平面向量应用举例.ppt

第四节平面向量应用举例 1 向量在平面几何中的应用 1 平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行 垂直 平移 全等 相似 长度 夹角等问题 2 用向量解决常见平面几何问题的技巧 a b b 0 x1y2 x2y1 0 a b 0 x1x2 y1y2 0 3 用向量方法解决平面几何问题的步骤 2 平面向量在物理中的应用 1 由于物理学中的力 速度 位移都是矢量 它们的分解与合成和向量的减法和加法相似 可以用向量的知识来解决 2 物理学中的功是一个标量 是力F与位移s的数量积 即W F s F s cos 为F与s的夹角 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 若则A B C三点共线 2 解析几何中的坐标 直线平行 垂直 长度等问题都可以用向量解决 3 实现平面向量与三角函数 平面向量与解析几何之间的转化的主要手段是向量的坐标运算 4 在 ABC中 若则 ABC为钝角三角形 解析 1 正确 因为有相同的起点A 故A B C三点共线 故正确 2 正确 解析几何中的坐标 直线平行 垂直 长度等问题可利用向量的共线 数量积 模等知识解决 故正确 3 正确 由于向量的坐标把数和形结合在一起 所以在向量的应用中 坐标运算起到 桥梁 的作用 4 错误 由可得角B为锐角 但三角形的形状不能判定 故不正确 答案 1 2 3 4 1 一质点受到平面上的三个力F1 F2 F3 单位 牛顿 的作用而处于平衡状态 已知F1 F2成60 角 且F1 F2的大小分别为2和4 则F3的大小为 解析 选D F3 2 F1 2 F2 2 2 F1 F2 cos60 28 所以 F3 选D 2 若不重合的四点P A B C 满足则实数m的值为 A 2 B 3 C 4 D 5 解析 3 在 ABC中 C 90 且CA CB 3 点M满足等于 A 2 B 3 C 4 D 6 解析 选B 由题意可知 4 在 ABC中 已知向量满足则 ABC为 A 等边三角形 B 直角三角形 C 等腰非等边三角形 D 三边均不相等的三角形 解析 选A 由知 ABC为等腰三角形 且AB AC 由知 60 所以 ABC为等边三角形 故选A 5 在平面直角坐标系xOy中 若定点A 1 2 与动点P x y 满足则点P的轨迹方程是 解析 由得 x y 1 2 4 得x 2y 4 即x 2y 4 0 答案 x 2y 4 0 考向1向量在平面几何中的应用 典例1 1 平面上O A B三点不共线 设则 OAB的面积等于 2 若等边 ABC的边长为平面内一点M满足 思路点拨 1 先求出cos a b 再求出sin a b 求出三角形的面积化简即可 2 一种方法是建立平面直角坐标系 将问题转化为向量的坐标运算即可 另一种方法是将表示 然后用数量积的定义计算 规范解答 1 选C 由条件得 2 方法一 以BC的中点为原点 BC所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系 根据题设条件可知A 0 3 B 0 C 0 答案 2 拓展提升 平面几何问题的向量解法 1 坐标法 把几何图形放在适当的坐标系中 就赋予了有关点与向量具体的坐标 这样就能进行相应的代数运算和向量运算 从而使问题得到解决 2 基向量法 适当选取一组基底 沟通向量之间的联系 利用向量共线构造关于未知量的方程来进行求解 提醒 用坐标法解题时 建立适当的坐标系是解题的关键 用基向量解题时要选择适当的基底 变式训练 1 如图 O A B是平面上的三点 向量设P为线段AB的垂直平分线CP上任意一点 向量若 a 4 b 2 则p a b A 8 B 6 C 4 D 0 解析 选B 知 p b p a p b 2 p a 2 p2 2p b b2 p2 2p a a2 得2p a 2p b a2 b2 16 4 12 p a b 6 2 2013 重庆模拟 在直角梯形ABCD中 AB CD AD AB B AB 2CD 2 M为腰BC的中点 则 A 1 B 2 C 3 D 4 解析 选B 如图 以点A为原点 以AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系 由题意知B 2 0 D 0 1 C 1 1 考向2向量在三角函数中的应用 典例2 1 2012 陕西高考 设向量a 1 cos 与b 1 2cos 垂直 则cos2 等于 2 2013 保定模拟 已知点A 1 1 B 1 1 C cos sin R O为坐标原点 若求sin2 的值 若实数m n满足求 m 3 2 n2的最大值 思路点拨 1 由向量垂直关系 可计算cos2 的值 2 由得到关于 的关系式 两边平方可求解 用含 的关系式表示m n 然后转化为三角函数的最值问题求解 规范解答 1 选C 已知a 1 cos b 1 2cos a b a b 0 1 2cos2 cos2 0 故选C 互动探究 在本例题 2 的第 小题中 若将条件 改为 则如何解答 解析 拓展提升 向量与三角函数综合题的答题策略 1 当题目条件中给出的向量坐标中含有三角函数 并且求有关的三角函数问题 解题时首先利用向量相等 共线或垂直等将问题转化为三角函数的关系式 然后利用三角函数的知识解决 2 当题目条件中给出的向量坐标中含有三角函数 并且求向量的模或其他向量的表达形式 解题时要通过向量的运算 将问题转化为三角函数的有界性 求得最值 或值域 变式备选 1 已知向量a cos 2 b sin 1 且a b 则2sin cos 等于 解析 选D 由a b得cos 2sin 2 已知A B C的坐标分别为A 