2016数学一模新定义题型.docx

新定义题型（2016东城一模）29. 对于平面直角坐标系xOy中的点P和C，给出如下定义：若存在过点P的直线l交C于异于点P的A，B两点，在P，A，B三点中，位于中间的点恰为以另外两点为端点的线段的中点时，则称点P为C 的相邻点，直线l为C关于点P的相邻线.（1）当O的半径为1时，分别判断在点D（，），E（0，-），F（4，0）中，是O的相邻点有_； 请从中的答案中，任选一个相邻点，在图1中做出O关于它的一条相邻线，并说明你的作图过程. 点P在直线上，若点P为O的相邻点，求点P横坐标的取值范围；（2）C的圆心在x轴上，半径为1，直线与x轴，y轴分别交于点M，N，若线段MN上存在C的相邻点P，直接写出圆心C的横坐标的取值范围 图1 备用图1备用图229.解：（1）D,E. 2分连接OD，过D作OD的垂线交O于A，B两点. 4分（2）O的半径为1，所以点P到O的距离小于等于3，且不等于1时时，符合题意. 点P在直线上，. 6分（3）. 8分（2016西城一模)29在平面直角坐标系中，对于点和图形,如果线段与图形无公共点，则称点为关于图形的“阳光点”；如果线段与图形有公共点，则称点为关于图形的“阴影点”（1）如图1，已知点，连接 在，这四个点中，关于线段的“阳光点”是 ； 线段；上的所有点都是关于线段的“阴影点”，且当线段向上或向下平移时，都会有上的点成为关于线段的“阳光点”若的长为4，且点在的上方，则点的坐标为 ；（2）如图2，已知点，与轴相切于点若的半径为，圆心在直线上，且上的所有点都是关于的“阴影点”，求圆心的横坐标的取值范围；（3）如图3，的半径是3，点到原点的距离为5点是上到原点距离最近的点，点和是坐标平面内的两个动点，且上的所有点都是关于的“阴影点”，直接写出的周长的最小值（2016海淀一模）29在平面直角坐标系中，C的半径为r，P是与圆心C不重合的点，点P关于C的限距点的定义如下：若为直线PC与C的一个交点，满足，则称为点P关于C的限距点，右图为点P及其关于C的限距点的示意图 （1） 当O的半径为1时 分别判断点M ，N ，T 关于O的限距点是否存在？若存在，求其坐标； 点D的坐标为（2,0），DE，DF分别切O于点E，点F，点P在DEF的边上.若点P关于O的限距点存在，求点的横坐标的取值范围； （2） 保持（1）中D，E，F三点不变，点P在DEF的边上沿EFDE的方向运动，C的圆心C的坐标为（1,0），半径为r.请从下面两个问题中任选一个作答.温馨提示：答对问题1得2分，答对问题2得1分，两题均答不重复计分.问题1问题2若点P关于C的限距点存在，且随点P的运动所形成的路径长为，则r的最小值为_若点P关于C的限距点不存在，则r的取值范围为_.29解：（1）点M，点T关于的限距点不存在；点N关于的限距点存在，坐标为（1，0）2分点的坐标为(2，0)，半径为1，分别切于点，点，切点坐标为，.3分如图所示，不妨设点的坐标为，点的坐标为，EO，FO的延长线分别交于点，则，设点关于的限距点的横坐标为.当点在线段上时，直线与的交点满足，故点关于的限距点存在，其横坐标满足.5分.当点在线段，（不包括端点）上时，直线PO与O的交点满足或，故点P关于的限距点不存在 .当点与点重合时，直线PO与O的交点满足，故点P关于的限距点存在，其横坐标=1 综上所述，点关于的限距点的横坐标的范围为或=1 6分（2）问题1： 8分问题2：0 r 0）的图象上，且点D的坐标为（1，1），设点O，D，E的最佳外延正方形的边长为，请直接写出的取值范围. 29.解：（1） 16 ； -2分 5或-1 ； -3分（2）以ON为一边在第一象限作正方形OKIN，如图3 点M在正方形OKIN的边界上，抛物线一部分在正方形OKIN内，P是抛物线上一点， 正方形OKIN是点M，N，P的一个面积最小的最佳外延正方形 点M，N，P的最佳外延正方形的面积的最小值是16； 点M，N，P的最佳外延正方形的面积S的取值范围是：S16 -5分 图3 满足条件的点P的横坐标的取值范围是3 -6分（3） -8分（2016丰台一模）29. 如图，点P( x, y1)与Q (x, y2)分别是两个函数图象C1与C2上的任一点. 