药学高数30习题九.ppt

1 11 已知函数是微分方程 的解 试求的表达式 解 2 12 1 12 2 解 解 分离变量 两边积分 3 12 3 解 分离变量 两边积分得 4 12 4 1 y2 dx x x 1 ydy解 5 12 5 解 6 12 6 解 7 12 7 解 8 12 8 解 9 12 9 解 10 12 10 解 11 12 11 解 12 13 求下列一阶微分方程的特解 1 解 13 13 2 解 14 13 3 解 15 13 4 解 16 13 5 解 17 13 6 解 18 14 解 19 15 2 解 20 15 3 y y x 解 令y p x 则p p x 21 15 4 x2y y 2 2xy 解 令y p x y p 22 23 15 5 y 2 y 0 解 令y p x 则 24 15 6 y 1 y 2 解 令y p x 则 25 16 1 y sin2xy x 0 0 y x 0 0 解 26 16 2 y e2xy x 1 y x 1 0 解 27 16 3 1 x2 y 2xy y x 0 1 y x 0 3 解 28 16 4 y 2yy y x 0 1 y x 0 2 解 29 16 5 y e2yy x 0 y x 0 0 解 30 31 16 6 y 1 y 2y x 0 y x 0 0 解 32 21 1 y 2y 3y 0 解 特征方程r2 2r 3 0 r 3 r 1 0特征根r 3 r 1方程的通解为 y C1e3x C2e x 21 2 y 6y 9y 0 解 特征方程r2 6r 9 0 r 3 2 0特征根r 3 方程的通解为 y C1e3x C2xe3x 33 21 3 y 2y 5y 0 解 特征方程 r2 2r 5 0特征根 r 1 2i方程的通解为 y ex C1cos2x C2sin2x 34 21 4 y 3y 2y 2ex 解 特征方程r2 3r 2 r 2 r 1 0 r1 2 r2 1齐次方程通解 Y C1e 2x C2e x设非齐次方程的特解为 y Aex y Aex y Aex代入方程中 6Aex 2exA 1 3 y 1 3ex方程通解 y C1e 2x C2e x 1 3 ex 35 21 5 y 4y 5y e2xsinx 解 r2 4r 5 0 r 2 iY e2x C1cosx C2sinx y xe2x Acosx Bsinx y e2x A 2Bx Ax cosx B 2Ax Bx sinx y e2x 2A 5Bx B cosx 2B 5Ax A sinx 代入方程中 e2x 2A 5Bx B cosx 2B 5Ax A sinx 4e2x A 2Bx Ax cosx B 2Ax Bx sinx 5xe2x Acosx Bsinx e2xsinxA 0 B 1y xexsinx方程通解 y e2x C1cosx C2sinx xexsinx 36 22 1 y 3y 2y 0y x 0 y x 0 1 解 特征方程为r2 3r 2r 0特征根r 1 r 2齐次方程通解为y C1ex C2e2xy C1ex 2C2e2x由初始条件 C1 C2 0C1 2C2 1解得 C1 1 C2 1方程通解为 y ex e2x 37 22 2 y 2y y 0y x 0 0 y x 0 1 解 特征方程为 r2 2r 1 0r1 r2 1 方程通解为 y ex C1 C2x y ex C1 C2x C2 由初始条件 C1 0 C1 C2 1解得 C1 0 C2 1方程特解为 y xex 38 22 3 y 25y 0y x 0 2 y x 0 5 解 特征方程 r2 25 0 r 5i方程通解 y C1cos5x C2sin5xy C1sin5x 5C2cos5xC1 2 5C2 5方程通解 y 2cos5x 5sin5x 39 22 4 y 3y 2y 5y x 0 1 y x 0 2 解 特征方程r2 3r 2 0解得 r 1 r 2齐次方程通解Y C1ex C2e2x设特解y A 代入方程中 2A 5y 5 2方程通解为 y C1ex C2e2x 5 2y C1ex 2C2e2x由初始条件 