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文档简介

求可导函数的极值的步骤 1 确定函数的定义区间 求导数f x 2 求方程f x 0的根 3 用函数的导数为0的点 顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间 并列成表格 检查f x 在方程根左右的值的符号 如果左正右负 那么f x 在这个根处取得最大值 如果左负右正 那么f x 在这个根处取得最小值 若果左右不改变符号 那么f x 在这个根处无极值 2 下列函数中 x 0是极值点的函数是 Ay x3By cos2xCy tanx xDy 1 x B 下列说法正确的是 A函数在闭区间上的极大值一定比极小值大B函数在闭区间上的最大值一定是极大值C对于f x x3 px2 2x 1 若 p 6 则f x 无极值D函数f x 在区间 a b 上一定存在最值 C 4函数在处有极值 求的值 函数的最大值与最小值 二 新课 函数的最值 观察右边一个定义在区间 a b 上的函数y f x 的图象 发现图中 是极小值 是极大值 在区间上的函数的最大值是 最小值是 问题在于如果在没有给出函数图象的情况下 怎样才能判断出f x3 是最小值 而f b 是最大值呢 设函数f x 在 a b 上连续 在 a b 内可导 求f x 在 a b 上的最大值与最小值的步骤 1 求f x 在 a b 内的极值 2 将f x 的各极值与f a f b 比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 例1 求函数y x4 2x2 5在区间 2 2 上的最大值与最小值 练1 求函数y x4 2x3在 2 3 上的最大值与最小值 练2 求函数在区间上的值域 例2 已知f x 2x3 6x2 m m为常数 在 2 2 上有最大值3 求此函数在 2 2 上的最小值 例3 求函数的最值 求解函数最值的实际问题 例1 在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形 在把它的边沿虚线折起 做成一个无盖的方底盒子 箱底边长为多少时 箱子容积最大 最大容积是多少 60 60 x x 练习1 求证 在同一圆的内接矩形中 正方形面积最大 练习2 某厂生产某种产品件的总成本 万元 又知产品单价的平方与产品件数x成反比 生产100件这样的产品单价为50万元 问产量定为多少件时总利润最大 解 设B x 0 0 x 2 则A x 4x x2 从而 AB 4x x2 BC 2 2 x 故矩形ABCD的面积为 S x AB BC 2x3 12x2 16x 0 x 2 令 得 所以当时 因此当点B为时 矩形的最大面积是 练习3 在平面坐标系内
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