经典Runge-Kutta方法和显式四阶Adams方法.doc

微分方程数值解实验报告姓名丁建伟学号200708020211日期20101023实验项目经典Runge-Kutta方法和显式四阶Adams方法指导教师徐强1、 上机实验的问题和要求（需求分析）： 考虑一阶常微分方程初值问题dy/dx =y, 0=x=1, y(0)=1，其精确解为y = ex，求初值问题数值解。 要求：（1）=-2时，分别以h=1/16,1/32,1/64,1/128为步长时，使用两种方法求解初值问题，给出右端点的误差，分析误差阶。（2）=-100时，取h=1/16，用经典Runge-Kutta法求解初值问题，并验证时数值不稳定性。二、程序设计的基本思想，原理和算法描述：算法的基本思想：若已知dy/dx=f（x，y），0=x=1;y(0)=1;经典Runge-Kutta法公式：显性四阶Adams公式： 算法描述： 先设置两个数组y和Y，用来存储结果。经典Runge-Kutta算法：（1） 置h=1/n；x=0，y=1；f=my（2） 设置一个Runge-Kutta函数，每一步求出对应的x和y值，共循环进行n次，并每次将结果存储到一个数组里y。（3） 将结果输出，并求在右端点处截断误差。显性四阶Adams： （1）从y0到y3先由经典Runge-Kutta算法求出，并分别存储到Y0到Y3中； （2）从y4开始，利用前面求出的值，求解y值，并存储到数组相应位置，使用公式为Yi=Yi-1+(h/24)*(55*m*Yi-1-59*m*Yi-2+37*m*Yi-3-9*m*Yi-4)。3、 主要程序代码或命令：#include#include /因为用到fabs（）和exp（）函数，加上函数预处理名。#define M 200 /申请两个大容量的数组用来存放两种方法每一步求的y值float m; /将m和h都设为全局变量，后面的分函数也要用到。float h;float RungeKutta(float y) /经典Runge-kutta方法的函数，精髓。float k1,k2,k3,k4; k1=m*y;k2=m*(y+h*k1/2);k3=m*(y+h*k2/2);k4=m*(y+h*k3);y=y+(h/6)*(k1+2*k2+2*k3+k4);return y;void main() /主函数int n,i;float yM,YM; /申请两个数组float y0,e0,e1;printf(请输入区间等分数n值和参数值m：);scanf(%d,%f,&n,&m);h=1/float(n);y0=1.0,Y0=1.0; /赋初始值。 for(i=1;i=n;i+) /按照区间等分数，循环执行以下语句n次 if(i=3) /使用显性4阶Adams方法只能从y4开始求起，故y0到y3都用 /龙塔方法求出。 yi=RungeKutta(yi-1); Yi=RungeKutta(Yi-1); else yi=RungeKutta(yi-1); Yi=Yi-1+(h/24)*(55*m*Yi-1-59*m*Yi-2+37*m*Yi-3-9*m*Yi-4); /上公式是显性四阶Adams方法的核心公式。 printf(请输出Runge-Kutta算法结果y0:%f和使用显式四阶Adams算法结果y1:%fn,yi,Yi); y0=exp(m*1.0); /求出在区间右端点的精确解e0=fabs(y0-yn); /求Runge-Kutta算法在右端点处的截断误差e1=fabs(y0-Yn); /求显式四阶Adams算法在右端点处截断误差printf(请输出在右端点处的Runge-Kutta算法误差e0=%f和显式四阶Adams算法误差e1=%f,e0,e1);注意：若想仅使用经典Runge-Kutta算法可修改为for（i=1;i=n;i+） yi=RungeKutta(yi-1); /仅用这些就可以了四、调试和运行程序过程中产生的问题及采取的措施：1、编译时出错，若想在主函数和被调用函数都使用一些变量，必须把这些变量设为全局变量。2、编译时，没有注意数据类型转换，如float h;h=1/n;是错误的，因为n是整形的，当n值大于1时，h老为零。应进行模式转换，h=1/float（n）；这样才是正确的。3、对浮点数求绝对值时，应使用fabs（）函数，而不是abs（）。五、运行输出结果及分析：上述程序在Visual C+ 6.0环境下加以实现。经过多次测试，程序运行正确。例如：分别输入n值和m值：16 ，-2，运行结果如图所示，图中显示了每一步的值及端点误差。由上图可知：1. 在右端x=1点处的截断误差E(h)=|yn - y(1)|，经典Runge-Kutta算法误差为0.000001，显式四阶Adams算法为0.000023。由此可得，在误差精度上经典Runge-Kutta算法要比显式四阶Adams算法好。2. 由变换公式知，经典Runge-Kutta算法误差整体截断误差为O（h4），局部截断误差为O(h5)，显式四阶Adams算法局部截断误差也为O(h5)。对于去掉显式四阶Adams算法的单纯的经典Runge-Kutta算法，输入等分数n和参数值m：16，-100，可有以下图示:分析：经典Runge-Kutta方法：它的绝对稳定区间为（-2.785,0），必须取足够小的步长，使落在绝对稳定区域内，数值解才具有数值稳定性，而从上可知，h=1/16,=-100,可知