了希伯索斯的发现,也就是我们前面谈过的a2=2中的a不是有

理数.我们现在所学的知识都是前人给我们总结出来的，我们

一方面应积极地学习这些经验，另一方面我们也不能死搬教条,

要大胆质疑，如不这样科学就会永远停留在某处而不前进，要

向古希腊的希伯索斯学习，学习他为捍卫真理而勇于献身的精

神.

三、课堂练习

（一）课本P

35

随堂练习

如图，正三角形ABC的边长为2,高为h,h可能是整数

吗可能是分数吗解：由正三角形的性质可知BD=1,在

RSABD中，由勾股定理得h2=3.h不可能是整数，也不可能

是分数.

（二）补充练习

为了加固一个高2米、宽1米的大门，需要在对角线位置

加固一条木板，设木板长为a米，则由勾股定理得a2=12+22,

即a2=5,a的值大约是多少这个值可能是分数吗

解：a的值大约是2.2,这个值不可能是分数.

四、课堂小结

1,通过拼图活动，经历无理数产生的实际背景，让学生感

受有理数又不够用了2能判断一个数是否为有理数.

五、课后作业：见作业本。

§2.1认识无理数（二）

教学目标

（一）知识目标：

1.借助计算器探索无理数是无限不循环小数，并从中体会

无限逼近的思想2会判断一个数是有理数还是无理数.

（二）能力训练目标；

1.借助计算器进行估算，培养学生的估算能力，发展学生

的抽象概括能力，并

11

在活动中进一步发展学生独立思考、合作交流的意识和能

力.

2.探索无理数的定义，以及无理数与有理数的区别，并能

辨别出一个数是无理数还是有理数，训练大家的思维判断能力.

（三）情感与价值观目标：

1.让学生理解估算的意义，掌握估算的方法，发展学生的

数感和估算能力2充分调动学生的积极性，培养他们的合作精

神，提高他们的辨识能力，教学重点

1.无理数概念的探索过程.

2,用计算器进行无理数的估算.

3.了解无理数与有理数的区别，并能正确地进行判断.

教学难点

1.无理数概念的建立及估算.

2,用所学定义正确判断所给数的属性.

教学方法

老师指导学生探索法

教学过程

一、创设问题情境，引入新课

［师］同学们，我们在上节课了解到有理数又不够用了，

并且我们还发现了一些数，如a2=2,b2=5中的a,b既不是整

数，也不是分数，那么它们究竟是什么数呢？本节课我们就来

揭示它的真面目.

二、讲授新课

1.导入：［师］请看图

大家判断一下3个正方形的边长之间有怎样的大小关系？

说说你的理由.［生］因为3个正方形的面积分别为1,2,4,

而面积又等于边长的平方，所以面积大的正方形边长就大.

［师］大家能不能判断一下面积为2的正方形的边长a的

大致范围呢？［生］因为a2大于1且a2小于4,所以a大致

为1点几，

［师］很好.a肯定比1大而比2小，可以表示为l<aV2.

那么a究竟是1点儿呢请大家用计算器进行探索，首先确定十

分位,十分位究竟是几呢如1.12=1.21,1.22=1.44,1.32=1.69,

1.42=1.96,1.52=2.25,而a2=2,故a应比L4大且比1.5小,

可以写成L4<aV1.5,所以a是1点4几，即十分位上是4,

请大家用同样的方法确定百分位、千分位上的数字.

［生］因为1.412=1.9881,1.422=2.0164,所以a应比

1.41大且比142小，所以百分位上数字为1.

［生］因为1.4112=1.990921,1.4122=1.993744,

1.4132=1.996569,

12

1.4142=1.999396,1.4152=2.002225,所以a应比L414大

而比L415小,即千分位上的数字为4.

［生］因为1.41422=1.99996164,1.41432=2.00024449,

所以a应比L4142大且比1.4143小，即万分位上的数字为2.

［师］大家非常聪明，请一位同学把自己的探索过程整理

一下，用表格的形式反映出来，

［生］我的探索过程如下.

边长a面积S

l<a<21<S<4

1.4<a<1,51,96<S<2,25

1.41<a<1,421.9881<S<2,0164

1.414<a<1,4151.999396<S<2,002225

1.4142<a<1.41431.99996164<S<2.00024449

［师］还可以继续下去吗？

［生］可以.