3 0 B 0 3 C cos sin 若求角 的值 若的值 解析 cos 3 sin cos sin 3 cos 3 2 sin2 10 6cos cos2 sin 3 2 10 6sin 即10 6cos 10 6sin 得sin cos 又 由得 cos 3 cos sin sin 3 1 sin cos 两边分别平方 得1 2sin cos 2sin cos 考向3向量在解析几何中的应用 典例3 1 已知两点M 3 0 N 3 0 点P为坐标平面内一动点 且则动点P x y 到点M 3 0 的距离d的最小值为 A 2 B 3 C 4 D 6 2 在平行四边形ABCD中 A 1 1 6 0 点M是线段AB的中点 线段CM与BD交于点P 若 3 5 求点C的坐标 当时 求点P的轨迹 思路点拨 1 先判断点P的轨迹 然后根据点M的特点求解 2 设出点C的坐标 根据可得所求 设出点P的坐标 x y 由条件得四边形ABCD为菱形 根据可求得x y间的关系 即得点P的轨迹方程 进而可得轨迹 规范解答 1 选B 因为M 3 0 N 3 0 所以化简得y2 12x 所以点M是抛物线y2 12x的焦点 所以点P到点M的距离的最小值就是原点到M 3 0 的距离 所以dmin 3 2 设点C的坐标为 x0 y0 又 3 5 6 0 9 5 即 x0 1 y0 1 9 5 x0 10 y0 6 即点C 10 6 设P x y 则 x 1 y 1 6 0 x 7 y 1 x 7 y 1 3x 9 3y 3 0 即 x 7 3x 9 y 1 3y 3 0 x2 y2 10 x 2y 22 0 即 x 5 2 y 1 2 4 又当y 1时 点P在AB上 与题意不符 故点P的轨迹是以 5 1 为圆心 2为半径的圆且去掉与直线y 1的两个交点 拓展提升 向量在解析几何中的 两个 作用 1 载体作用 向量在解析几何问题中出现 多用于 包装 解决此类问题的关键是利用向量的意义 运算脱去 向量外衣 导出曲线上点的坐标之间的关系 从而解决有关距离 斜率 夹角 轨迹 最值等问题 2 工具作用 利用a b a b 0 a b为非零向量 a b a b b 0 可解决垂直 平行问题 特别地 向量垂直 平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直 平行问题是一种比较可行的方法 变式训练 已知点A 1 0 B 1 0 动点M的轨迹C满足的值 并写出轨迹C的方程 解析 设M x y 在 MAB中 AB 2 AMB 2 根据余弦定理得 因此点M的轨迹是以A B为焦点的椭圆 去掉x轴上的两点 a 2 c 1 所以轨迹C的方程为 易错误区 忽视分类讨论思想的运用致误 典例 2013 衡阳模拟 已知向量 1 若 ABC为直角三角形 求k值 2 若 ABC为等腰直角三角形 求k值 误区警示 解答本题时容易出现以下错误 1 解决第 1 问时容易误认为只有 A为直角 从而导致解答不完整 2 解决第 2 问时不知在上一问的基础上进行 没有分类验证 导致无法解题或结果错误 规范解答 2 k 1 1 k 0 解得k 1 若 B 90 则 2 k 1 k 1 k 1 0 得k2 2k 3 0 无解 若 C 90 则 1 k k 1 k 1 0 得k2 2k 1 0 解得综上所述 当k 1时 ABC是以A为直角顶点的直角三角形 当时 ABC是以C为直角顶点的直角三角形 2 当k 1时 综上所述 当k 1时 ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形 思考点评 1 向量共线 向量的模 向量的数量积设a x1 y1 b x2 y2 则a b x1y2 x2y1 a b x1x2 y1y2 0 a b为非零向量 2 向量数量积的作用向量数量积在几何中有着广泛的应用 利用向量的数量积可解决长度 夹角和垂直等问题 在应用时要注意数量积的坐标表示与向量共线的坐标表示的区别 在这里容易因为形式上的混淆而导致错误 1 2013 南平模拟 已知a b c为非零的平面向量 甲 a b a c 乙 b c 则甲是乙的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 解析 选B 由a b a c得a b c 0 但不一定得到b c 反之 当b c时 b c 0 可得a b c 0 即a b a c 故甲是乙的必要不充分条件 2 2013 宣城模拟 已知 ABC的顶点坐标为A 3 4 B 2 1 C 4 5 D在边BC上 且S ABC 3S ABD 则AD的长为 解析 选C 由题意知 3 2013 东营模拟 如图 在 ABC中 AB 4 ABC 30 AD是BC边上的高 则的值等于 A 0 B 4 C 8 D 4 解析 选B 因为AD是BC边上的高 所以由AB 4 ABC 30 可得所以 4 2013 德州模拟 已知向量a x2 x 1 b 1 x t 若函数f x a b在区间 1 1 上是增函数 则实数t的取值范围是 解析 f x a b x2 x 1 1 x t x3 x2 tx t f x 3x2 2x t f x a b在区间 1 1 上是增函数 f x 3x2 2x t 0在 1 1 上恒成立 t 3x2 2x在 1 1 上恒成立 而当x 1 1 时 3x2 2x 5 当且仅当x 1时等号成立 t 5 即所求实数t的取值范围是 5 答案 5 1 设向量a与b的夹角为 定义a与b的 向量积 a b是一个向量 它的模 a b a b sin 若a 1 b 1 则 a b 解析 选C 2 已知O是坐标原点 点A 1 1 若点M x y 为平面区域上的一个动点 则的取值范围是 A 1 0