事件的相互独立性..ppt

事件的相互独立性 复习回顾 什么叫做互斥事件 什么叫做对立事件 两个互斥事件A B有一个发生的概率公式是什么 不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件 如果两个互斥事件至少有一个发生 这样的两个互斥事件叫对立事件 P A B P A B P A P 1 一 条件概率的概念 一般地 若有两个事件A和B 在已知事件B发生的条件下考虑事件A发生的概率 则称此事件为B已发生的条件下A的条件概率 记作 P A B 二 条件概率的计算 复习 一般地 这意味着 事件B的发生对事件A发生的概率有影响 然而 在有些情形下又会出现 因为 抛掷一枚质地均匀的硬币两次 在第一次出现正面向上的条件下 第二次出现正面向上的概率是多少 引例 盒中有5个球其中有3个绿的2个红的 每次取一个有放回的取两次 设事件A 第一次取到绿球 事件B 第二次取到红球 求P A P B P B A P AB 事件A对事件B是否有影响 结论 事件A 或B 是否发生对事件B 或A 发生的概率没有影响 一般地 若事件A B满足P B A P B 则称事件A B独立 当A B独立时 B A也是独立的 即A与B独立是相互的 注 1 说明 事件A与B相互独立 是指事件A的发生与事件B发生的概率无关 注 2 练习1 判断下列事件是否为相互独立事件 篮球比赛的 罚球两次 中 事件A 第一次罚球 球进了 事件B 第二次罚球 球进了 袋中有三个红球 两个白球 采取不放回的取球 事件A 第一次从中任取一个球是白球 事件B 第二次从中任取一个球是白球 袋中有三个红球 两个白球 采取有放回的取球 事件A 第一次从中任取一个球是白球 事件B 第二次从中任取一个球是白球 性质 1 必然事件 及不可能事件 与任何事件A相互独立吗 证 A A P 1 P A P A 1 P A P P A 即 与A独立 A P 0 P A P 0 P P A 即 与A独立 2 若事件A与B相互独立 则以下三对事件 也相互独立吗 引例 盒中有5个球其中有3个绿的2个红的 每次取一个有放回的取两次 设事件A 第一次取到绿球 事件B 第二次取到红球 事件A对事件B是否有影响 事件A对事件B是否有影响 事件A对事件B是否有影响 2 若事件A与B相互独立 则以下三对事件 也相互独立 证 又 A与B相互独立 注称此为二事件的独立性关于逆运算封闭 如果A B是两个相互独立的事件 那么1 P A P B 表示什么 表示相互独立事件A B中至少有一个不发生的概率 2 独立与互斥的关系 这是两个不同的概念 两事件相互独立 两事件互斥 例如 由此可见两事件相互独立但两事件不互斥 两事件相互独立 两事件互斥 由此可见两事件互斥但不独立 又如 两事件相互独立 两事件互斥 可以证明 特殊地 A与B独立 A与B相容 不互斥 或 A与B互斥 A与B不独立 证 若A与B独立 则 即A与B不互斥 相容 若A与B互斥 则AB B发生时 A一定不发生 这表明 B的发生会影响A发生的可能性 造成A不发生 即B的发生造成A发生的概率为零 所以A与B不独立 理解 例1 从一副扑克牌 张 中任抽一张 设 抽得老 抽得红牌 抽到 判断下列事件是否相互独立 是否互斥 是否对立 与 与 A B互为独立事件 A C互斥而不对立 不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件 如果事件A 或B 是否发生对事件B 或A 发生的概率没有影响 这样的两个事件叫做相互独立事件 P A B P A P B P A B P A P B 互斥事件A B中有一个发生 记作A B 相互独立事件A B同时发生记作A B 例2 生产一种零件 甲车间的合格率是96 乙车间的合格率是97 从它们生产的零件中各抽取1件 都抽到合格品的概率是多少 解 设从甲车间生产的零件中抽取1件得到合格品为事件A 从乙车间抽取一件得到合格品为事件B 那么 2件都是合格品就是事件A B发生 又事件A与B相互独立 所以抽到合格品的概率为 答 抽到合格品的概率是 例3甲 乙2人各进行1次射击 如果2人击中目标的概率都是0 6 计算 1 2人都击中目标的概率 2 其中恰有1人击中目标的概率 3 至少有1人击中目标的概率 解 1 记 