多元函数偏导数的应用.doc

第十讲 多元函数偏导数的应用第十讲 多元函数偏导数的应用一、主要知识点1几何方面的应用（1）空间曲线在某点处的切线和法平面方程1）设空间曲线的参数方程为：，则在对应的曲线上的点处切线方程：，切向量 法平面方程： 2）设空间曲线方程为：，则在对应的曲线上的点处切线方程 ， 切向量 法平面方程 3）设空间曲线方程为：，则在点处的切线方程 ，切向量法平面方程 （2）空间曲面在某点处的切平面及法线方程1）曲面以显式方程给出，则在点处切平面方程 法向量 法线方程 2）曲面以隐式方程给出，在上点处切平面方程，法向量 法线方程 3）切平面法向量的方向余弦 若曲面方程为时，则法向量的方向余弦为， ， 若曲面方程为时，则法向量的方向余弦为,2方向导数与梯度（1）方向导数定义设函数在点的某邻域内有定义，函数自点沿方向的方向导数 ，（2）方向导数的计算若函数在点处可微，则其中为方向的方向角（3）梯度：+ （4）梯度的计算设具有连续的偏导数，则梯度模：， 方向：注意：沿梯度方向的方向导数最大（即变化率最大的方向），且最大方向导数：3多元函数的极值（1）极值的定义 设函数在的某去心邻域内有定义，若有或,，则称是函数的极大值或极小值（2）函数取得极值的必要条件设函数在点的一阶偏导数存在，且是的极值点,则必有（3） 函数取得极值的充分条件设函数在点的某邻域内有连续的二阶偏导数，且，若，则点是函数的极值点（不是极值点）当时，()为极小值点，且极小值是当时，()为极大值点，且极大值是（4）无条件极值（函数中的自变量只受定义域约束的极值问题）求无条件极值的方法 1）求驻点：即求方程组一切实数解；2）判定：利用极值的充分条件定理判别驻点是否为极值点；3）求出极值（5）条件极值（函数中自变量除了受定义域约束以外，还受其它条件限制的极值问题）求条件极值的方法1）化为无条件极值问题求解； 2）利用拉格朗日乘数法（6）函数最值的求法 1）若函数在闭区域上连续，求出在区域内可疑的极值点处的函数值，再求出函数在的边界上的最值（这实际上是一元函数的最值问题），进行比较，最大(小)者为最大(小)值2）若在开区域内函数有唯一极值，则一定就是函数最值3）实际问题的最值求法，首先根据题中条件列出函数式和条件函数式，求出函数的驻点，再根据实际问题的特点，分析此驻点是否是所求的函数最值点二、例题分析1偏导数在几何方面的应用例1求曲面的一个切平面，使此切平面与直线垂直解：设曲面上的切点为，则曲面在该点的法向量为，已知直线的方向向量为，据题意知，因此有 ，所以得 ，从而有 于是切点为，所求切平面方程为 ，即 例2求过点且与曲面的所有切平面皆垂直的平面方程解：曲面上过某点的切平面的法向量为 与上述方向垂直的方向为，因此所求平面方程为，即 例3求曲线在点处的切线的参数方程解：先求出切线的方向向量，曲面法向量为，曲面法向量为，则所求曲线在点处的切向量为，于是曲线在点处的切线方程为 ，因此切线的参数方程为练习题1 求椭球面上平行于平面的切平面方程；（ 切点为及，切平面方程）2求曲线在点处的切线方程及法平面方程 （）2方向导数与梯度例4设有一小山，取它的底面所在的平面为坐标面，其底部所占的区域为 ，小山的高度函数为（1）设为区域上一点，问在该点沿平面上什么方向的方向导数最大？若记此方向导数的最大值为，试写出的表达式（2）现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点，也就是说，要在的边界线上找出（1）中的达到最大值的点试确定攀登起点的位置解：（1）由梯度的几何意义知道，在点处沿梯度方向的方向导数最大，方向导数的最大值为该梯度的模因为所以最大方向导数为；（2）令 ，下面求函数在条件下的最大值点令 ， 由（1）（2）削去得到代入（3）式，得，于是得到四个可能的极值点：，由于，故或可以作为攀登的起点练习题1函数在点处沿抛物线的切线方向的方向导数；（）2求函数在点处的梯度，并问函数在该点处沿什么方向的方向导数取得最大值，并求最大的方向导数（沿着梯度方向的方向导数最大，最大方向导数是梯度的模，即）3求函数极值、最值问题拉格朗日乘数法求函数在条件下的极值：（1）构成拉格朗日函数 ， （为常数） （2）求函数对，对的偏导数，并使之为零，解方程组， 得，其中就是函数在条件下的可能极值点的坐标；（3）如何确定所求点是否为极值点？在实际问题中往往可根据实际问题本身的性质来判定例5在第卦限内作椭球面的切平面，使切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积最小，求切点坐标解： （1）先求切平面方程设切点为，法向量，则切平面方程为，化成截距式，得，因为该切平面在三个坐标轴的截距分别为 ，于是切平面与三个坐标面围成立体的体积为 （2）再求在条件下的最值只要求函数（）在条件下的最值即可设拉格朗日函数解方程组，得，于是当切点的坐标为时，所围立体的体积最小，且最小体积练习题：在椭球面内嵌入一个体积最大的长方体，求出它的棱长和最大体积(当棱长为，时，长方体的体积最大，最大值为)例6求条件极值问题的判别4求闭区域上连续函数的最值（1）先求开区域内的最值；（2）再求区域边界上最值，这是由一元函数或拉格朗日乘数法求出例7求函数在闭区域上最大值和最小值解：（1）先求函数在区域内部的驻点，由，得到驻点对应的函数值，（2）再考虑函数在区域边界上的情形，方法1：讨论在约束条件下条件