［师］请大家继续探索，并判断a是有限小数吗？

［生］a=L41421356…,还可以再继续进行,且a是一个

无限不循环小数.［师］请大家用上面的方法估计面积为5的

正方形的边长b的值.边长b会不会算到某一位时，它的平方

恰好等于5?请大家分组合作后回答.（约4分钟）［生］

b=2.236067978…,还可以再继续进行,b也是一个无限不循

环小数.［生］边长b不会算到某一位时，它的平方恰好等于5,

但我不知道为什么.［师］好.这位同学很坦诚，不会就要大胆

地提出来，而不要冒充会，这样才能把知识学扎实，学透，大

家应该向这位同学学习.这个问题我来回答.如果b算到某一位

时，它的平方恰好等于5,即b是一个有限小数，那么它的平

方一定是一个有限小数，而不可能是5,所以b不可能是有限

小数.

2.无理数的定义

请大家把下列各数表示成小数.

4582

3,,”,并看它们是有限小数还是无限小数，是循环小数

还是不循环小

594511

数.大家可以每个小组计算一个数，这样可以节省时间.

•45

［生］3=3.0,=0.8,=5,

•95-82

.17,1.818

11454582

［生］3,是有限小数，，，是无限循环小数.

594511

［师］上面这些数都是有理数，所以有理数总可以用有限

小数或无限循环小数表示.反过来，任何有限小数或无限循环

小数都是有理数.

像上面研究过的a2=2,b2=5中的a,b是无限不循环小数，

无限不循环小数叫无理数(irrationalnumber).

13

除上面的a,b外,圆周率兀=3.14159265…也是一个无限

不循环小数，0,5858858885…(相邻两个5之间8的个数逐次加

1)也是一个无限不循环小数，它们都是无理数.

3,有理数与无理数的主要区别

(1)无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限

循环小数.

(2)任何一个有理数都可以化为分数的形式，而无理数则

不能.

4.例题讲解

下列各数中，哪些是有理数哪些是无理数

3.14,一,.57,0.1010010001...(相邻两个1之间的个数

逐次加1).

••34

解;有理数有3.14,一，.57.无理数有0.1010010001….

3

三、课堂练习

(一)随堂练习

下列各数中，哪些是有理数哪些是无理数

•1

0.4583,3.7,一兀，一，18.

7-1

解：有理数有0.4583,3.7,―,18,无理数有一九

7

(二)补充练习

投影片(§2.1.2A)

判断题

(1)有理数与无理数的差都是有理数.

(2)无限小数都是无理数.

(3)无理数都是无限小数.

(4)两个无理数的和不一定是无理数.

解：(1)错.例兀一1是无理数.

(2)错.例1.5是有理数.

(3)对.因为无理数就是无限不循环小数，所以是无限小数.

(4)对.因为两个符号相反的无理数之和是有理数.例兀一兀=0.

投影片(§2,1,2B)

下列各数中，哪些是有理数哪些是无理数

2”

0.351,-,4.96,3.14159,-5.2323332…,

123456789101112...

3

(由相继的正整数组成).

2”

解：有理数有0,351,-A96,3J4159,

3

无理数有一5.2323332…，123456789101112….

投影片(§2.L2C)

14

在下列每一个圈里，至少填入三个适当的数.

［生］有理数集合填，，一3.

311

无理数集合填一元,一兀，0.323323332….

2

四、课时小结

本节课我们学习了以下内容.

1,用计算器进行无理数的估算，

2.无理数的定义.

3,判断一个数是无理数或有理数.

