圆锥曲线的综合应用.ppt

第十一单元直线与圆 圆锥曲线与方程 第79讲 圆锥曲线的综合应用 掌握探究与圆锥曲线相关的最值问题 定点与定值问题 参变数取值范围问题的基本思想与方法 培养并提升运算能力和思维能力 1 已知 R 则不论 取何值 曲线C x2 x y 1 0恒过定点 D A 0 1 B 1 1 C 1 0 D 1 1 由 x2 x y 1 0 得 x2 y x 1 0 x2 y 0 x 1x 1 0y 1 可知不论 取何值 曲线C过定点 1 1 依题设 即 2 已知k R 直线y kx 1与椭圆 1恒有公共点 则实数m的取值范围是 1 5 5 由于直线y kx 1过定点P 0 1 则当P 0 1 在椭圆上或椭圆内时 直线与椭圆恒有公共点 因此m 且m 5 求得m 1 5 5 3 双曲线x2 y2 4上一点P x0 y0 在双曲线的一条渐近线上的射影为Q 已知O为坐标原点 则 POQ的面积为定值 1 如图 双曲线x2 y2 4的两条渐近线为y x 即x y 0 又 PQ PR 所以S POQ PQ PR 1 4 已知定点A 2 3 F是椭圆 1的右焦点 M为椭圆上任意一点 则 AM 2 MF 的最小值为 6 由于点A在椭圆内 过M点作椭圆右准线x 8的垂线 垂足为B 由椭圆第二定义 得2 MF MB 则 AM 2 MF AM BM 当A B M三点共线且垂直于准线时 AM 2 MF 的最小值为6 1 基本概念在圆锥曲线中 还有一类曲线系方程 对其参数取不同值时 曲线本身的性质不变 或形态发生某些变化 但其某些固有的共同性质始终保持着 这就是我们所指的定值问题 而当某参数取不同值时 某几何量达到最大或最小 这就是我们指的最值问题 曲线遵循某种条件时 参数有相应的允许取值范围 即我们指的参变数取值范围问题 2 基本求法解析几何中的最值和定值问题是以圆锥曲线与直线为载体 以函数 不等式 导数等知识为背景 综合解决实际问题 其常用方法有两种 1 代数法 引入参变量 通过圆锥曲线的性质 及曲线与曲线的交点理论 韦达定理 方程思想等 用变量表示 计算 最值与定值问题 再用函数思想 不等式方法得到最值 定值 2 几何法 若问题的条件和结论能明显的体现几何特征 利用图形性质来解决最值与定值问题 在圆锥曲线中经常遇到求范围问题 这类问题在题目中往往没有给出不等关系 需要我们去寻找 对于圆锥曲线的参数的取值范围问题 解法通常有两种 当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义时 可考虑利用数形结合法求解或构造参数满足的不等式 如双曲线的范围 直线与圆锥曲线相交时 0等 通过解不等式 组 求得参数的取值范围 当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系时 则可先建立目标函数 进而转化为求解函数的值域 题型一定点问题 例1 已知A 1 0 B 1 0 P是平面上一动点 且满足 1 求点P的轨迹C的方程 2 已知点M m 2 在曲线C上 过点M作直线l1 l2与C交于D E两点 且l1 l2的斜率k1 k2满足k1k2 2 求证 直线DE过定点 并求此定点 1 设P x y 则 1 x y 1 x y 2 0 2 0 因为 所以 2 2 x 1 即y2 4x 所以点P的轨迹C的方程为y2 4x 2 证明 由 1 知M 1 2 设D y1 E y2 所以k1k2 2 整理得 y1 2 y2 2 8 kDE k 所以y1 y2 由 知y1y2 4 所以直线DE的方程为y y1 x 整理得4x y1 y2 y y1y2 0 即4x y 4 0 即 x 1 k y 2 0 所以直线DE过定点 1 2 与圆锥曲线有关的定点问题的探求一般途径是恰当引入参变量 将题设转化为坐标关系式 然后通过分析参变量取符合题设条件的任何一个值时 坐标关系式恒成立的条件 而获得定点坐标 题型二定值问题 例2 如图 F1 3 0 F2 3 0 是双曲线C的两焦点 其一条渐近线方程为y x A1 A2是双曲线C的两个顶点 点P是双曲线C右支上异于A2的一动点 直线A1P A2P交直线x 分别于M N两点 1 求双曲线C的方程 2 求证 是定值 1 由已知 c 3 又c2 a2 b2 所以a 2 b 5 所求双曲线C的方程为 1 2 证明 设P的坐标为 x0 y0 M N的纵坐标分别为y1 y2 因为A1 2 0 A2 2 0 所以 x0 2 y0 x0 2 y0 y1 y2 因为与共线 所以 x0 2 y1 y0 y1 同理y2 因为 y1 y2 所以 y1y2 10 为定值 题型三范围与最值问题 例3 设F1 F2分别是椭圆 y2 1的左 右焦点 1 若P是该椭圆上的一个动点 求的最大值与最小值 2 设过定点M 0 2 的直线l与椭圆交于不同的两点A B 且 AOB为锐角 其中O为坐标原点 求直线l的斜率k的取值范围 1 由方程易知a 2 b 1 c 3 所以F1 0 F2 0 设P x y 则 x y x y x2 y2 3 