高数上册第三章第一节中值定理.ppt

第三章 中值定理 应用 研究函数性质及曲线性态 利用导数解决实际问题 罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 泰勒公式 第三节 微分中值定理 与导数的应用 一 罗尔 Rolle 定理 第一节 二 拉格朗日中值定理 三 柯西 Cauchy 中值定理 中值定理 第三章 一 罗尔 Rolle 定理 满足 1 在区间 a b 上连续 2 在区间 a b 内可导 3 f a f b 使 证 故在 a b 上取得最大值 M和最小值m 1 若M m 则 因此 2 若M m 则M和m中至少有一个与端点值不等 不妨设 则至少存在一点 使 是开区间 a b 内的点 根据条件 可知 存在 即极限 而极限存在必定左 右极限都存在并相等 因此 存在 因为 右极限 左极限 即由于f M是f x 在 a b 上的最大值 因此不 论 x是正的还是负的 只要 x在 a b 上 总有 当 x 0时 从而当 x 0时 因此必然有 1 定理条件条件不全具备 结论不一定成立 例如 注意 使 2 定理条件只是充分的 本定理可推广为 在 a b 内可导 且 在 a b 内至少存在一点 证明提示 设 证F x 在 a b 上满足罗尔定理 试证 存在 a b 使得 证明 由于a 0 作辅助函数 满足罗尔定理的三个条件 所以 使得 又因为 可得 从而有 例1 设a 0 f x 在 a b 内连续 在 a b 上可导 且满足 例2 证明方程 有且仅有一个小于1的正实根 证 1 存在性 则f x 在 0 1 连续 且f 0 1 f 1 3 由介值定理知存在 使f x0 0 即方程有小于1的正根x0 2 唯一性 假设另有 x0 x1为端点的区间满足罗尔定理条件 至少存在一点 矛盾 故假设不真 设 使f x1 0 二 拉格朗日中值理 1 在区间 a b 上连续 满足 2 在区间 a b 内可导 至少存在一点 使 思路 利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数 作辅助函数 显然 在 a b 上连续 在 a b 内可导 且 证 问题转化为证 由罗尔定理知至少存在一点 即定理结论成立 证毕 y f x 书本证明 将辅助函数稍微改动为 证明 考虑函数 容易验证F x 在 a b 上满足拉格朗日中值定理条件 因为b a 4 而 所以 存在 a b 使得 即 所以有 例3 设f x 在区间 a b 上可导 且b a 4 试证 存在 a b 使得 例4 在 0 x 上f x 满足拉格朗日中值定理条件 证明不等式 ex 1 x x 0 不等式 ex 1 x成立 使得f x f 0 ex 1 e x 0 x 证 令f x ex f e 1 存在 0 x 拉格朗日中值定理的有限增量形式 推论 若函数 f x 在区间I上满足 则f x 在I上必为常数 证 在I上任取两点x1 x2 x1 x2 在 x1 x2 上拉格朗日中值公式 得 由x1 x2的任意性知f x 在I上为常数 令 则 练习 证明等式 证 设 由推论可知 常数 令x 0 得 又 故所证等式在定义域上成立 自证 经验 欲证 时 只需证在I上 三 柯西 Cauchy 中值定理 分析 1 在闭区间 a b 上连续 2 在开区间 a b 内可导 3 在开区间 a b 内 至少存在一点 使 满足 要证 f x 及F x 证 作辅助函数 且 由罗尔定理知 至少存在一点 思考 柯西定理的下述证法对吗 两个 不一定相同 错 上面两式相比即得结论 教材所作辅助函数为 柯西定理的几何意义 注意 弦的斜率 切线斜率 试证 对 恒有 证明 对函数 在区间 0 x 上应用柯西中值定理 使得 对 可由 在区间 0 x 上应用拉格朗日中值定理证得 从而 例5 例6 设 证明 至少存在一点 使 证 结论可变形为 设 则 在 0 1 上满足柯西中值 定理条件 因此在 0 1 内至少存在一点 使 即 内容小结 1 微分中值定理的条件 结论及关系 罗尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 2 微分中值定理的应用 1 证明恒等式 2 证明不等式 3 证明有关中值问题的结论 关键 利用逆向思维设辅助函数 思考与练习 1 填空题 1 函数 在区间 1 2 上满足拉格朗日定理 条件 则中值 2 例设 有 个根 它们分别在区间 上 方程 方程 有个根 方程 有个根 2 思考 在 即 当 时 问是否可由此得出 不能 因为 是依赖于x的一个特殊的函数 因此由上式得 表示x从右侧以任意方式趋于0 应用拉格朗日中值定理得 上对函数 拉格朗日 1736 1813 法国数学家 他在方程论 解析函数论 及数论方面都作出了重要的贡献 近百 余年来 数学中的许多成就都直接或间 接地溯源于他的工作 他是对分析数学 产生全面影响的数学家之一 柯西 1789 1857 法国数学家 他对数学的贡献主要集中 在微积分学 柯 西全集 共有27卷 其中最重要的的是为巴黎综合学 校编写的 分