五、课后作业：见作业本。

§2.2平方根（一）

教学目标：

1、了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术

平方根。

2、会求一个正数的算术平方根。

3、了解算术平方根的性质。

教学重点：算术平方根的概念、性质，会用根号表示一个

正数的算术平方根。教学难点：算术平方根的概念、性质。

教学过程：

一、问题引入

1.教师活动：回顾上节课的拼图活动及探索无理数的过程,

提出问题：面积为13的正方形的边长究竟是多少？

学生活动：

（1）完成课本P32的填空：

a2=b2=,

c2=d2=e2=,f2=

（2）a,b,c,d,e,f中哪些是有理数，哪些是无理数

你能表示它们吗2,师生互动

集体交流后，说明无理数也需要一种表示方法。

二、讲授新课：

算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于

a,即x2a,那么，这个正数x就叫做a的算术平方根。记为:

“a”读做根号a。特别地，的算术平方根是。

2

2那么a2,则a=2b=3,则b二

3

这样的话，一个非负数的算术平方根就可以表示为

a

例1分别写出下列各数的算术平方根

5

15

（要求一个数的算术平方根，一般的方法是先按平方的概

念来找哪个数的平方等于这个数。）

例2自由下落物体的高度h（米）与下落时间t（秒）的关系

为h:4.9t2.有一铁球从19.6米高的建筑物上自由下落，到达地

面需要多长时间

学生活动：一个同学在黑板上板演，其他同学在练习本上

做，然后交流。师生互动：完成引例中的x213,则x13,

以后我们可以利用计算器求出这个数的近似值。

三、随堂练习：P391

四、小结：

（1）内容总结：

①算术平方根的定义、表示；②a的双重非负性。

（2）方法归纳：转化的数学方法：即将陌生的问题转化

为熟悉的问题解决。五、作业：

P40习题2.312

§2.2平方根（二）

教学目标：

Is了解平方根的概念，会用根号表示一个数的平方根。

2、会求一个正数的平方根。

3、了解平方根和算术平方根的性质。

4、了解乘方和开方是互逆运算，会利用这个互逆运算求

某些非负数的算术平方根和平方根°

教学重点；了解平方根和开平方的概念、性质，会用根号

表示一个正数的算术平方根和平方根。

教学难点：平方根和算术平方根的区别°负数没有平方根,

即负数不能进行开平方运算。

教学过程；

一、复习提问

1、算术平方根的概念，任何一个有理数都有算术平方根

吗？算术平方根有什么性质。

2、9的算术平方根是，3的平方是，

还有其他的数的平方是9吗？

二、讲授新课：

1.想一想

4

平方等于的数有几个平方等于0.64的数呢

25

学生活动：学生思考，然后交流，得出平方根的定义。

2.教师活动：

16

一般地，如果一个数x的平方等于a,即x2a,那么，

这个数x就叫做a的平方根。也叫做二次方根。

3和一3的平方都是9,即9的平方根有两个3和一3；9

的算术平方根只有一个，是3。

3.学生活动：

求出下列各数的平方根。

4

16,,,—25,

9

三、议一议：

（1）一个正数的有几个平方根？

（2）有几个平方根？

（3）负数呢?

★教师活动：

一个正数有两个平方根，只有一个平方根，它是本身；负

数没有平方根。☆学生活动：

正数的两个平方根有什么关系吗?

讨论，交流得出：

一个正数a有两个平方根，一个是a的算术平方根，“a”,

另一个是“a”，它们互为相反数。这两个平方根合起来，可以

记做“胪,读作“正、负根号胪。

开平方：求一个数a的平方根的运算，叫伏开平方。其中

a叫做被开方数。(已知指数和尾，求底数的运算是开方运算)

★教师活动

开平方和平方互为逆运算，我们可以利用平方运算来求平

方根。

四、例题精析：

例1求下列各数的平方根：

49

(1)64,(2),(3)0.0004,(4)(-25)2,(5)11

121

五、随堂练习：P361、2

例2若x2402412,求x；

★教师活动：

通过例2,要学生进一

249

(1)(64)2等于多少?

121

等于多少？步明白平方根与算术平

2

方根在应用上的区别。

⑵

7.2

等于多少？

六、想一想

a

2

等于多少？(3)对于正数a,

师生互动，讨论交流得

2(a)a(a>)出：

七、小结：

1.平方根的定义、表示方法、求法、性质Q平方根和算术

平方根的区别和联系6

17

2.使学生学到由特殊到一般的归纳法。

八、作业；

P36习题2.4和试一试P533

§2.3立方根

教学目标

1.使学生了解一个数的立方根概念，并会用根号表示一个

数的立方根；2.理解开立方的概念；

3,明确立方根个数的性质，分清一个数的立方根与平方根

的区别.

教学重点和难点

重点：立方根的概念及求法.

难点：立方根与平方根的区别.

