飞行器结构动力学-第2章.ppt

第2章单自由度系统的振动 2 1单自由度系统的自由振动 2 2单自由度系统的强迫振动 2 3单自由度系统的工程应用 2 4阻尼理论 第2章单自由度系统的振动 2 1单自由度系统的自由振动 2 1单自由度系统的自由振动 第2章单自由度系统的振动 构成离散模型的元素 2 1单自由度系统的自由振动 弹性元件 弹簧 最典型的弹性元件 假定无质量线性弹簧 x2 x1较小时 Fs k x2 x1 k 弹簧常数或弹簧刚度 单位 N m 2 1单自由度系统的自由振动 如无特别说明 本课程所说的阻尼均指粘性阻尼阻尼力粘性阻尼系数 比例系数c 单位 N s m 阻尼器通常用c表示 线性模型 2 1单自由度系统的自由振动 惯性元件 2 1单自由度系统的自由振动 离散系统的质量元件 惯性力质量m 比例系数 单位 kg 弹性元件的组合 2 1单自由度系统的自由振动 2 1单自由度系统的自由振动 2 1单自由度系统的自由振动 2 1单自由度系统的自由振动 2 1单自由度系统的自由振动 系统以固有频率 n作简谐振动 称为简谐振荡器相位角 位移从初始值达到最大值的时间 无能量损耗 运动会持续下去 保守系统 响应曲线 例2 1半径为R的半圆形薄壳 在粗糙的表面上滚动 试推导此壳体在小幅运动下的运动微分方程 并证明此壳体的运动象简谐振子 计算振子的自然振动频率 2 1单自由度系统的自由振动 2 1单自由度系统的自由振动 2 1单自由度系统的自由振动 2 1单自由度系统的自由振动 2 1单自由度系统的自由振动 2 1单自由度系统的自由振动 系统作简谐振动 令 那么 采用瑞雷法时 假定振动形式越接近实际情况 结果越准确 弹簧并联 2 1单自由度系统的自由振动 系统的通解 2 1单自由度系统的自由振动 系统的通解 2 22 2 19 2 21 系统的通解 2 1单自由度系统的自由振动 z的影响 过阻尼 1 2 22 2 1单自由度系统的自由振动 2 1单自由度系统的自由振动 2 1单自由度系统的自由振动 指数衰减的响应 有重根 s1 s2 n 2 23 由表达式 1时 临界阻尼 1 2 20 临界粘性阻尼 所以z c ccr 2 1单自由度系统的自由振动 1 临界阻尼是 1和 1的分界点 1时 系统的运动趋近于平衡位置的速度最大 1也是系统振动与非振动运动的临界点 1 2 1单自由度系统的自由振动 2 1单自由度系统的自由振动 有阻尼自由振动频率 由于 2 25 2 24 弱阻尼 0 1 2 1单自由度系统的自由振动 0 1时的响应曲线 2 1单自由度系统的自由振动 2 1单自由度系统的自由振动 2 1单自由度系统的自由振动 2 1单自由度系统的自由振动 2 1单自由度系统的自由振动 观察 2 29 式的指数关系 可以引入对数衰减率 2 30 要确定系统的阻尼 可以测量两任意相邻周期的对应点x1和x2 计算对数衰减率 2 31 2 1单自由度系统的自由振动 对于微小阻尼情况 2 32 值得注意的是 可以通过测量相隔任意周期的两对应点的位移 来确定 设 为 对应的时间 为整数 则 2 33 2 34 2 1单自由度系统的自由振动 2 1单自由度系统的自由振动 2 1单自由度系统的自由振动 2 1单自由度系统的自由振动 可见弹簧的质量将会使系统的自然频率降低到 2 1单自由度系统的自由振动 第2章单自由度系统的振动 2 2单自由度系统的强迫振动 2 2单自由度系统的强迫振动 系统对外部激励的响应称为强迫振动 对于线性系统 根据叠加原理 可以分别求系统对于初始条件的响应和对于外部激励的响应 然后再合成为系统的总响应 自由振动依靠系统自身弹性恢复力维持 强迫振动是由外部持续激励引起的 强迫振动从外界或得能量来补充阻尼的消耗 以维持等幅振动 持续激振力 持续支承运动 2 41 2 2单自由度系统的强迫振动 2 42 2 2单自由度系统的强迫振动 2 2单自由度系统的强迫振动 等于激励频率 2 2单自由度系统的强迫振动 2 2单自由度系统的强迫振动 2 2单自由度系统的强迫振动 由 2 51 式 可见的模等于响应幅值和激励幅值的无量纲比 即 称为幅值因子或振幅放大因子 2 53 2 52 这表明复频响应是弹簧力与实际的外激励的无量纲比 这里中的是由静平衡位置算起的 由 2 50 2 51 式 2 2单自由度系统的强迫振动 