(详细解析)2001年上海高考数学(理科).doc

2001年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1已知，则满足的值为 _【答案】3【解析】时，不合题意，舍去；时，综上可得【点评】本题考查分段函数求值问题，属基本题2设数列的通项为，则_【答案】153【解析】由，解得，所以数列的前3项为负数，则【点评】此题考查学生灵活运用等差数列的前n项和的公式化简求值，是一道基础题3设为双曲线上一动点，为坐标原点，为线段的中点，则点的轨迹方程是_【答案】【解析】设，则，代入双曲线方程得，即为所求【点评】代入法是圆锥曲线问题的常用方法4设集合，则的元素个数为_个【答案】1【解析】由，可得，或，检验知符合题意，时，；时，的元素个数为1个，故答案为1【点评】本题考查集合的化简，考查学生的计算能力，属于基础题5抛物线的焦点坐标为_【答案】【解析】由得，表示顶点在，开口向上的抛物线，故焦点坐标是【点评】本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，求出抛物线的顶点坐标和p是解题的关键6设数列是公比为的等比数列，是它的前项和，若，则此数列的首项的取值范围为_【答案】【解析】若该等比数列是一个递增的等比数列，则不会有极限因此这是一个无穷递缩等比数列设公比为，则，而等比数列前项和，因此，而根据极限的四项运算法则有，因此，解得【点评】本题是中档题，考查等比数列前n项和的极限问题，注意公比的范围，是解题的关键，考查计算能力7某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上的不同选择，则餐厅至少还需要不同的素菜品种_种（结果用数值表示）【答案】7【解析】设素菜种，则，所以的最小值为7【点评】正确应用乘法计数原理，组合数以及不等式运算，为最小正整数8在的展开式中，常数项为_【答案】15【解析】由于，故展开式中，常数项为【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题9设，且，则的取值范围是_【答案】【解析】由题意可得，而表示在区间上余弦值等于的一个角，故答案为 【点评】本题主要考查正弦函数的定义域和值域，反余弦函数的意义，属于中档题10直线与曲线（为参数）的交点坐标是_【答案】【解析】，曲线方程化为，与直线联立，解得或，由，故不合题意，舍去，则直线与曲线的交点坐标为【点评】此题考查了参数方程与普通方程的转化，二倍角的余弦函数公式，以及正弦函数的值域，熟练掌握二倍角的余弦函数公式是解本题的关键11已知两个圆：；，则由式减去式可得上述两个圆的对称轴方程将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而已知命题应成为所推广命题的一个特例，推广的命题为_【答案】设圆方程，（或，则由，得两圆的对称轴方程【解析】将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广：设圆方程，（或），由，得两圆的对称轴方程【点评】本题考查的知识点是类比推理，类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）在解决类似题目时，一定要注意观察原题特点，找到其特征，再类比写结论12据报道，我国目前已成为世界上受荒漠化危害最严重的国家之一左下图表示我国土地沙化总面积在20世纪五六十年代、七八十年代、九十年代的变化情况，由图中的相关信息，可将上述有关年代中，我国年平均土地沙化面积在右下图中图示为_ 【答案】【解析】19501970：土地沙化面积增加了（万平方公里），平均沙化面积为：（万平方千米）（百平方公里）19701990：平均沙化面积为：（万平方千米）（百平方公里）；19902000：平均沙化面积为：（万平方千米）（百平方公里）如上图【点评】本题主要考查了函数的图象与图想的变化，考查了变量的变化与平均变化的基本概念，考查了识图、作图的能力二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分13是直线和直线平行且不重合的A充分非必要条件 B必要非充分条件C充要条件 D既非充分也非必要条件【答案】C【解析】当时，两直线分别为，两直线斜率相等，则平行且不重合；若两直线平行且不重合，则 ，综上所述，是两直线平行且不重合的充要条件故选C【点评】本题以直线为载体，考查四种条件判定两条直线位置关系的时候，注意到直线一般式系数满足的关系式14如图，在平行六面体中，为与的交点，若，则下列向量中与相等的向量是A BC D【答案】A【解析】由题意可得【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，属于基础题15已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，且，则下列命题中的假命题是A若，则 