教学过程设计

一、复习：请同学回答下列问题：

(1)什么叫一个数a的平方根如何用符号表示数a(K))的平

方根

(2)正数有几个平方根它们之间的关系是什么负数有没有

平方根平方根是什么

(3)当心0时，式子a,—a,±a,的意义各是什么？

二、引入新课

1.计算下列各题：

(1).13;(2)(23)3；(3)3.

2.立方根的概念.

一般地，如果一个数的立方等于a,这个数就叫做a的立

方根(也叫做三次方根).

用式子表示，就是，如果x3=a,那么x叫做a的立方根.

数a的立方根用符号"3a”表示，读作“三次根号a,其中a是被

开方数，3是根指数,(注意：根指数3不能省略).

3.开立方.

求一个数的立方根的运算，叫做开立方，开立方与立方也

是互为逆运算，因此求一个数的立方根可以通过立方运算来求.

三、讲解例题：

例1求下列各数的立方根：

(1)8；(2)-8；(3)0.125；(4)-27125；(5)0.

分析：求一个数的立方根，我们可以通过立方运算来求.

(2)因为(2)3=8,所以一8的立方根是一2即38=-2

(3)因为.53=0.125,所以0.125的立方根是0.5,即

3.125=0.5.

327327

(4)因为(一)3二一,所以一27125的立方根是一35,即3=

55125125

33(5)因为二0,所以的立方根是，即二0.

18

例2求下列各式的值：

27

333(1)27；(2)64；(3).

1000

四、随堂练习

L判断题；

(1)4的平方根是2；(2)8的立方根是2：(3)—0.064的立方

根是一0.4；(4)127的立方根是±13

1

(5)一的平方根是±4；(6)—12是144的平方根

16

2.选择题:

⑴数0.000125的立方根是.

A.0.5B+0.5C.0.05D.0.005

(2)下列判断中错误的是0

A.一个数的立方根与这个数的乘积为非负数B.一个数的

两个平方根之积负数

C,一个数的立方根未必小于这个数D,零的平方根等于零

的立方根3.求下列各数的立方根：

(1)27；(2)-38；(3)1；(4)0.

4,求下列各式的值：

1000125

333(1)100；(2)1000；(3);(4)：(5)31;

72964

五、小结请思考下面的问题：

L什么叫一个数的立方根怎样用符号表示教a的立方根a

的取值范围是什么2.数的立方根与数的平方根有什么区别？

3.正数只有一个正的立方根，但有两个互为相反数的平方

根；负数有一个负的立

方根，但没有平方根.

4.求一个数的立方根，可以通过立方运算来求.

§2.4估算

教学目标

1.能通过估算检验计算结果的合理性，能估计一个无理数

的大致范围，并能通过估算比较两个数的大小.

2.掌握估算的方法，形成估算的意识，发展学生的数感.

教学重点

L让学生理解估算的意义，发展学生的数感.

2.掌握估算的方法，提高学生的估算能力.

教学难点

掌握估算的方法，并能通过估算比较两个数的大小.

教学过程

一.导入新课

同学们，请大家说出咱们班男生和女生的平均身高,你又

是怎样得出结果的

19

呢？

（我猜的.）

“猜'’字的意思就是根据自己的判断而估计得出的结果，它

并不是准确值，但也不是无中生有，是有一定的理论根据的，

本节课我们就来学习有关估算的方法.

二.讲授新课

问题：某地开辟了一块长方形的荒地，新建一个以环保为

主题的公园，已知这块荒地的长是宽的2倍，它的面积为

400000米2.

(1)公园的宽大约是多少它有1000米吗

(2)如果要求误差小于10米，它的宽大约是多少？

(3)该公园中心有一个圆形花圃，它的面积是800米2,你

能估计它的半径吗(误差小于1米)

提示：要想知道公园的宽大约是多少，首先应根据已知条

件求出已知量与未知量的关系式，那么它们之间有怎样的联系

呢？

(因为已知长方形的长是宽的2倍，且它的面积为40000

米2,根据面积公式就能找到它们的关系式,可设公园的宽为x

米，则公园的长为2x米，由面积公式得：

2x2=400000.e.x2=200000o所以公园的宽x就是面积

200000的算术平方根).