2 2单自由度系统的强迫振动 幅频响应曲线 阻尼使系统的振幅值减小 阻尼使峰值相对于w wn 1的位置左移 对 2 53 求导 并令其等于零 得到幅值最大点的 2 54 0时 系统就是简谐振子 当驱动频率 n时共振 n 1 H w 0 z c 2mwn c ccr 系统实际阻尼与临界阻尼之比 共振区附近阻尼作用显著 远离共振区 作用很小 2 2单自由度系统的强迫振动 2 2单自由度系统的强迫振动 阻尼大 带宽就宽 过共振点时振幅变化平缓 振幅较小 阻尼小 带宽就窄 过共振点时振幅变化陡 振幅较大 Q反映了系统阻尼的大小 及共振峰的陡峭程度 机械系统中 为平稳通过共振 希望Q值小些 阻尼大些 2 2单自由度系统的强迫振动 2 2单自由度系统的强迫振动 对于简谐振动 当 n时 x 2 61 2 2单自由度系统的强迫振动 无阻尼 2 2单自由度系统的强迫振动 考虑摩擦阻尼的SDOF自由振动 常见 非线性 fs kxfd mmg 与运动方向相反 令 2 2单自由度系统的强迫振动 解 设初始位移足够大 弹簧恢复力超过静摩擦力 开始运动 1 x 0 x0 v 0 0 运动从右向左 v 0 求解 是满足速度为零 将变号 的最小时间 此时 2 2单自由度系统的强迫振动 2 若x t1 足够大 弹簧恢复力大于静摩擦力 则从左向右运动 求解 初始条件 平均响应 xD II 比 I 的幅值减小了2xD II t t2 2p wn 速度再次为零 II 式成立的时间 t1 t t2 只要弹簧恢复力大于静摩擦力 则上述过程不断重复 2 2单自由度系统的强迫振动 运动模式系统运动 频率为wn的简谐运动 定常分量 解的平均值 每半个周期 解的平均值在 xD到xD之间交替变化每半个周期 解的幅值减小2xD 2mmg k对于摩擦阻尼 振幅衰减是线性的 而粘性阻尼 衰减是指数形式 位移不足以产生足够的恢复力时 运动停止令n等于运动停止前的那半个周期 那么n是满足下式的最小整数解 x0 2n 1 xD 1 ms m xDms 静摩擦系数 2 2单自由度系统的强迫振动 例有两个带有偏心的质量m 2反向旋转 旋转角速度为常数w 不平衡质量的垂直位移为x lsinwt x由静平衡算起 求x t 解 系统的运动方程 简化为 2 2单自由度系统的强迫振动 响应 2 2单自由度系统的强迫振动 相角 由 2 38 式给出 响应幅值 无量纲比 激振力幅值可变 与转速平方成正比l 1 Mx ml 1振动振幅与初始条件无关初始条件至影响瞬态响应 2 2单自由度系统的强迫振动 基础激振 解 运动微分方程 基础振动 简化为 设基础作简谐运动 系统响应 基础运动相当于系统上施加了两个激振力两者相位不同 将写成 那么 振幅放大因子 2 2单自由度系统的强迫振动 2 2单自由度系统的强迫振动 X A 1l sqrt 2 振幅小于基础运动振幅 阻尼大的系统振幅反而大支承运动还可以用速度或加速度表达 2 2 2系统对周期激励的响应 在工程振动中 也遇到大量其他类型的非简谐周期激励 F t F t kT k 1 2 3 可以写成 2 72 2 73 2 2单自由度系统的强迫振动 系统运动方程 a0是常力 只影响系统的静平衡位置 只要坐标原点取在静平衡位置 该项就不会出现 系统响应分为 齐次解 瞬态解 非齐次解 稳态解稳态响应 2 2单自由度系统的强迫振动 当某个pw0接近系统的自然频率wn时 响应中此简谐分量将占主导地位 当pw0 wn时 发生共振 即周期激励也可激起系统共振 2 2单自由度系统的强迫振动 若z较小 可近似看成无阻尼 例 某仪器质量500kg 用4个刚度为323 4N cm的弹簧支撑 若地基运动为两个垂直正弦波的合成 振幅均为1微米 频率分别为f1 3Hz f2 15Hz 设仪器允许的振动速度为v 0 05mm s 求设备最大振动速度 是否满足要求 解 2 2单自由度系统的强迫振动 激励为正弦波 响应也为正弦函数 无阻尼 必须调整弹簧刚度 降低固有频率 增加l1 l2 减小 2 2 3非周期激励的响应 在非周期激励的情况下 响应将不再是 稳态 的 而是 非稳态 的 求解系统在非周期激励下瞬态响应的方法有多种将激励描述成一系列脉冲 通过求各个脉冲的响应 然后叠加来求解系统的瞬态响应是常见的方法之一 单位脉冲函数 当时 2 82 2 2单自由度系统的强迫振动 