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山一样沉稳 水一样灵动2016年高考全国卷数学试题评析湖北省襄阳市第一中学（441000） 王勇（特级教师）2016年高考全国卷数学试题秉承了2015年的特点，难度进一步趋于稳定，在各种题型的命题中对很多知识点的考查与2015年大体相同，如选填题中对集合、复数、概率、三视图、程序框图、圆锥曲线的几何性质、平面向量的基本运算、三角函数的图象和性质、函数的图象的考查.在解答题中，仍然秉承第17题三角与数列轮流命题的特点，第19题是从统计出发的概率统计题，第20题考查直线和圆锥曲线的位置关系，第21题考查函数的零点问题，后面的三选一的题目无论是难度还是题型基本与2015年保持一致.当然，2016年数学试题仍呈现出很多创新，总体特点是注重基础性，突出综合性和创新性，强化应用意识，深入考查理性思维和重要的数学思想方法.一、对选择题的评析理科选择题第1题考查一元二次不等式、一元一次不等式的解法与集合的交集运算；第2题考查两复数相等的充要条件及复数模的概念；第3题考查等差数列的性质、通项公式、前项和公式；第4题考查几何概型概率的求法；第5题考查双曲线的标准方程及双曲线的几何性质的应用；第6题考查空间几何体的三视图、球的体积及表面积；第7题考查导数的应用、函数的图象和性质；第8题考查不等式的性质，对数函数、幂函数的性质，对数换底公式，指数幂的运算性质；第9题考查程序框图；第10题考查抛物线、圆的标准方程；第八题考查空间几何体中线面的位置关系、空间两直线所成的角、特殊角的三角函数值；第12题考查三角函数的对称性、单调性、函数的零点等.文科选择题第1题考查集合的交集运算；第2题考查复数的乘法运算和复数的有关概念；第3题考查古典概型概率的求法；第4题考查余弦定理、解三角形；第5题考查直线与椭圆的位置关系、椭圆离心率的求法；第6题考查三角函数的周期和函数图象的平移变换；第7题同理科第6题；第8题考查对数式的运算，对数函数、幂函数及指数函数的单调性；第9题同理科第7题；第10题同理科第9题；第11题同理科第11题；第12题考查利用导数研究函数的单调性、不等式的恒成立问题.其中文理科共用的函数图象题、立体几何动态探究题、文科第12题、理科第12题颇有研讨价值，下面分别解析，供研读.例1（理科第7题文科第9题）函数上的图象大致为（ ）解析：利用导数研究函数上的图象，利用排除法求解.是偶函数，又，故排除设，则，又，内至少存在一个极值点，内至少存在一个极值点，排除故选点评：本题考查导数、函数的图象和性质.考查考生的识图能力，分析、解决问题的能力.例2（理科第11题文科第11题）平面过正方体的顶点，则所成角的正弦值为（ ） 图1解析：如图1，过点补作一个与正方体相同棱长的正方体，易知平面为平面，则所成的角为，因为为正三角形，所以，故选点评：本题考查空间几何体中线、面的位置关系，空间两直线所成的角，特殊角的三角函数等知识，意在考查考生的空间想象能力以及建模能力.例3（文科第12题）若函数上单调递增，则的取值范围是（ ） 解析：函数上单调递增，等价于上恒成立.设，则上恒成立，所以，解得故选点评：本题考查函数的单调性、导数的应用、二次函数与三角函数相交汇的不等式恒成立问题等知识，意在考查考生的数形结合能力、化归与转化能力以及运算求解能力.例4（理科第12题）已知函数，的零点，图象的对称轴，且上单调，则的最大值为（ ） 解析：先根据函数的零点及图象的对称轴，求出满足的关系式，再根据函数上单调，则区间的长度不大于函数周期的，然后结合计算的最大值.由题意，得，两式相减，得上单调，即，解得若，则，此时，上单调递增，在上单调递减，不满足条件.若，则，此时，满足上单调的条件.故选点评：本题考查函数的图象和性质，考查逻辑推理能力、运算求解能力及分析解决问题的能力.二、对填空题的评析理科填空题第13题考查平面向量的模、平面向量的坐标运算；第14题考查二项式定理；第15题考查等比数列、二次函数的最值及指数函数的性质；第16题考查线性规划的实际应用.文科填空题第13题考查平面向量垂直的条件、平面向量的数量积运算；第14题考查三角恒等变换、同角三角函数的基本关系式、诱导公式；第15题考查直线与圆的位置关系、圆的面积；第16题同理科第16题.其中理科第15题、文理科共用的第16题值得认真研究和品味.例5（理科第15题）设等比数列满足，则的最大值为_.解析：利用等比数列通项公式求出首项与公比，再将的最值问题利用指数幂的运算法则转化为二次函数的最值问题.设等比数列的公比为，则由，知又故记，结合可知，当时，有最大值6.又为增函数，从而的最大值为点评：本题考查等比数列的通项公式、二次函数的最值及指数函数的性质.考查推理论证能力及运算求解能力.例6（理科第16题文科第16题）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料，乙材料，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料，乙材料，用3个工时.生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料，乙材料，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为_元.图2解析：设出产品A,B的产量，列出产品A,B的产量满足的约束条件，转化为线性规划问题求解.设生产产品A件，产品B件，则目标函数作出可行域为图2中的阴影部分（包括边界）内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为当直线经过点时，取得最大值，（元）.点评：本题考查线性规划的实际应用，考查数学建模思想，分析、解决实际问题的能力以及运算求解能力.三、对解答题的评析1.理科三角题、文科数列题平平淡淡考功底理科第17题三角题考查正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式，穿插考查三角恒等变换，平淡无奇；文科第17题数列题考查等差数列、等比数列的通项公式及前项和公式，过于常规.这两道题考生平时训练较多，顺利求解当不成问题，有助于考生稳定情绪， 激发考生的解题兴趣.2.立体几何题别出心裁添新意理科题主要考查面面垂直的证明及二面角的余弦值的求解，意在考查考生的空间想象能力和运算求解能力，创新之处在于题设中“二面角与二面角都是”的破译和有效传接.文科题考查线线垂直、线面垂直的判定与性质，正投影、体积公式，创新之处在于将作图并说明作法及理由引入题中，文科考生极不适应.3.概率统计题想说爱你不容易理科题考查柱状图、相互独立事件与互斥事件的概率、随机变量的分布列及数学期望.文科题考查分段函数、柱状图、频率的概念及平均数的求解.该题得分率偏低，主要是考生理解题意有困难，数据处理能力及运算求解能力较弱，不少考生考场上陷入其中难以自拔，严重影响了后面大题的求解和全卷的顺利完成.4.解析几何题精打细算合情理理科题考查椭圆的定义、直线与椭圆的位置关系，几何味浓，计算量控制恰当，是一道深受考生欢迎的优秀试题.文科题考查直线与抛物线的位置关系，画出图形引领解题乃明智之举，本题难易适中，符合文科考生的数学实际，但不少文科考生因畏惧解析几何而全题放弃，令人惋惜！5.函数与导数题分段得分巧智取理科题考查导数的四则运算，函数的零点，不等式的证明.文科题考查导数的运算，函数的单调性，函数的零点.该题对多数考生而言，难度偏大，完整解答实属不易，聪明的做法是尽可能分段多得几分，整题放弃并不可取.6.三选一选考题