B若，则C若相交，则相交 D若相交，则相交【答案】D【解析】略16用计算器验算函数的若干个值，可以猜想下列命题中的真命题只能是A在上是单调减函数 B的值域为C有最小值 D【答案】D【解析】的导数，当时，；当时，可得函数在上为增函数，在为减函数，最大值，值域为，由此可得A、B、C三项都不正确由极限的运算法则，可得，D项正确【点评】本题给出关于函数的几个结论，要我们找出其中的正确结论，着重考查了利用导数研究函数的单调性、函数的值域求法和极限的运算法则等知识，属于中档题三解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤17（本题满分12分）已知是中的对边，是的面积，若，求的长度【解】， .（4分）于是，或， .（6分）又 .（8分）当时，； . （10分）当时， . （12分）故的长度为或【点评】本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理等知识解三角形，属于基础试题18（本题满分12分）设为椭圆的两个焦点，为椭圆上的一点，已知是一个直角三角形的三个顶点，且，求的值【解】解法一：由已知得.（4分）根据直角的不同位置，分两种情况：若为直角，则，即，得，故； .（9分）若为直角，则，即，得，故. .（12分）解法二：由椭圆的对称性不妨设，则由已知可得 .（4分）根据直角的不同位置，分两种情况：若为直角，则，于是，故；.（9分）若为直角，则，解得，即，于是，故. .（12分）（说明：两种情况，缺少一种扣3分）【点评】本题考查椭圆的定义和标准方程，以及椭圆的简单性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，注意考虑轴时的情况19（本题满分14分）本题有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分在棱长为的正方体中，分别是棱上的动点，且（）求证：；（）当三棱锥的体积取得最大值时，求二面角的大小（结果用反三角函数表示）【解】（I）证明：如图，以为原点建立空间直角坐标系设，则，.（4分）， .（6分）（II）记，则，三棱锥的体积，当且仅当时，等号成立因此，三棱锥的体积取得最大值时，.（10分）过作交于，连，可知是二面角的平面角在直角三角形中，直角边，是斜边上的高，故二面角的大小为 .（14分）【点评】本题考查线线垂直，考查面面角，考查向量知识的运用，考查三棱锥的体积，考查基本不等式的运用，属于中档题20（本题满分14分）本题有2个小题，第1小题满分10分，第2小题满分4分对任意一个非零复数，定义集合（）设是方程的一个根试用列举法表示集合，若在中任取两个数，求其和为零的概率；（）设复数，求证：【解】（）是方程的根，或 .（2分）当时，当时，因此，不论取哪一个值，集合是不变的，即 .（8分）于是， .（10分）（）证明：，存在，使得.（12分）于是对任意，由于是正奇数，所以.（14分）【点评】本题主要考查两个复数代数形式的混合运算，等可能事件的概率求法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题21（本题满分16分）本题有3个小题，第1小题满分2分，第2小题满分6分，第3小题满分8分用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上设用单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数（）试规定的值，并解释其实际意义；（）试根据假定写出函数应该满足的条件和具有的性质；（）设现有单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较省？说明理由【解】（），表示没有用水洗时，蔬菜上的农药量将保持原样.（2分）（）函数应该满足的条件和具有的性质是：，在上单调递减，且 .（8分）（）设仅清洗一次，残留在农药量为，清洗两次后，残留的农药量为， .（12分）则于是，当时，；当时，；当时，因此，当时，清洗两次后残留在农药量较少；当时，两种清洗方法具有相同的效果；当时，一次清洗残留的农药量较少 .（16分）【点评】本小题主要考查函数模型的选择与应用、不等式的解示及比较法比较大小等，属于基础题考查根据实际问题建立数学模型，以及运用函数的知识解决实际问题的能力22（本题满分18分）本题有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分对任意函数，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下：输入数据，经数列发生器输出；若，则数列发生器结束工作；若，则将反馈回输入端，再输出，并依此规律继续下去，现定义（）若输入，则由数列发生器产生数列请写出数列的所有项；（）若要数列发生器产生一个无穷的常数数列