2 2单自由度系统的强迫振动 2 86 表示在区间内系统速度的变化 由于脉冲作用时间极短 系统在瞬间不可能获得位移增量 即 2 87 2 2单自由度系统的强迫振动 2 2单自由度系统的强迫振动 2 92 2 2单自由度系统的强迫振动 2 93 初始条件静止下的响应 根据卷积的性质 可写成另一种形式 2 94 2 2单自由度系统的强迫振动 杜哈默积分 单位脉冲响应 2 92 2 2单自由度系统的强迫振动 阶跃响应 单位阶跃函数 2 95 函数在t a处不连续 在此点处 函数值由0变为1 如果不连续点在t 0 则单位阶跃函数用u t 表示 单位阶跃函数与单位脉冲函数有密切关系 2 96 反过来有 2 97 2 2单自由度系统的强迫振动 杜哈默积分法是时域法求解一般激励的响应 Fourier变换法 频域法 2 2单自由度系统的强迫振动 Fourier变换法 周期激励 将激振力用傅立叶级数展开 分别对各阶谐波进行响应分析 然后线性叠加 一般激励 采用傅立叶变换 将一般激振力作付氏变换 付氏正变换 时域 频域 付氏逆变换 频域 时域 付氏变换对 频谱图是连续曲线 谱函数 付氏变换的性质 2 2单自由度系统的强迫振动 基本公式 2 2单自由度系统的强迫振动 注 2 2单自由度系统的强迫振动 2 2单自由度系统的强迫振动 例 无阻尼单自由度系统在矩形冲击载荷作用下振动 求响应及其频谱图 激振力的付氏变换 位移响应 系统频响函数 位移响应的时间历程 2 2单自由度系统的强迫振动 付氏逆变换 查表 零初始状态下的时间响应 位移响应的时间历程 2 2单自由度系统的强迫振动 或 t 2 2单自由度系统的强迫振动 Laplace变换法 频域法 对于复杂激励求解较方便 拉氏变换 拉氏域 s域 重要性质 2 2单自由度系统的强迫振动 常用公式 2 2单自由度系统的强迫振动 拉氏变换法求解一般激励的响应 对方程作拉氏变换 拉氏域 令 逆变换 时域 2 2单自由度系统的强迫振动 应用卷积公式 将函数化为标准形式后 查表得到逆变换 查表 杜哈默积分 初始扰动的自由响应 零初始条件响应 2 2单自由度系统的强迫振动 拉氏变换法可以得出受迫振动的全部解 SDOF系统 传递函数H s 在零初始条件下 位移响应 输出 的拉氏变换与激振力 输入 的拉氏变换之比 传递函数与输入 输出无关 它完全由系统本身特性所决定 传递函数完全描述了系统的动力学特性 拉氏变换与时域分析关系 传递函数的逆变换就是脉冲响应函数h t 2 2单自由度系统的强迫振动 例 无阻尼SDOF系统受到三角形冲击载荷的响应 设初始条件为0 解 设 利用时移特性 2 2单自由度系统的强迫振动 初始状态不是静止 在激振力开始作用的t 0时刻 存在初始位移x0和初速度v0 支承运动y引起的振动 相当于受到两个力的激励 2 2单自由度系统的强迫振动 设初始状态静止 支承运动的加速度已知 用相对位移处理将更为方便 令 已知 2 2单自由度系统的强迫振动 2 2单自由度系统的强迫振动 2 2单自由度系统的强迫振动 2 2单自由度系统的强迫振动 2 2单自由度系统的强迫振动 2 2单自由度系统的强迫振动 和矩形脉冲响应相似 因此 重物最大相对位移 钢丝绳伸长与刹车时间成反比 如果t1很小 2 2单自由度系统的强迫振动 除这种情况外 最大伸长发生在 阶段 若 缓慢刹车对于减小钢丝绳张力非常重要 第2章单自由度系统的振动 2 3单自由度系统的工程应用 2 3单自由度系统的工程应用 2 3单自由度系统的工程应用 2 3单自由度系统的工程应用 ha 与基础振动下的幅频响应曲线相同 要隔振 必须有 当时 阻尼增加 隔振效果反而不好 2 3单自由度系统的工程应用 2 3单自由度系统的工程应用 2 3单自由度系统的工程应用 2 4阻尼理论 简谐力一个周期做的功与激励和响应的幅值 及其相位有关 2 4阻尼理论 将力与位移用旋转矢量表示将力分解为两部分 F1与位移同相F2与速度同相 F2 F0siny只有与速度同相的分力才在一个周期内作功 与位移同相的分力不作功 2 4阻尼理论 2 4阻尼理论 粘性阻尼力在一个周期内所消耗的能量 简谐力 相位超前位移90o 阻尼力在一个周期做的功与幅值平方 振动频率成正比 旋转矢量图上 cBw F2 F0siny 阻尼力所作的功 消耗的能量 激振力的功共振时y