在估算时我们首先要大致确定数的范围，因此有必要做一

些准备工作.请大家先计算出20以内正整数的平方和10以内

正整数的立方.并加以记忆，对我们的估算很有帮助.

12=1；22=4；32=9；42=16；52=25；62=36；72=49；

82=64；92=81；102=100；112=121；122=144；132=169；

142=196；152=225；162=256；172=289；182=324；192=381；

202=400.

13=1；23=8；33=27；43=64；53=125；63=216；73=343；

83=512；93=729;103=1000.

下面我们可以进行估算，请同学们分组讨论而后回答.

(1)公园的宽没有1000米，因为1000的平方是

1000000,而200000小于1000000,所以它没有1000米宽.

大家能不能具体确定一下公园的宽是几位数呢？

因为100的平方是10000,1000的平方是1000000,而

200000大于10000小于1000000,所以公园的宽比100大而比

1000小,是三位数.

大家在估算时就可用这样的方法大致估算一下是几位数，

这样使范围缩小，为下一步的估算作准备.由此看来公园的宽

大约是几百米，下面请大家继续讨论做(2)题，

20

因为400的平方等于160000,500的平方为250000,所

以公园的宽x应比400大比500小.

所以x应为400多，再继续估算，估计十位上的数字是几.

因为440的平方为193600,450的平方为202500,所以x

应比440大比450小,故十位上的数为4.

因为题目要求误差小于10米，好应精确到十位，所以我

们估算出十位上的数就行了，即公园的宽x应为440米，现在

我们可以根据刚才的估算来总结一下步骤.

1.估计是几位数.

2.确定最高位上的数字（如百位）.

3,确定下一位上的数字，（如十位）

4.依次类推，直到确定出个位上的数，或者按要求精确到

小数点后的某一位,在以后的估算中我们就可按这样的步骤进

行.再看（3）题，先列出关系式.

800800

（设半径为x米，则有71x2=800/.x2=-255,Wx2-255

3.14

因为102=100,1002=10000,所以x应是两位数，又因为

152=255,162=256,所以x就比15大比16小,应为15点几,

所以应为15米.）

在题目中要求误差小于1,而不是精确到1,所以15米和

16米都满足要求，即x应为15米或16米.

二、议一议

（1）下列计算结果正确吗你是怎样判断的与同伴交流.

.43^0.066；3900^96；2536a60.4

（2）你能估算3900的大小吗（

误差小于1）.

三、例题讲解

［例1］（课本40页例1）

511

与的大小［例2］通过估算，比较

22

分析：因为这两个数的分母相同，所以只需比较分子即可.

四、课堂练习

（一）随堂练习

（二）补充练习：比较12与3.4的大小.

解:因为3.4的平方为11.56,所以12大于11.56,即12

>3.4.

五,课堂小结

本节课主要是让学生掌握估算的方法，形成估算的意识，

发展学生的数感，并能用估算来比较大小.

六,课后作业：习题2.6

21

§2.5用计算器开方

教学目标

（一）知识目标

1.会用计算器求平方根和立方根.

2.经历运用计算器探求数学规律的活动，发展合情推理的

能力.

教学重点

L探索计算器的用法，

2.用计算器探求数学规律.

教学过程

一、新课导入

我们在前几节课分别学习了平方根和立方枝的定义，还知

道乘方与开方是互为逆运算.比如23=8,2叫8的立方根，8叫

2的立方，有时可以根据逆运算来求方根或平方、立方,对于

10以内数的立方，20以内数的平方要求大家牢记在心，这样

可以根据逆运算快速地求出这些特殊数的平方枝或立方根，那

么对于不特殊的数我们应怎么求其方根呢？可以根据估算的方

法来求，但是这样求方根的速度太慢，这节课我们就学习一种

快速求方根的方法，用计算器开方.二、新课讲解

［师］请大家互相看一下计算器，拿类型相同的计算器的

同学请坐到一起.这样便于大家互相讨论问题.如果你的计算器

的类型与书中的计算器的类型相同，请你按照书中的步骤熟悉

一下程序，若你的计算器的类型不同于书中的计算器，请拿相

同类型计算器的同学先要探索一下如何求平方根、立方根的步

骤，把程序记下来，好吗？给大家8分钟时间进行探索.