甲射击1次 击中目标 为事件A 乙射击1次 击中目标 为事件B 由于甲 或乙 是否击中 对乙 或甲 击中的概率是没有影响的 因此A与B是相互独立事件 又 两人各射击1次 都击中目标 就是事件A B发生 根据相互独立事件的概率乘法公式 得到 P A B P A P B 0 6 0 6 0 36 答 例3甲 乙2人各进行1次射击 如果2人击中目标的概率都是0 6 计算 2 其中恰有1人击中目标的概率 例3甲 乙2人各进行1次射击 如果2人击中目标的概率都是0 6 计算 3 至少有1人击中目标的概率 解法2 两人都未击中目标的概率是 因此 至少有1人击中目标的概率 4 目标被击中的概率 解题步骤 1 用恰当的字母标记事件 如 XX 记为A YY 记为B 2 理清题意 判断各事件之间的关系 等可能 互斥 互独 对立 关键词如 至多 至少 同时 恰有 求 至多 至少 事件概率时 通常考虑它们的对立事件的概率 3 寻找所求事件与已知事件之间的关系 所求事件 分几类 考虑加法公式 转化为互斥事件 还是分几步组成 考虑乘法公式 转化为互独事件 4 根据公式解答 练习1 课本P551 问 A B C是否相互独立 1 三事件两两相互独立的概念 二 多个事件的独立性 定义 课外阅读 2 三事件相互独立的概念 定义1 10 A B C两两相互独立 A B C相互独立 附1 用数学符号语言表示下列关系 若A B C为相互独立事件 则 A B C同时发生 A B C都不发生 A B C中恰有一个发生 A B C中至少有一个发生的概率 A B C中至多有一个发生 A B C 例4 在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关 只要其中有1个开关能够闭合 线路就能正常工作 假定在某段时间内每个开关闭合的概率都是0 7 计算在这段时间内线路正常工作的概率 由题意 这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响 所以这段事件内线路正常工作的概率是 答 在这段时间内线路正常工作的概率是0 973 解 分别记这段时间内开关能够闭合为事件A B C 根据相互独立事件的概率乘法式这段时间内3个开关都不能闭合的概率是 一个元件能正常工作的概率r称为该元件的可靠性 由多个元件组成的系统能正常工作的概率称为系统的可靠性 今设所用元件的可靠性都为r 0 r 1 且各元件能否正常工作是互相独立的 试求各系统的可靠性 P1 r2 P2 1 1 r 2 P3 1 1 r2 2 P4 1 1 r 2 2 1 有4名学生参加体育达标测验 4人各自合格的概率分别是 求 1 四人中至少有二人合格的概率 2 四人中恰好只有二人合格的概率 2 在某段时间内 甲地下雨的概率是0 2 乙地下雨的概率是0 3 假定在这段时间内两地是否下雨相互之间没有影响 计算在这段时间内 两地都不下雨的概率 练习 设A1 A2 An为n个事件 若对于任意k 1 k n 及1 i1 i2 ik n 3 n个事件的独立性 定义 若事件A1 A2 An中任意两个事件相互独立 即对于一切1 i j n 有 定义 两个结论 n个独立事件和的概率公式 设事件相互独立 则 也相互独立 即n个独立事件至少有一个发生的概率等于1减去各自对立事件概率的乘积 结论的应用 则 至少有一个发生 的概率为 P A1 An 1 1 p1 1 pn 类似可以得出 1 p1 pn 若每个人血清中含有肝炎病毒的概率为0 4 假设每个人血清中是否含有肝炎病毒相互独立 混合100个人的血清 求此血清中含有肝炎病毒的概率 解 则 例3 依题设 1 射击时 甲射10次可射中8次 乙射10次可射中7次 则甲 乙同时射中同一目标的概率为 2 甲袋中有5球 3红 2白 乙袋中有3球 2红 1白 从每袋中任取1球 则至少取到1个白球的概率是 3 甲 乙二人单独解一道题 若甲 乙能解对该题的概率分别是m n 则此题被解对的概率是 m n mn 4 有一谜语 甲 乙 丙猜对的概率分别是1 5 1 3 1 4 则三人中恰有一人猜对该谜语的概率是 7 在100件产品中有4件次品 从中抽2件 则2件都是次品概率为 从中抽两次 每次1件则两次都抽出次品的概率是 不放回抽取 从中抽两次 每次1件则两次都抽出次品的概率是 放回抽