C1 C2 3 2C1 2C2 2解得 C1 7 2 C2 5方程特解为 y 7 2ex 5e2x 5 2 40 22 5 y 3y 2y x2 2x 解 特征方程 r2 3r 2 0 r1 1 r2 2齐次方程通解 Y C1ex C2e2x设非齐次方程一个特解为 y Ax2 Bx C y 2Ax B y 2A代入方程 2A 6Ax 3B 2Ax2 2Bx 2C x2 2x2A 1A 1 2 6A 2B 2B 1 22A 3B 2C 0C 1 4 41 方程的通解为 由初始条件 解得 C1 1 C2 1方程特解为 42 23 解 43 初始条件 方程特解为 44 24 已知颅内压p与容积V满足微分方程 试求解此微分方程 解 45 25 在呼吸过程中 CO2从静脉进入肺泡后排出 肺中CO2的压力p符合微分方程的初值问题 试求解 解 46 26 药片的溶解浓度C t 微溶药片在时刻t的 溶解速度与药片的表面积A及浓度差Cs C的乘积成正比 求溶解浓度C t 解 据题义 47 27 已知细菌的繁殖速率与当时的细菌数成正比 若初始细菌数为N0 且细菌数为2N0的时间为2小时 试求细菌数为3N0的时间 解 设t时刻细菌数为N t 48 28 室温20 时 一物体在20分钟内由100 冷却到60 该物体从100 冷却到30 需要经过多少分钟 解 牛顿冷却定律指出 物体的冷却速度与物体同外界的温度差成正比 设t时刻温度为T t t 0 T 100 t 20 T 60 答 T 30 t 60分 49 29 已知曲线y f x 上任意一点P 及过该点的法线与x轴的交点Q 且P Q两点之间的距离为1 求曲线方程 解 设P点坐标为 x0 y0 切线方程为y y0 y x x0 法线方程为y y0 1 y x x0 与x轴交点 y 0 x1 x0 y y0据题义 50 51 30 一架质量为9000kg的飞机在首都机场降落 着地前已关闭引擎 着地时的水平速度为700km h 所受到的总阻力与飞机的速度成正比 k 6 0 106 求飞机在地上滑行的最长距离 解 由牛顿第二定律F ma 52 答 飞机在地上滑行的最长距离为1 05公理 53 31 有一个30m 30m 12m的车间 其空气中含有1 12 的CO2 现用一台通风能力为第分钟1500m3的鼓风机吹入只含有0 04 的CO2的新鲜空气 同时以相同的速度将混合均匀的空气排出 求鼓风机开动10分钟后 车间中CO2的比例下降到多少 解 设t分钟后车间中CO2为x x t t 0 x 10800 1 12 120 96 54 答 10分钟后CO2的比例为0 31 55 32 某鱼塘最初放养了十万尾鱼 若每天鱼繁殖增加的数量约为10 而每天约捕捞220t尾鱼 试建立鱼数量的增长模型 并求第30天鱼的数量和这30天鱼场共捕捞了多少鱼 解 在第t天有x t 尾鱼 56 答 30天后 鱼的数量为1654672尾 共捕99000尾 57 33 昆虫培养室处处有充足的食物 昆虫的增长率与昆虫数成正比 比例系数为r1 培养室边缘 部分温度很低 最外层的昆虫将冻死 死亡率与昆虫数的平方根成正比 比例系数为r2 假设开始时的昆虫数为N0 求在时刻t的昆虫数N 解 58 答 时刻t的昆虫数 59 34 在化学反应2NO2 N2O4的过程中 反应速度 与NO2浓度的平方成正比 比例系数为k 若NO2的初始浓度为C0 求 NO2的浓度随时间而变的规律 NO2的半衰期 解 1 设t时刻NO2的浓度为C t 60 半衰期 61 35 已知CH3CHO的分解反应CH3CHO CH4 CO满足微分方程 若t 0时 CH3CHO 0 01 求CH3CHO的浓度y t 随时间t变化规律 解 CH4的浓度变化 62 36 已知一氧化氮的反应2NO O2 NO2满足微分方程 若t 0时 NO2 0 NO 2a O2 a 求NO2的浓度y t 随时间t变化规律 解 63 37 某药片刚制成时 每片含有效成分400单位 存放两个月后测得有效成分的含量为380单位 已知药片的分解是一级过程 求 存放三个月后有效成分的含量为多少 如果药片中有效成分的含量低于300单位时 药片无效 此药片的有