当a x b时，有-1 y1 - y2 1成立，则称这两个函数在a x b上是“相邻函数”，否则称它们在a x b上是“非相邻函数”. 例如，点P(x, y1)与Q (x, y2)分别是两个函数y = 3x+1与y = 2x - 1图象上的任一点，当-3 x -1时，y1 - y2 = (3x + 1) - (2x - 1) = x + 2，通过构造函数y = x + 2并研究它在-3 x -1上的性质，得到该函数值的范围是-1 y 1，所以-1 y1 - y2 1成立，因此这两个函数在-3 x -1上是“相邻函数”.（1）判断函数y = 3x + 2与y = 2x + 1在2 x 0上是否为“相邻函数”，并说明理由；（2）若函数y = x2 - x与y = x - a在0 x 2上是“相邻函数”，求a的取值范围；（3）若函数y =与y =2x + 4在1 x 2上是“相邻函数”，直接写出a的最大值与最小值.29解：（1）是“相邻函数”. - 1分 理由如下： ，构造函数.在上随着的增大而增大，当时，函数有最大值1，当时，函数有最小值-1，即. - 3分即函数与在上是“相邻函数”.（2），构造函数.,顶点坐标为.又抛物线的开口向上，当时，函数有最小值，当或时，函数有最大值，即，函数与在上是 “相邻函数”，即. - 6分（3）的最大值是2，的最小值1. - 8分 （2016门头沟一模）29如图1，P为MON平分线OC上一点，以P为顶点的APB两边分别与射线OM和ON交于A、B两点，如果APB在绕点P旋转时始终满足OAOB=OP2，我们就把APB叫做MON的关联角图1 图2 图3（1）如图2，P为MON平分线OC上一点，过P作PBON于B，APOC于P，那么APB MON的关联角（填“是”或“不是”）（2） 如图3，如果MON=60，OP=2，APB是MON的关联角，连接AB，求AOB的面积和APB的度数； 如果MON=（090），OP=m，APB是MON的关联角，直接用含有和m的代数式表示AOB的面积（3）如图4，点C是函数（x0）图象上一个动点，过点C的直线CD分别交x轴和y轴于A，B两点，且满足BC=2CA，直接写出AOB的关联角APB的顶点P的坐标 图429（本小题满分8分）解：（1）是1分（2） 如图，过点A作AHOB于点HAPB是MON的关联角，OP=2，OAOB=OP2=4在RtAOH中，AOH=90，SAOB， 3分APB是MON的关联角，OAOB=OP2，即点P为MON的平分线上一点， AOP=BOP=AOPPOBOAP=OPBAPB=OPB+OPA=OAP+OPA=18030=1505分 SAOB6分 （3）P点的坐标为，8分（2016平谷一模）29对于两个已知图形G1，G2，在G1上任取一点P，在G2上任取一点Q，当线段PQ的长度最小时，我们称这个最小长度为G1，G2的“密距”，用字母d表示；当线段PQ的长度最大时，我们称这个最大的长度为图形G1，G2的“疏距”，用字母f表示例如，当，时，点O与线段MN的“密距”为，点O与线段MN的“疏距”为（1）已知，在平面直角坐标系xOy中，点O与线段AB的“密距”为，“疏距”为；线段AB与COD的“密距”为，“疏距”为；（2）直线与x轴，y轴分别交于点E，F，以为圆心，1为半径作圆，当C与线段EF的“密距”0d1时，求C与线段EF的“疏距”f的取值范围备用图29解：（1）；4；2；4（2）当点F在y轴的正半轴时，如图1，EG=1，则EP=2， 当d=0时，f=2；5当d=1时，由OP=1，得到OE=，OF=2，f =2+2，2f2+2.6当点F在y轴的负半轴时， 当d=0时，如图2，f=+1；7当d=1时,如图3，QH=1，则PH=2，RtPHFRtOEF，PF=，OF=+1，+1f+1.综上所述，当0d1时，当点F在y轴的正半轴时，2f2+2，当点F在y轴的负半轴时，+1f0）与x轴，y轴分别交于点E，F，若线段EF与四边形ABCD的“近距离”是1，求它们的“远距离” ；(3)在平面直角坐标系xOy中，有一个矩形GHMN，若此矩形至少有一个顶点在以O为圆心，2为半径的圆上，其余各点可能在圆上或圆内.