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文档简介

金融工程学公式精选 1 （5-1）该式又称为“折现方程”。进一步有：2 （5-2）该式又称“为收益率曲线”，函数又称为“利率期限结构”。固定t，则是T的函数，是不同到期日T对应的不同即期利率，因此称函数为利率期限结构；另外又可以看成不同到期日的零息收益率，所以（5-2）又称为收益率曲线。 （5-2）固定t，则是T的函数，是不同到期日T对应的不同即期利率，因此称函数为利率期限结构；另外又可以看成不同到期日的零息收益率，所以（5-2）又称为收益率曲线。瞬时利率r可定义为：设是r在t 和T时间间隔内r的平均值，代表无风险中性世界的期望值，则在T时刻收益为N=1的贴现债券的价格为： （5-4） （5-6）其中，z是维纳过程，m(r)和s(r)分别是r的瞬态漂移率和瞬态标准差，我们称该随机微分方程为利率模型。Merton为导出贴现债券价格的模型，假定利率过程是一带漂移率的布朗运动，即： (5-7)其中和为常数，分别表示瞬时均值和瞬时标准差。与股票价格具有长期增长趋势不同。利率具有均值回复的特征，即随着时间的推移，利率呈现出向某个均衡水平收敛的趋势。该模型的结构是： (5-8)这意味着r服从几何布朗运动。该过程具有常数期望增长率和常数波动率。该模型的结构是： (5-9) 其中b和为常数，b表示r的长期均值水平，它是一个临界值：当r与b大小关系不同时，漂移率不同，r也具有不同的运动趋势，从而瞬时利率r围绕b上下波动，体现均值回复的特征。该模型克服了Vaisicek模型的两个缺陷，使得瞬时利率不小于零，瞬时利率的波动率不再是常数，而是r的增函数。该模型的结构是： (5-16) 其中，a0，b和为常数。假设瞬时利率为r，长期利率R，债券的价格是瞬时利率和长期利率的函数。二者可以分别描述为： （5-20） （5-21）利用Ito定理，可求得债券价格的微分方程表达式。同时运用Ito定理，得到瞬时利率及瞬时利率波动率的随机方程，即： （5-22
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