x2 1 3 3x2 8 因为x 2 2 所以0 x2 故的最大值为1 最小值为 2 2 显然直线x 0不满足题设条件 可设直线l y kx 2 A x1 y1 B x2 y2 y kx 2 y2 1 消去y 整理得 k2 x2 4kx 3 0 所以x1 x2 x1x2 由 4k 2 4 k2 3 4k2 3 0 解得k 或k 联立方程组 又0 0 得 0 所以 x1x2 y1y2 0 又y1y2 kx1 2 kx2 2 k2x1x2 2k x1 x2 4 4 所以 0 即k2 4 结合 知 k的取值范围是 2 2 圆锥曲线中求最值与范围问题是高考题中的常考问题 解决此类问题 一般有两个思路 1 构造关于所求量的不等式 通过解不等式来获得问题的解 如本题第 2 问 2 构造关于所求量的函数 通过求函数的值域来获得问题的解 如本题第 1 问 在解题的过程中 一定要深刻挖掘题目中的隐含条件 如判别式大于零等 抛物线有光学性质 由其焦点射出的光线经抛物线折射后 沿平行于抛物线的对称轴的方向射出 今有抛物线y2 2px p 0 一光源在点M 4 处 由其发出的光线沿平行于抛物线的对称轴的方向射向抛物线上的点P 折射后又射向抛物线上的点Q 再折射后 又沿平行于抛物线的对称轴的方向射出 途中遇到直线l 2x 4y 17 0上的点N 再折射后又射回点M 1 设P Q两点的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 证明 y1y2 p2 2 求抛物线的方程 3 试判断在抛物线上是否存在一点 使该点与点M关于PN所在的直线对称 若存在 请求出此点的坐标 若不存在 请说明理由 1 证明 由抛物线的光学性质及题意知 光线PQ必过抛物线的焦点F 0 设直线PQ的方程为y k x 由 式得x y 将其代入抛物线的方程y2 2px中 整理得y2 y p2 0 由韦达定理得y1y2 p2 当直线PQ的倾斜角为90 时 将x 代入抛物线方程得y p 同样得到y1y2 p2 2 设光线QN经直线l反射后又射向M点 所以直线MN与直线QN关于直线l对称 设点M 4 关于l的对称点为M x y 1x 17 0y 1 则 解得 直线QN的方程为y 1 Q点的纵坐标为y2 1 由题设P点的纵坐标为y1 4 由 1 知y1y2 p2 则4 1 p2得p 2 故所求抛物线的方程为y2 4x 3 将y 4代入y2 4x得x 4 故P点的坐标为 4 4 将y 1代入直线l的方程2x 4y 17 0 得x 故N点的坐标为 1 由P N两点坐标得直线PN的方程为2x y 12 0 设M点关于直线NP的对称点M1 x1 y1 2 1x1 12 0y1 1 即M1 1 的坐标是抛物线方程y2 4x的解 故抛物线上存在一点 1 与点M关于直线PN对称 则 解得 本题是一道与物理中的光学知识相结合的综合性题目 考查了学生理解问题 分析问题 解决问题的能力 对称问题是直线方程的一个重要应用 对称问题常有 点关于直线对称 直线关于直线对称 圆锥曲线关于直线对称 圆锥曲线关于点对称问题 但解题方法是一样的 1 若探究直线或曲线过定点 则直线或曲线的表示一定含有参变数 即直线系或曲线系 可将其方程变式为f x y g x y 0 其中 为参变数 由f x y 0g x y 0确定定点坐标 2 在几何问题中 有些几何量与参变数无关 即定值问题 这类问题求解策略是通过应用赋值法找到定值 然后将问题转化为代数式的推导 论证定值符合一般情形 3 解析几何中的最值问题 或数形结合 利用几何性质求得最值 或依题设条件列出所求最值关于某个变量的目标函数 然后应用代数方法求得最值 2007 江西卷 设椭圆 1 a b 0 的离心率为e 右焦点为F c 0 方程ax2 bx c 0的两个实根分别为x1和x2 则点P x1 x2 必在圆x2 y2 2内B 必在圆x2 y2 2上C 必在圆x2 y2 2外D 以上三种情形都有可能 A 椭圆的离心率为e 故a 2c b c 代入ax2 bx c 0 得2x2 3x 1 0 所以x1 x2 x1x2 故P x1 x2 到圆心 0 0 的距离 d 2 所以点P在圆内 故选A 2009 浙江卷 已知椭圆C1 1 a b 0 的右顶点为A 1 0 过C1的焦点且垂直长轴的弦长为1 1 求椭圆C1的方程 2 设点P在抛物线C2 y x2 h h R 上 C2在点P处的切线与C1交于点M N 当线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时 求h的最小值 b 1a 22 1b 1 因此 所求的椭圆方程为 x2 1 2 设M x1 y1 N x2 y2 P t t2 h 则抛物线C2在点P处的切线斜率为y x t 2t 直线MN的方程为 y 2tx t2 h 将上式代入椭圆C1的方程中 得4x2 2tx t2 h 2 4 0 即4 1 t2 x2 4t t2 h x t2 h 2 4 0 1 由题意 得 从而 因为直线MN与椭圆C1有两个不