将四边形ABCD绕着点O旋转一周，在旋转的过程中，它与矩形GHMN的“远距离”的最大值是 ；“近距离”的最小值是 29.解：（1）画图. 1分 “近距离”是 8 . 2分“远距离”是 10 . 3分（2）当EF在矩形ABCD内部时,“近距离”=1,F（0,2）.把F（0,2）代入中,b=2.直线EF的表达式为.E（，0）.EC=,FC=，FC EC“远距离”为 5分当EF在矩形ABCD外部时,由题意可知:E（，0）， F（0,10），EC=, FC=FC EC远距离”为 6分综上所述,“远距离”为或 （3）最大值是 7 7分 最小值是 1 8分（2016大兴一模）29. 设在一个变化过程中有两个变量与，如果对于的每一个值，都有唯一确定的值和它对应，那么就说是的函数，记作.在函数中，当自变量时，相应的函数值可以表示为.例如：函数，当时，在平面直角坐标系中，对于函数的零点给出如下定义：如果函数在的范围内对应的图象是一条连续不断的曲线，并且，那么函数在的范围内有零点，即存在（），使=0，则叫做这个函数的零点，也是方程在范围内的根.例如：二次函数的图象如图所示观察可知：，则.所以函数在范围内有零点. 由于，所以，是的零点，也是方程的根.(1) 观察函数的图象，回答下列问题： _0（“”“”或“=”） 在范围内的零点的个数是 _. （2）已知函数 的零点为 ， 且 .求零点为 ， (用a表示)；在平面直角坐标中，在轴上A, B两点表示的数是零点 ，点 P为线段AB上的一个动点（P点与A、B两点不重合），在 轴上方作等边APM和等边BPN，记线段MN的中点为Q，若是整数，求抛物线的表达式并直接写出线段PQ长的取值范围.29.（1） ； 1分1个 2分（2） x1、x2是零点 令.方程可化简为 .解方程，得 或. x1 x2 ， ，. 4分 x1 1 x2 ， . . a是整数， a = 0 ，所求抛物线的表达式为. 5分线段PQ的长的取值范围为： PQ1. 8（2016延庆毕业）28. 在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y），给出如下定义：如果，那么称点Q为点P的“妫川伴侣”例如：点（5，6）的“妫川伴侣”为点（5，6），点（5，6）的“妫川伴侣”为点（5，6）（1） 点（2，1）的“妫川伴侣”为 ； 如果点A（3，1），B（1，3）的“妫川伴侣”中有一个在函数的图象上，那么这个点是 （填“点A”或“点B”）（2）点（1，2）的“妫川伴侣”点M的坐标为 ； 如果点（m+1，2）是一次函数y = x + 3图象上点N的“妫川伴侣”，求点N的坐标（3）如果点P在函数（2xa）的图象上，其“妫川伴侣”Q的纵坐标y的取值范围是4y4，那么实数a的取值范围是 28. 解：（1）（2，1）；1分 点B2分（2） M（1，2）；3分 当m+10，即m1时，由题意得N（m+1，2） 点N在一次函数y=x+3图象上， m+1+3=2，解得m=2（舍）. 4分当m+10，即m1时，由题意得N（m+1，2）点N在一次函数y=x+3图象上，m+1+3=2，解得m=6. 5分N（5，2）6分（3）2a7分（2016燕山一模）29在平面直角坐标系中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q在图形N上，称线段PQ长度的最小值为图形M，N的密距，记为d(M，N)特别地，若图形M，N有公共点，规定d(M，N)0(1) 如图1，O的半径为2，点A(0，1)，B(4，3)，则d(A，O) ，d(B，O) 已知直线l：与O的密距d(l，O)，求b的值(2) 如图2，C为x轴正半轴上一点，C的半径为1，直线与x轴交于点D，与y轴交于点E，线段DE与C的密距d(DE，C)请直接写出圆心C的横坐标m的取值范围图1图229解：(1) d(A，O)1，d(B，O)3 2分如图，设直线l：与轴，轴分别交于点P，Q，P(，0)，Q(0，)过点O作OHl于点H，OH交O于点G，当时，OQ，PQ，sinOPQ，OHOPsinOPQ 3分 d(l，O)GH，OHOGGH2，