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本章优化总结 在三角形的六个元素中 已知三个 除三角外 才能求解 常见类型及其解法如下表 在 ABC中 AC 5 求AB的长 解 由余弦定理 得BC2 AB2 AC2 2AB AC cosA 将已知条件代入得5 AB2 25 10 AB AB2 9AB 20 0 AB 4或AB 5 例1 判定三角形形状通常有两种途径 一是通过正弦定理 余弦定理化边为角 如a 2RsinA a2 b2 c2 2abcosC等 利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断 此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系 如sinA sinB A B sin A B 0 A B sin2A sin2B A B或A B 等 二是利用正弦定理 余弦定理化角为边 二是利用正弦定理 余弦定理化角为边 如sinA 等 通过代数恒等变换 求出三条边之间的关系进行判断 在 ABC中 若B 60 2b a c 试判断 ABC的形状 例2 解 法一 由正弦定理 得2sinB sinA sinC B 60 A C 120 将A 120 C代入上式 得2sin60 sin 120 C sinC sin C 30 1 C 30 90 C 60 故A 60 ABC为正三角形 法二 由余弦定理 得b2 a2 c2 2accosB B 60 a2 c2 2accos60 整理 得 a c 2 0 a c 从而a b c ABC为正三角形 求解三角形中的几何计算问题 要首先确定与未知量之间相关联的量 利用正弦定理 余弦定理及三角形面积公式等知识来解决 如图所示 在梯形ABCD中 AD BC AB 5 AC 9 BCA 30 ADB 45 求BD的长 例1 解三角形应用题的关键是将实际问题转化为解三角形问题来解决 基本思路是 首先分析此题属于哪种类型的问题 如测量距离 高度 角度等 然后依题意画出示意图 把已知量和未知量标在示意图中 目的是发现已知量与未知量之间的关系 最后确定用哪个定理转化 哪个定理求解 并进行作答 如右图所示 港口A北偏东30 方向的C处有一观测站 港口正东方向的B处有一轮船 测得BC为31nmile 该轮船从B处沿正西方向航行20nmile后到达D处 测得CD为21nmile 问此时轮船离港口A还有多远 例4 2009年高考宁夏卷 如图 为了解某海域海底构造 在海平面内一条直线上的A B C三点进行测量 已知AB 50m BC 120m 于A处
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