2

［师］现在根据自己掌握的程序计算5.89,

3,31285,5+1,67—心然

7

后和书中的数据相对照，检查自己做的是否正确.

三、做一做

利用计算器，求下列各式的值(结果保留4个有效数字)；

22

(1)800；(2)

3

；(3),58；(4)3432,

5

［例题］利用计算器比较33和2的大小.

刚才我们练习了10个小题，对于求平方根或者立方根的

程序已基本熟练，在此基础上，下面我们来做一个判断题，看

看题中已经求出的立方根与平方根是否正确.

投影片：(§2.5B)

下列计算结果正确吗？

(1)1234~35.1；(2)31200^10.6；(3)8955=9.5；(4)312345

-231.

四、议一议

(1)任意找一个你认为很大的正数，利用计算器对它进行

开平方运算，对所得

22

结果再进行开平方运算….随开方次数的增加，你发现了

什么？

五、课堂练习

5511.利用计算器，比较下列各组数的大小.(1)311,5；(2),.

82

2.用计算器求下列各式的值.

8

(1).2116；(2)-56169；(3).0121：(4)：(5)790.8：

25

(6).0006705；

(7)-37456.3；(8)3.84521；(9)22；(10)

8

5；(11)3400000；

79六、课时小结

1.探索用计算器求平方根和立方根的步骤，并能熟练地进

行操作.

2.经历运用计算器探求数学规律的活动，发展合情推理的

能力.

课后作业:习题2,5（作为测验试卷）

§2.6实数（一）

教学目标

1.了解无理数及实数的意义，并用类比的方法引入实数的

相关概念等；2,了解实数的相反数和绝对值的意义，并会求一

个实数的相反数和绝对值；3.灵活运用开方的有关知识解决问

题；体现从有理数运算到实数运算的自然过渡。

教学重难点

L无理数和实数的概念；

2,对无理数相反数和绝对值的求法。

教学方法

Ln次方根

求a的n次方根的运算，叫做把a开n次方，a叫做被开

方数，n叫做根指数。

2.奇次方根和偶次方根

将一个数开奇次方时，求得的方根叫做奇次方根；

将一个非负数开偶次方时，求得的方根叫做偶次方根Q

3.开方：求一个数的方根的运算，叫做开方6

开n次方与n次乘方互为逆运算。

4.有理数

整数和分数统称为有理数，有理数都可以表示成有限小数

或无限循环小数。5.无理数

无限不循环小数叫做无理数（即开不尽方的数）无理数不

能表示成分数的形式。

任何一个无理数，都可以用给定精确度的有理数来近似地

给予表示。

33

23

6,实数

有理数和无理数统称为实数。

每一个实数都可以用数轴上的一个点表示，反之，数轴上

的每点又都可以表示一个实数。（一一对应）

7.实数的相反数

如果a表示一个实数，一a叫a的相反数，的相反数是。

8.实数的绝对值

§2.6实数(二)

教学目标

1.了解有理数的运算法则在实数范围内仍然适用.

2.用类比的方法，引入实数的运算法则、运算律，并能用

这些法则，运算律在实数范围内正确计算.

3,正确运用公式

aa

abab(a,b);(a,b).

bb

教学重点

1.用类比的方法，引入实数的运算法则、运算律，并能在

实数范围内正确进行运算.

2,发现规律：

aa

abab(a,b);(a,b).并能用规律进行计算.

bb

教学过程

一.新课导入

上节课我们学习了实数的定义、实数的两种分类，还有在

实数范围内如何求相反数、倒数、绝对值，它们的求法和在有

理数范围内的求法相同.那么在有理数范围内的运算法则、运

算律等能不能在实数范围内继续用呢？本节课让我们来一起进

行探究.

二.新课讲解

1.有理数的运算法则在实数范围内仍然适用.

大家先回忆一下我们在有理数范围内学过哪些法则和运算

律.

(加、减、乘、除运算法则，加法交换律，结合律，分配

律.)

下面我们就来验证一下这些法则和运算律是否在实数范围

内适用.我们知道实数包括有理数和无理数，而有理数不用再

考虑，只要对无理数进行验证就可以

11了.

323(2)3,

22如：2332,

所以说明有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用.下

面看一些例题.2232(23)252.

例：计算：

11

(1)31；(2)77；(3)(25)2；(4)(2)2.

32

2.做一做(书上48页)

24

请同学们先计算，然后分组讨论找出规律.

通过上面计算的结果，大家认真总结找出规律.

如果把具体的数字换成字母应怎样表示呢？

aa

总结；abab(a>0,b>0)；(a>0,b>0)

bb

化简；

2626(1)6；(2)273-4；(3)(3-1)2；(4)；(5).

3543

3.例题讲解

［例题］化简：(书上49页例题)

三、课堂练习

(一)随堂练习

(二)补充练习

1.化简：

217(1)805502；(2)(1+5)(5-2)；(3)2(28)；(4)；

13410540

(5)(3)2；(6).

310

2.一个直角三角形的两条直角边长分别为5cm和45cm,

求这个直角三角形的面积.

四、小结

五、课后作业：习题2,9

§2.7二次根式

教学目标

aa

1.式子abab(a>0,b>0)；(aX),b>0)的运用.

bb

2,能利用化简对实数进行简单的四则运算.

教学重点

L两个法则的逆运用，

2.能运用实数的运算解决简单的实际问题.

教学过程

一.导入新课

请大家先回忆一下算术平方根的定义.

(若一个正数x的平方等于a,则x叫a的算术平方根.)

下面我们用算术平方根的定义来求下列两个正方形的边长,

以及边长之间的关系.

问：设大正方形的边长为a,小正方形的边长为b.请同学

们互相讨论后得出结果.

(由正方形面积公式得a2=8,b2=2,所以大正方形边长a=8,

小正方形边长b=2,)

问：那么a与b之间有怎样的倍分关系呢？请观察图中的

虚线.

(大正方形的面积为小正方形面积的4倍，大正方形的边

长是小正方形边长的

25

2倍■所以8=22.)那么8根据什么法则就能化成22呢？这

就是本节课的任务.

二，新课讲解

请大家回忆一下上节课学的两个法则是什么？

aa

(abab(a>0,b>0)；(a>0,b>0))

bb

请大家根据上面法则化简下列式子.

25

(1)33；(2)24；(3)

3

;(4)3.

2712

请大家思考一下，刚才这位同学的步骤反过来推是否成立?

即从右往左推(.因为从左到右是等式的推导，而从右向左也

是等式的推导，只不过是反过来推也应成立.)

确实成立.下面再分析这些式子：

(1)3333;(2)242422;

332525

(3);(4)33.并和上节课的两个法则相比较，有什么

不同吗请大家交流后回答,大家能否用

27121227

式子表示出来

aa

小结：abab(a>O,b>)(a>0,b>0.)

b32125b

化简：(1)27；(2)45；(2)128；(4)54；(5)；(6).

916

.大家能不能总结一下刚才化简的这些式子有何规律呢？

这说明根号里面的数有一部分移到了根号外面，那么什么

数能往外移呢它们又具备什么条件呢

(是平方数.如(1)中根号内的9移到外面变成了3；(2)、

(4)中也是，(3)中有64移到外面成了8.(5)中16移到外面变成

4,(6)中分母16,分子25移到外面变成4,5.)

也就是说被开方数中能分解因数,且有些因数能开出来，这

时就需要对其进行化

1222

简.那么像下面的式子叫不叫化简呢(

2424

化简)

能否说一下它的特征呢？

如果被开方数中含有分母，要把分子分母同时乘以某一个

数，使得分母变成一个能开出来的数，然后把分母开出来，使

被开方数中没有了分母.这也叫化简,根据刚才我们的讨论，对

于两种情形可通过法则的逆运算进行化简，那么究竟是哪两种

情形呢？

(.如果被开方数n含有分母，或者含有开得尽的因数，

则可通过逆运算进行化简.)

上节课和本节课我们做的工作都是化简，并且用的是相同

的两个公式，那么究竟什么情况下用法则、什么情况下又用法

则的逆运算呢？

26

一般地，当被开方数中含有分母或者含有能开得尽的因数

时，用法则的逆运算；当两个含有根号的数相乘或相除，它们

的被开方数单独开不出来，但是通过相乘或相除能出现开得尽

的因数时用法则.

例题讲解

［例1］化简；